Образовательный портал. Образование / Среднее образование и школа / Любой четырехугольник имеет прямой угол

Любой четырехугольник имеет прямой угол

02.04.2019

Многоугольником называется геометрическая фигура, состоящая из n (n больше или равно 3) точек плоскости, не лежащих на одной прямой и попарно соединённых не пересекающимися отрезками. Многоугольник - это замкнутая ломаная линия. Существуют три различных варианта определения: Плоские замкнутые ломаные; Плоские замкнутые ломаные без самопересечений; Части плоскости, ограниченные ломаными. Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрезки сторонами многоугольника. Свойства Сумма внутренних углов плоского выпуклого n-угольника равна (в градусах) (в радианах).радианах Число диагоналей всякого многоугольника равно n(n 3) / 2, где n число сторон.

Четырехугольники - четырехгранные многоугольники. Этот урок определяет и дает примеры как выпуклых, так и вогнутых четырехугольников. Взгляните на четырехугольник, его подкатегории и их свойства. Осмотрите комнату, в которой находитесь сейчас, и вы, вероятно, можете определить несколько четырехугольников. Например, кто-то может видеть конверт, который является прямоугольником. За окном человек может видеть уличный знак, который представляет собой квадрат или лицо скалы, являющейся трапецией. Эти полигоны видны в природе, в бытовых предметах и, возможно, даже в вашем собственном каракуле, которое вы рисуете на краях вашего ноутбука.

Четырёхугольник это многоугольник, содержащий четыре вершины и четыре стороны. Различают выпуклые и невыпуклые четырёхугольникимногоугольниквершиныстороны Виды четырехугольников Параллелограмм Прямоугольник Ромб Квадрат Трапеция Дельтоид Выкулый не выпуклый

Четырехугольники везде. Четырехугольник представляет собой многоугольник, состоящий из четырех сторон и четырех углов. «Квадрат» в слове четырехугольник означает четыре. К основным формам, которые относятся к категории четырехугольника, относятся: квадрат, прямоугольник, ромб, параллелограмм, трапеция и кайт. Углы этих фигур всегда будут иметь сумму 360 градусов. Стороны всегда будут встречаться на конечных точках. Конечная точка в геометрии называется вершиной. Как только становится ясно, что все четырехугольники имеют четыре стороны, их можно дополнительно классифицировать как выпуклые или вогнутые.

Формула Эйлера: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумму квадратов его диагоналей. Средние линии четырёхугольника и отрезок, соединяющий середины его диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Средние линии Четыре отрезка, каждый из которых соединяет вершину четырёхугольника с центроидом треугольника, образованного оставшимися тремя вершинами, пересекаются в центроиде четырёхугольника и делятся им в отношении 3:1, считая от вершин. Шесть расстояний между четырьмя произвольными точками плоскости, взятыми попарно, связаны соотношением:

Выпуклый четырехугольник представляет собой четырехгранный многоугольник, который имеет внутренние углы, которые измеряют менее 180 градусов каждый. Диагонали содержатся полностью внутри этих четырехугольников. Выпуклые четырехугольники могут быть разделены на несколько подкатегорий на основе их сторон и углов. Это обычные четырехугольники, которые видятся каждый день и учатся студентам в очень раннем возрасте.

Если четырехугольник имеет два набора параллельных сторон, он классифицируется как параллелограмм. Прямоугольники представляют собой параллелограммы с четырьмя прямыми углами. Ромб - параллелограмм, имеющий четыре конгруэнтные стороны. Конгруэнт означает, что что-то равно по размеру или форме. Ромб с конгруэнтными сторонами может иметь стороны, которые имеют длину 4 дюйма в длину. Квадрат представляет собой параллелограмм с четырьмя конгруэнтными углами и четырьмя конгруэнтными сторонами и обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба.

На рисунке 1 диагонали AC и BD выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке O, а диагонали EG и FH невыпуклого четырехугольника EFGH не пересекаются. Это свойство оналей характерно для любого выпуклого (и соответственно невыпуклого) четырехугольника. Однако при всей его очевидности строгое обоснование этого свойства оказывается достаточно сложным. Предварительно рассмотрим два вспомогательных утверждения. Напомним, что согласно одной из аксиом планиметрии каждая прямая а разделяет плоскость на две полуплоскости так, что любые две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от прямой а, а любые две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от прямой а. Прямая а называется границей каждой из этих полуплоскостей, ее точки не принадлежат ни одной из полуплоскостей. рисунок 1 рисунок 2

Параллелограммы - выпуклые четырехугольники. Если четырехугольник имеет только один набор параллельных сторон, он классифицируется как трапеция. Две параллельные стороны называются базами и не будут конгруэнтными. Равнобедренная трапеция имеет две стороны, основания, параллельные, а две другие стороны конгруэнтные, но не параллельные. Трапеция представляет собой выпуклый четырехугольник.

