Свойства ромба параллелограмма трапеции. Параллелограмм является ромбом. Четырехугольники. Квадрат, прямоугольник их свойства

Многие геометрические задачи касаются четырехугольников и, в частности, параллелограммов. Сегодня мы продолжим разговор об этих фигурах и об их частных случаях: прямоугольнике, ромбе, квадрате.

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Свойства параллелограмма (т.е. зная, что четырехугольник это параллелограмм, мы можем утверждать, что): противолежащие стороны равны; противоположные углы равны; диагонали точкой пересечения делятся пополам; сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°; Признаки параллелограмма: (т.е. четырехугольник является параллелограммом, если:) Две его противоположные стороны равны и параллельны. Противоположные стороны попарно равны. Противоположные углы попарно равны. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые. Свойства прямоугольника диагонали равны. Признаки прямоугольника Параллелограмм является прямоугольником, если: Один из его углов прямой. Его диагонали равны.

Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны. Свойства ромба все свойства параллелограмма; диагонали перпендикулярны; диагонали являются биссектрисами его углов. Признаки ромба Параллелограмм является ромбом, если: Две его смежные стороны равны. Его диагонали перпендикулярны. Одна из диагоналей является биссектрисой его угла.

Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны. Свойства квадрата все углы квадрата прямые; диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам. Признаки квадрата Прямоугольник является квадратом, если он обладает каким-нибудь признаком ромба.

Важно понимать различие между свойствами и признаками. Дело в том, что если четырехугольник обладает свойством параллелограмма (прямоугольника/ромба/квадрата), то это совсем не обязательно будет параллелограмм (прямоугольник/ромб/квадрат). Необходимо внимательно анализировать имеющуюся информацию и не предполагать то, чего нет в условии.

Например,
У параллелограмма две противоположные стороны параллельны. Это его свойство. Но на основании того, что у четырехугольника две стороны параллельны нельзя утверждать, что это параллелограмм, он может оказаться трапецией.
У прямоугольника диагонали равны. Но зная, что у четырехугольника диагонали равны, нельзя сделать вывод о том, что это прямоугольник, ведь это может быть даже не параллелограмм.
У ромба диагонали перпендикулярны. Но если у четырехугольника диагонали перпендикулярны, то это не основание считать его ромбом. Он снова может оказаться не параллелограммом.
Также важно быть уверенным, что вы можете отвечать на следующие простые вопросы:
Является ли любой квадрат прямоугольником?
Является ли любой квадрат ромбом?
Является ли любой ромб квадратом?
Является ли любой прямоугольник квадратом?
Является ли любой ромб параллелограммом?
И т.д.

Рассмотрим примеры задач.

Пример 1:
Is quadrilateral ABCD a parallelogram?
(1) Two of the sides have length of 7.
(2) Two of the opposite sides have length of 9.
Решение:

Из утверждения 1 мы понимаем, что две из четырех сторон четырехугольника равны. Но этого явно недостаточно, чтобы сказать, что многоугольник в условии – параллелограмм. Мы смогли бы это утверждать, если, например, знали бы дополнительно, что эти стороны противоположные и параллельные.

Утверждение 2 также не дает оснований полагать, что речь идет о параллелограмме, так как неясно, параллельны ли эти стороны.

Объединяя их вместе, мы получаем, что две противоположные стороны равны по 9, значит длины другой пары противоположных сторон – 7. Если у четырехугольника противоположные стороны попарно равны, то мы с уверенностью можем утверждать, что это параллелограмм. Правильный ответ C.

Пример 2:

Is quadrilateral ABCD a rectangle?

(1) Line segments AC and BD bisect one another.
(2) Angle ABC is a right angle.





Решение:
Утверждение 1 дает нам понять, что ABCD – это параллелограмм, но не обязательно прямоугольник.
Утверждение 2 говорит нам, что один из углов четырехугольника прямой, чего также недостаточно, чтобы сделать вывод, что это будет прямоугольник.
Параллелограмм с одним прямым углом это и есть прямоугольник. Правильный ответ С.

