Лента Мебиуса – бесконечная загадка современности. Открытие Августа Мебиуса

30.07.11 Пожалуй, самую первую необычную фигуру придумал в середине ХIX столетия Август Мёбиус. Это был так называемый «лист Мёбиуса», или «лента Мёбиуса» – весьма простая и в то же время весьма странная конструкция.

Легко убедиться, что у этой фигуры всего одна поверхность!

Представьте себе что, например, по ленте Мёбиуса бежит муравей. Впрочем, поступим проще: посмотрим на ленту Мёбиуса, изображенную на хорошо известном рисунке Мориса Эшера.

Сделав круг, муравей прибегает к тому же месту, откуда он начал движение, но при этом оказывается с противоположной стороны плоской ленты! Естественно, пробежав еще один круг, он вернется в точку старта. (Конечно же, предполагается, что муравей не может перебраться через край ленты.)

Август Фердинанд Мёбиус (1790 - 1868)

Немецкий геометр и астроном, профессор Лейпцигского университета. Основные труды по геометрии. Впервые ввел в проективную геометрию систему координат и аналитические методы исследования, получил новую классификацию кривых и поверхностей, установил общее понятие проективного преобразования, исследовал коррелятивные преобразования. Впервые установил существование односторонних поверхностей.

Ходит молва, что Мёбиусу пришла в голову идея об этой необычной геометрической фигуре, когда он увидел горничную, неправильно повязавшую свой шейный платок. Ну, что же, может быть, может быть! Ведь Исаак Ньютон тоже тянул с открытием всемирного закона тяготения, пока ему на голову не свалилось яблоко.
Справедливости ради, надо заметить, что сама фигура, называемая всеми лентой Мёбиуса, одновременно и независимо в том же 1858 году была построена и другим немецкими математиком Иоганном Бенедиктом Листингом (1808-1882), который, кстати, пустил в математический обиход и термин «топология».

Лента Мёбиуса сразу же привлекла внимание математиков. Одной из любопытных задач является следующая: какой длины (при заданной ширине) должна быть полосочка, чтобы ее можно было свернуть в лист Мёбиуса? Очень важный практический вопрос, неправда ли?

Но дело не ограничивается простой «классической» лентой Мёбиуса. Склейте ленту Мёбиуса из широкой полоски бумаги и попробуйте разрезать ее вдоль по средней линии. Начальная фаза разрезания показана на левом рисунке. А когда вы разрежете это кольцо до конца, то … увидите опять ленту Мёбиуса, правда, более «завинченную» (правый рисунок). Но муравей, начавши ползти опять пробежит по обеим сторонам полоски и вернется в точку старта.

Кстати, фокусники, разрезающие на удивление зрителей ленту Мёбиуса, называют получившуюся в результате фигуру почему-то «афганской лентой». Но не думайте, что на этом чудеса с лентой Мёбиуса закончились. А что получится, если полоску повернуть несколько раз перед склеиванием?

Все зависит от того, насколько закручена лента. При одном скручивании от простого кольца мы переходим к лента Мёбиуса.

Ну, а что же получится при двойном повороте ленты перед склеиванием? Оказывается, что в этом случае получается просто «закрученное» кольцо. Но если ленту повернуть перед склеиванием еще раз в том же направлении. То опять получится лента Мёбиуса, но уже «закрученная»!

Для удобства объяснения сути производимых операций выбрана лента, одна сторона которой белая, а вторая – серая. Тогда совершенно понятно, что сколько бы мы раз ни скручивали ленту, если окажется что ее так, что на стыке «встретились стороны с одним и тем же цветом, то это означает, что у склеенной ленты будет две поверхности – одна белая, а другая серая, т.е. будет образовано кольцо с винтообразной образующей лентой. Если же на стыке при склеивании серая сторона «встретится с белой, то после склеивания мы получим уже ленту Мёбиуса, хотя и тоже замысловатую. У нее будет всего одна поверхность: ведь Эшеровский муравей бегая по белой стороне, добегает в конце концов до границы, где начинается серая сторона и продолжает бежать уже по ней.

Интересны и свойства цепей, образованных плоскими кольцами и лентами Мёбиуса.

Соединим плотно два обычных плоских кольца и запустим Эшеровского муравья ползать по внешней поверхности левого кольца. Когда он доползает до места соединения колец, то он может перебраться на внутреннюю поверхности второго кольца. Если же запустить второго муравья на внутреннюю поверхность левого кольца, то он может перебраться на внешнюю поверхность правого кольца. Иначе говоря, два эти муравья никогда не встретятся – каждый будет ползать по своей поверхности.

Понятно, что если таким образом построить цепь плоских колец или цепь из лент Мёбиуса, то эти свойства у них сохранятся.