Если четырехугольник не имеет никаких параллельных сторон, но имеет два набора смежных сторон, которые являются конгруэнтными, он классифицируется как кайт, а кайт - выпуклый четырехугольник. Этот четырехугольник подобен обычным игрушкам, которые продаются для детей.

Свойство диагоналей выпуклого четырехугольника Рассмотрим неразвернутый угол ACB (рисунок 4). Прямая BC разделяет всю плоскость на две полуплоскости. В одной из них лежит луч CA. Обозначим эту полуплоскость буквой a. Точно так же прямая AC разделяет всю плоскость на две полуплоскости, в одной из которых лежит луч CB. Обозначим эту полуплоскость буквой p. Общая часть полуплоскостей а и p называется внутренней областью угла ACB. рисунок 4

Вогнутый четырехугольник не может быть вашей общей четырёхсторонней формой дошкольного разнообразия, но он все еще является многоугольником. Вогнутые четырехугольники - четырехгранные многоугольники, которые имеют один внутренний угол, который превышает 180 градусов. Другим способом определения того, является ли четырехугольник вогнутым, является проверка диагоналей или отрезок линии, который соединяет несмежные вершины. Если какая-либо часть диагонали находится на внешней стороне четырехугольника, то четырехугольник вогнутый.

Если форма вогнута, то она будет иметь сторону, которая была нажата или имела пещеру. Посмотрите на примеры вогнутых и выпуклых четырехугольников. Обратите внимание на пещерные отверстия в вогнутых четырехугольниках. Четырехугольник представляет собой четырехсторонний многоугольник, который можно классифицировать по нескольким категориям на основе его свойств. Если четырехугольник имеет внутренний угол больше 180 градусов, он является вогнутым. Помните вогнутый, изображая форму, которая выглядит как устье пещеры.

Свойство диагоналей выпуклого четырехугольника Утверждение 2. Если точки А и В лежат на разных сторонах неразвернутого угла с вершиной С, а точка D лежит внутри угла АСВ (т.е. в его внутренней области), то луч СD пересекает отрезок АВ (рисунок 5) С наглядной точки зрения утверждения 1 и 2 совершенно очевидны. рисунок 5

Если четырехугольник выпуклый, его можно затем классифицировать в зависимости от количества множеств параллельных сторон. Четырехугольник с двумя наборами параллельных сторон называется параллелограммом. Четырехугольник с одним набором параллельных сторон - трапеция.

Если четырехугольник не имеет параллельных сторон, а два множества конгруэнтных сторон, то он называется кайтом. «Четырехугольник - замкнутая фигура, ограниченная четырьмя отрезками прямой линии». Если вы начнете с этого простого определения, вы должны иметь возможность изображать всевозможные вещи, которые являются четырехуровневыми.

Свойство диагоналей выпуклого четырехугольника Теоремы. Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются, а невыпуклого не пересекаются. Доказательство. 1) Рассмотрим выпуклый четырехугольник ABCD (рисунок 6). рисунок 6 2) Рассмотрим теперь невыпуклый четырехугольник ABCD(рисунок 7). рисунок 7 Следствие. Если диагонали четырехугольника пересекаются, то этот четырехугольник выпуклый

Потолок лист бумаги кайт. . Некоторые из них имеют специальные названия, такие как «квадрат», «прямоугольник», «параллелограмм», «ромб» и «трапеция». Для этого чтения мы будем говорить в основном о четырехугольниках, поэтому мы начнем с четырехугольника, который не является ни одним из этих «особых» случаев, упомянутых выше.

Знаете ли вы, что в любом четырехугольника сумма внутренних углов равна 360 градусам? Это не все, что трудно доказать. На этой диаграмме четырехугольник делится на два треугольника. Мы не очень много знаем об этих треугольниках - мы даже не знаем, согласны ли они друг с другом. Но мы знаем, что сумма их внутренних углов составляет 180 градусов. И поскольку их нет, общее их углы составляют 360 градусов.

Х АРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ СВОЙСТВО ФИГУРЫ Утверждение о характеристическом свойстве фигуры можно сформулировать с использованием словосочетания тогда и только тогда. Например: диагонали четырехугольника пересекаются тогда и только тогда, когда он является выпуклым. Площадь Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника равна:, где d 1, d 2 диагонали и α угол между диагоналями., где e, f длины диагоналей, a, b, c, d - длины сторон., где p полупериметр. Из этой формулы для вписанных 4- угольников следует формула Брахмагупты.формула Брахмагупты Особые случаи Если 4-угольник и вписан и описан, то.

Внешние углы - это углы, которые вы создаете, расширяя стороны четырехугольника. Теперь, если вы будете обращать внимание, вы можете подумать: Но это только половина внешних углов! Вы также можете протянуть стороны в другом направлении! Но если вы перестанете думать об этом на секунду, вы поймете, что эти внешние углы такого же размера, как и те, которые были нарисованы. Поэтому обычно мы просто думаем о внешних углах, идущих в одном направлении, и помните, что еще четыре пути идут в другом направлении.

Если четырехугольник не является «специальным» четырехугольником, как прямоугольник или квадрат, мы не знаем много о внешних углах. Если мы этого не знаем, они составляют до 360 градусов. Каждый внутренний и внешний угол образует дополнительную пару, поэтому, если вы добавите все внутренние углы и все внешние углы, вы получите 4 прямые линии или 720 градусов.

Площадь. Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника равна: Площадь, где d 1, d 2 диагонали и α угол между диагоналями., где e, f длины диагоналей, a, b, c, d - длины сторон., где p полупериметр. Из этой формулы для вписанных 4-угольников следует формула Брахмагупты.формула Брахмагупты Особые случаи Если 4-угольник и вписан и описан, то

«Но встряхните секунду», вы можете подумать: Это хорошо и хорошо для четырехстороннего, как тот, который вы там нарисовали, но не все четырехугольники выглядят одинаково. Вы не можете сказать мне, что внешние углы этой вещи тоже составляют до 360! Ну, получается, что, поскольку один из «внешних» углов фактически находится в интерьере, мы все равно можем сделать эту работу, если мы согласны с тем, что всякий раз, когда внешний угол находится внутри, мы будем говорить об этом имеет отрицательную степень меры.

Так что да, даже для вогнутых четырехугольников сумма внешних углов составляет 360 градусов. Назовите три объекта реального мира, которые являются четырехугольными. Каков размер другого угла? Если все углы четырехугольника равны, насколько велики каждый угол?

Параллелограмм Признаки параллелограмма Четырехугольник является параллелограммом, если выполнено любое из следующих условий: противоположные стороны четырехугольника попарно равны; противоположные углы четырехугольника попарно равны; диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся попалам; две стороны четырехугольника равны и параллельны.

Если внутренний угол четырехугольника равен 45 градусам, какова мера соответствующего внешнего угла? Четырехугольник - многоугольник с четырьмя сторонами. Стороны, углы и вершины, расположенные рядом друг с другом в многоугольнике, называются последовательными. Например, в четырехграннике ниже.

Когда назван четырехугольник, напомните, что вершины всегда перечислены в последовательном порядке. В многоугольнике объекты, которые не являются последовательными, считаются несоответствиями. В четырехугольника несоответствующим объектам дается специальное имя, они называются противоположными. Например, в четырехстороннем порядке.

Свойства Диагонали прямоугольника равны. Прямоугольник является параллелограммом его противоположные стороны параллельны. параллелограммом Стороны прямоугольника являются одновременно его высотами. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его не противоположных сторон (по теореме Пифагора). теореме Пифагора Около любого прямоугольника можно описать окружность, причем диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности. Стороны и диагонали Длиной прямоугольника называют длину более длинной пары его сторон, а шириной длину более короткой пары сторон. Длина диагонали прямоугольника вычисляется по теореме Пифагора и равна квадратному корню из суммы квадратов длины и ширины.теореме Пифагора

Диагональ многоугольника - это отрезок, который соединяет любые две несогласованные вершины. Каждый четырехугольник имеет две диагонали. Диагональ четырехугольника отделяет четырехугольник от двух треугольников, как показано ниже. Используя тот факт, что углы в треугольнике суммируются до 180 °, мы имеем, таким образом, следующее.