С лентой Мёбиуса можно продолжить интересные эксперименты и дальше. Сделайте заготовку из листа бумаги, как показано на рисунке. Разрежьте по линиям, а затем каждую из получившихся полосочек, не отделенных от основной части, сверните в лист Мёбиуса. Получится этакая многоэтажная конструкция.

Конечно, на рисунке дано схематичное представление полученной структуры. Реальная «фракталообразная» фигуры такого типа выглядит гораздо более замысловато.

Вот по такому «кусту Мёбиуса» муравей бы вдосталь напутешествовался! Подобного рода многоярусных и вложенных друг в друга лент Мёбиуса можно понапридумать, конечно, очень много.

В заключение приведем еще образец фигуры, которая обладает свойствами ленты Мёбиуса и при этом ни одна из сторон не скручена. Конечно, без маленьких хитростей дело не обошлось: попасть с внешней стороны на внутреннюю можно по «эскалатору» в центре кольца.

«Дырявое» кольцо, обладающее свойствами ленты Мёбиуса.

Очень легко подобного рода кольцо сделать даже с двумя эскалаторами, что обеспечит возможность муравью сделать полный цикл, не побывав ни разу в одной и той же точке (если, конечно, он не будет делать петель, а будет двигаться только вперед).

Приобретая разнообразные товары или продукты питания в магазине, меньше всего покупатель обращает свое внимание на упаковку. Главное для него это содержимое упаковки. Ответить на вопрос из чего изготовлена бутылка для моющего средства или шампуня, какой материал используют для производства пакета, смогут единицы. Но качественная упаковка – это залог безопасности и того, что здоровью не будет нанесен вред! Условные обозначения на упаковочном материале позволяют узнать, во что упаковывают и как следует хранить пищевые продукты и другую продукцию.
В странах Евросоюза (ЕС) обязательная маркировка товаров, которые импортируются в другие страны, закреплена сводом законов. Соглашение о торговле и сотрудничестве между ЕЭС и СССР было подписано 25 июня 1988 году. 1 декабря 1997 года между Российской Федерацией и ЕС в силу вступило двустороннее соглашение.
Самые распространенные маркировки, цифровые и условные обозначения представлены ниже. Эта информация позволит Вам не совершить ошибку при выборе продукции.

Маркировка представляет собой цифры или буквенные обозначения позволяющие установить тип и состав материала. Обозначения, которые наносятся на упаковку, помогают легче отсортировать и утилизировать ее после использования.

Треугольник с тремя стрелками → СОЗДАНИЕ → ПРИМЕНЕНИЕ → УТИЛИЗАЦИЯ.
Это обозначение дает понять, что упаковка может применяться для вторичной переработки. Использование данного знака – это основа, в которой указывается материал изготовления продукции. Внутрь знака вписывается соответствующая цифра, которая обозначает тот или иной материал. При обозначении пластика может использоваться буквенный код.

Цифровые и буквенные обозначения на пластмассе.

Пластик цифры от 1 до 19
Картон и бумага от 20 до 39
Металл от 40 до 49
Древесина от 50 до 59
Ткани и текстиль от 60 до 69
Стекло от 70 до 79

1 - ПЭТ (PET) полиэтилентерефталат
- 2 - ПВД (HDPE) полиэтилен высокого давления
- 3 - ПВХ (PVC) поливинилхлорид
- 4 - ПНД (LDPE) полиэтилен низкого давления
- 5 - ПП (PP) полипропилен
- 6 - ПС (PS) полистирол
- 7 - OTHER другие полимеры, которые вторично не перерабатываются

*Петля Мебиуса*. Представляет собой треугольник, который обозначает, что упаковка была частично или полностью изготовлена из переработанного материала. Иногда производитель может указать соотношение используемого вторичного сырья в изготовленной продукции в процентном выражении.

*Бокал и Вилка*. В представленном виде говорит о том, что упаковка или посуда может использоваться для продуктов питания, в том числе для длительного хранения.
*Бокал и Вилка* перечеркнуты*. В этом случае упаковка не предназначена для использования и тем более хранения продуктов питания.

Знак соответствия системы обязательной сертификации.

ЭКОмаркировка.

Лента Мебиуса - простая, но удивительная штука. Сделать ее можно за пару секунд, а сюрпризов, закономерностей и свойств у этого явления - масса. Чтобы это было понятнее на практике, возьмите обычную полоску бумаги, клей, соедините ее концы. Но обязательно так, чтобы один конец оказался перевернут относительно другого на пол-оборота. Вот и готова знаменитая лента Мебиуса.

О получившейся загадочной поверхности можно говорить бесконечно. Задайте себе вопрос о том, сколько поверхностей у бумажного кольца. Две? А вот и нет - одна. Проверить это очень просто. Возьмите фломастер или карандаш и попробуйте закрасить одну из сторон ленты, не отрываясь и не переходя на другую сторону. Получилось? А где же незакрашенная сторона? То-то и оно…

Название ленте дал ее изобретатель: Август Фердинанд Мебиус, профессор университета в Лейпциге. Он посвятил научной работе свою долгую и плодотворную жизнь (а это 78 лет), а сохранял он ясность ума до самого ухода. В свои 75 лет профессор описал уникальные свойства односторонней поверхности с кажущейся двуслойностью. С тех пор лучшие умы геометрии, физики и даже духовности исследовали этот объект вдоль и поперек.

Вы самостоятельно можете провести несколько экспериментов, взяв в руки ленту Мебиуса. Попробуйте разрезать ее вдоль, проведя предварительно среднюю линию по всей поверхности. Как вы думаете, что получится? Два кольца меньшей ширины? Снова неверно - одно! Вдвое длиннее предыдущего, но перекрученное уже дважды. Вот у него-то как раз уже будут две поверхности, а не одна, как в первом случае. Такую завитушку называют Афганской лентой, она тоже широко известна исследователям. Кстати, в духовности этот эффект называют символом дуальности и трактуют иллюзорным восприятием единого.

А если снова провести продольную линию, но не посередине, а ближе к краю на треть ширины ленты? Разрежьте полученное кольцо, и у вас в руках их окажется уже два: лента Мебиуса и Афганская лента, причем непостижимым образом они будут сцеплены друг с другом.

Но это далеко не все сюрпризы. Попробуйте при склеивании ленты в кольцо взять не одну, а две бумажные полоски. А потом три или даже четыре. Гарантирую: результат вас удивит еще больше!

Любопытный опыт можно поставить и гипотетически. Взяв двойную ленту Мебиуса (то есть склеенную из двух полосок) и просунув между ними палец (карандаш, деревянную палочку - что угодно), мы сможем водить им между лентами бесконечно, доказав тем самым, что фигура состоит из двух отдельных частей. А теперь представьте себе, что между этими лентами ползает муха. Нижняя полоска для нее будет «полом», верхняя - «потолком», и так до бесконечности.

Но на деле все совсем не так просто, как кажется. Ведь если поставить метку начала путешествия мухи «на полу», то когда насекомое сделает круг, эта самая метка окажется уже «на потолке». И чтобы снова перейти «на пол», нужно будет совершить еще один круг.

Представьте, что муха ползет по улице. Справа от нее находятся дома под четными номерами, а слева, соответственно, под нечетными. Совершая прогулку, в какой-то момент наша путешественница удивленно заметит, что нечетные номера идут уже справа, а четные - слева! Страшно представить такую ситуацию на наших реальных дорогах с правосторонним движением, ведь скоро придется столкнуться с другими прогуливающимися «лоб-в-лоб». Вот такая она - лента Мебиуса…

Применение этой и других закономерностей нашлось не только в гипотетической, но и в реальной жизни. Например, на основе ленты созданы ремни в печатных устройствах, автоматическая передача, абразивное кольцо в затачивающих механизмах и многое другое, о чем вы даже не подозреваете. Поистине, лента Мебиуса - загадка, которую можно изучать до бесконечности!

А знаете ли вы, какую информацию можно получить о продукте, исходя только из его упаковки? Даже если на ней все написано с помощью иероглифов. Ничего страшного, если вы не знаете значения ни одного из них. Все равно вы поймете рисунки-пиктограммы. Они там для того и нарисованы, чтобы информацию могли считать и понять во всех уголках земного шара.

Так, если вы видите на коробке рюмку, то это означает, что внутри находится хрупкий товар, а если на пиктограмме бушует пламя, то содержимое коробки огнеопасно.

А что означают вот такие знаки?

На этой пиктограмме нарисована знаменитая лента или петля Мебиуса. Она представляет собой некий математический парадокс, так как является односторонней поверхностью. Да, да – у нее только одна сторона. Вы можете сами в этом убедиться, если возьмете ее в руки. Сделается петля Мебиуса просто – возьмите полосу бумаги, длиной около 30 см, а шириной в 1,5 см.

Поверните один ее конец на 180 градусов и приклейте к другому. Для того чтобы убедиться в том, что у нее действительно одна сторона, поставьте ровно посредине ленты карандаш и ведите линию, не отрывая его от бумаги. Через некоторое время вы упретесь в начало вашей же линии. Бумагу вы не переворачивали, карандаш от нее не отрывали, а линия соединилась, следовательно, петля Мебиуса действительно имеет всего одну сторону, и ваши глаза вас просто обманывают. Вообще, исследовать ее очень интересно. Попробуйте разрезать ее по карандашной линии – получатся соединенные между собой кольца.