Сумма внутренних углов в четырехугольниках равна 360 °. Из этого следует, что если четырехугольник имеет четыре равных угла, то они должны быть равны 90 °. Прямоугольник представляет собой четырехугольник с четырьмя прямыми углами. Квадрат представляет собой четырехугольник с четырьмя прямыми углами и четырьмя равными сторонами.

Свойства Ромб является параллелограммом. Его противолежащие стороны попарно параллельны, АВ || CD, AD || ВС.параллелограммом Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (AC BD) и в точке пересечения делятся пополам. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (DCA = BCA, ABD = CBD и т. д.). биссектрисами Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4.Сумма Площадь ромба Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Поскольку ромб является параллелограммом, его площадь также равна произведению его стороны на высоту. Кроме того площадь ромба может быть вычислена по формуле: где угол между двумя смежными сторонами ромба.

Параллелограмм представляет собой четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны. Трапеция представляет собой четырехугольник, который имеет ровно одну пару параллельных сторон. Параллельные стороны называются основаниями трапеции. Непараллельные стороны называются ножками трапеции.

Ромб - четырехугольник с четырьмя равными сторонами. Примечание. Вы можете использовать ромбы или ромбы для множественного числа ромба. Нетрудно доказать, что каждый квадрат, прямоугольник и ромб должны быть параллелограммами. Рассмотрим два нечетных поля, показанных ниже.

Т РАПЕЦИЯ Элементы трапеции Параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.средней линией Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.высотой

Если вы выберете две точки в первом поле и пройдете по прямой линии от одной точки к другой, вы останетесь внутри поля. Однако во втором поле есть точки с тем свойством, что прямой путь между ними выводит вас за пределы поля. Геометрические фигуры с этим свойством называются вогнутыми.

Набор точек выпуклый тогда и только тогда, когда заданы любые две точки в множестве, отрезок, содержащий две точки, целиком лежит в множестве. Множество точек, не выпуклых, является вогнутым. Напомним, что, строго говоря, многоугольник не включает в себя его внутренность? Многоугольник - это только «граница». Итак, строго говоря, отрезки, соединяющие точки на многоугольнике, выходят за пределы многоугольника.

Прямоугольная трапеция Равнобокая трапеция Свойства Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований. (Обобщённая теорема Фалеса). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.теорема Фалесаугла В равнобедренной трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции. В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой - полуразности оснований. У равнобедренной трапеции углы при любом основании равны. У равнобедренной трапеции диагонали равны. Если трапеция равнобедренная, то около неё можно описать окружность.описатьокружность Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно вписать окружность.вписать окружность В трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон находятся на одной прямой. Если у равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок соединяющий середины оснований равен их полуразности.

Однако, когда мы говорим о многоугольниках, выпуклых или вогнутых, принято включать интерьер. Квадраты, прямоугольники, параллелограммы, трапеции и ромбы - все выпуклые многоугольники. Изучите идеи из этого раздела, выполнив упражнение в нижней части этой страницы.

Напомним, что многоугольник представляет собой замкнутую плоскую фигуру, образованную соединением сегментов линии. Прежде чем читать этот раздел, вы можете просмотреть соответствующий материал в «Основные понятия» относительно полигонов. Основной вопрос, который мы обсудим в этом разделе.

Свойства Квадрат может быть определён как прямоугольник, у которого две смежные стороны равны прямоугольник ромб, у которого все углы прямые (любой квадрат является ромбом, но не любой ромб является квадратом). ромб Пусть t сторона квадрата, R радиус описанной окружности, r радиус вписанной окружности. Тогда Радиус вписанной окружности квадрата равен:, Радиус описанной окружности квадрата равен:, периметр квадрата равен: периметр, площадь S равна площадь S = t 2 = 2R 2 = 4r 2. Квадрат обладает наибольшей симметрией среди всех четырёхугольников. Он имеет одну ось симметрии четвёртого порядка (ось, перпендикулярная плоскости квадрата и проходящая через его центр);ось симметрии четыре оси симметрии второго порядка (что для плоской фигуры эквивалентно отражениям), из которых две проходят вдоль диагоналей квадрата, а другие две параллельно сторонам.

Материалы по теме:

Карта сайта