Но этот экскурс в дебри математических парадоксов вовсе не объясняет того, что же делает на упаковке петля Мебиуса. Знак этот означает, что сама упаковка сделана из материала, который может быть вторично переработан. Если внутри пиктограммы стоят цифры от 1 до 7, то они означают наименование материала, из которого изготовлена упаковка. По порядку возрастания цифр они означают: полиэтилентерфталат, полиэтилен высокой плотности, ПВХ, полипропилен, полистирол или другой пластик. Иногда вместо букв могут применяться заглавные латинские буквы, которые обозначают то же самое.

Может случиться и так, что вместо букв или просто цифр от 1 до 7 внутри петли, или под ней будет указана какая-то величина в процентах. В этом случае петля Мебиуса рассказывает о том, сколько уже в этой упаковке содержится переработанного сырья. Почему же выбран именно этот рисунок? Это легко объяснимо. Стрелочки означают, что цикл изготовления и переработки переходит сам в себя, то есть он замкнутый.

Вообще-то простановка этого знака не регламентируется никакими законодательными требованиями и ставится исключительно по желанию производителя. Но в свете того, что за экологию сейчас борются ускоренными темпами, практически все используемые в промышленности упаковочные материалы подвергаются вторичной переработке. Так что не удивляйтесь, если встретится вам петля Мебиуса на упаковке компании “Тетра-пак” или на пластиковой бутылке. Их действительно уже научились перерабатывать, несмотря на то что раньше они считались непригодными ко вторичному использованию.

Давайте поэкспериментируем: вырежем из бумаги полоску, склеим концы ленты, но не так, как обычно, а с поворотом на 180 градусов. У нас получилась лента Мёбиуса.

Немецкий астроном и математик Август Фердинанд Мёбиус взял однажды бумажную ленту, повернул один её конец на пол-оборота (то есть на 180 градусов), а потом склеил его с другим концом. То ли от скуки он это сделал, то ли ради научного интереса - теперь уже неизвестно. Зато доподлинно известно, что именно так и появилась ещё в прошлом веке знаменитая лента Мёбиуса.

Свойства ленты Мёбиуса

Чем же она знаменита? А тем, что поверхность ленты Мёбиуса имеет только одну сторону. Это легко проверить. Возьмите карандаш и начните закрашивать ленту в каком-нибудь направлении. Вскоре вы вернётесь в то место, откуда начали. А теперь поглядите внимательно: закрашенной оказалась вся лента целиком! А ведь вы её не переворачивали, чтобы закрасить с другой стороны. Да и не смогли перевернуть, даже если бы очень захотели. Потому как поверхность ленты Мёбиуса - односторонняя . Такое вот у нее любопытное свойство наблюдается.

Поработаем ножницами ещё раз: проткнём эту ленту и аккуратно разрежем её вдоль - точно посередине. «Ну вот, - подумаете вы, - сейчас получатся два отдельных кольца…».

Но что это? Вместо двух колец, получается одно! Причём оно больше и тоньше первоначального, и перекручено дважды. «Такого не бывает», - скажете вы. Бывает.

Как Вы думаете, что станет с этой фигурой, если её снова разрезать? Может быть, снова выйдет одна целая, но перекрученная полоска бумаги? Нет. На этот раз получатся уже два сцепленных кольца.

Вот такие интересные метаморфозы таит в себе лента Мебиуса. Вы можете показать друзьям эти явления, выдавая их за фокусы, тогда как на самом деле вы просто продемонстрируете им математические законы.

Простая полоска бумаги, но перекрученная всего лишь раз и склеенная затем в кольцо, сразу же превращается в загадочную ленту Мёбиуса и приобретает удивительные свойства. Такие свойства поверхностей и пространств изучает специальный раздел математики - топология .
Наука эта настолько сложная, что ее в школе не проходят. Только в институтах (и то не во всех!). Но кто знает, вдруг вы станете со временем знаменитым топологом и совершите не одно замечательное открытие. И быть может, какую-нибудь замысловатую поверхность назовут вашим именем!

Лента Мёбиуса в архитектуре

А где в реальной жизни можно увидеть ленту Мёбиуса? Многие архитекторы в своих проектах пытаются использовать загадочную ленту. Так бельгийский архитектор Винсент Каллебо для парка в Тайване разработал новое здание, которое напоминает ленту Мебиуса.

Сооружение имеет форму ласточкиного гнезда и начинается с треугольника, а затем закручивается в эллипс. Внутри строения можно полюбоваться растениями, предметами искусства или просто совершить прогулку.