Пример 3:
In the figure to the right, is quadrilateral PQRS a parallelogram?
(1) The area of ”PQS is equal to the area of ”QRS.
(2) QR = RS
(A) Statement 1 alone is sufficient but statement 2 alone is not sufficient to answer the question asked.
(B) Statement 2 alone is sufficient but statement 1 alone is not sufficient to answer the question asked.
(C) Both statements 1 and 2 together are sufficient to answer the question but neither statement is sufficient alone.
(D) Each statement alone is sufficient to answer the question.
(E) Statements 1 and 2 are not sufficient to answer the question asked and additional data is needed to answer the statements.
Решение:
Утверждение 1 не гарантирует, что четырехугольник PQRS – параллелограмм. У ”PQS и ”QRS общая сторона QS, и равенство их площадей говорит нам всего лишь о равенстве высот к этой стороне. Этого можно добиться, например, передвижением точки Р параллельно QS.
Утверждение 2 также не дает оснований считать PQRS параллелограммом.
Даже собрав информацию из обоих утверждений, мы ничего не знаем о параллельности сторон четырехугольника.
Ответ E.

Материал подготовила: Olga Moskalenko, Gmat Math Consultant

Структура теоремы. Виды теорем.

Структура теорем:

Условие (что дано)

Заключение (что доказать)

Разъяснительная часть (обычно явно не присутствует, а подразумевается)

Теорема- это математическое предположение, истинность которого установлена посредством рассуждений.

А(х) => В(х)

Условие заключение

А) Обратная данной

В(х) => А(х)

Б) Противоположная данной

А(х) => В(х)

В) обратая противоположной

В(х) => А(х)

Способы математических доказательств. Математические понятия. Объем и содержание понятия.

Треугольник. Виды треугольника. Основные свойства.

Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки.

Треугольник (по угл)

Прямоугольный остроугольный тупоугольный

Треугольник (по стор)

Разносторонний Равнобедренный Равносторонний

Основные свойства треугольников. В любом треугольнике:

1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.

В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.

3. Сумма углов треугольника равна 180 º .

Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем треугольнике равен 60 º.

4. Продолжая одну из сторон треугольника (AC, рис.25), получаем внешний угол BCD. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов не смежных с ним: BCD = A + B.

5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности (a < b + c, a > b – c; b < a + c, b > a – c; c < a + b, c > a – b).

Четырехугольники. Квадрат, прямоугольник их свойства.

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольника

Так как прямоугольник является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма.

1. Противоположные стороны прямоугольника равны: AB=CD BC=AD.

2. Каждый угол прямоугольника равен 90°.

Это значит, что противоположные углы равны и сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

3. Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам: BO=OD AO=OC.

А также BO=OD=AO=OC (см. шестое свойство, присущее только прямоугольнику).

4. Диагональ прямоугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника.

5. Накрест лежащие углы при диагонали равны.

Свойство, присущее только прямоугольнику

6. Диагонали прямоугольника равны: BD=AC

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата: Квадрату присущи все свойства параллелограмма. Квадрат можно считать ромбом с прямыми углами или прямоугольником с равными сторонами, поэтому квадрат обладает всеми свойствами ромба и прямоугольника.

1. Все стороны квадрата равны: AB=BC=CD=AD.

2. Каждый из углов квадрата равен 90°.

3. Диагонали квадрата равны и точкой пересечения делятся пополам: BD=AC; BO=OD=AO=OC.

4. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны: BD⊥AC.

5. Диагонали квадрата являются биссектрисами его углов: ∢ABD=∢DBC=∢BCA=...=45°.

6. Диагонали квадрата делят его на четыре равных прямоугольных равнобедренных треугольника.

26. Параллелограмм, ромб их свойства .

Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом.

Свойства параллелограмма

1. Противоположные стороны параллелограмма равны:

2. Противоположные углы параллелограмма равны:

∢A=∢C, ∢B=∢D

3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам:

4. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника:

треугольники ABC и CDA равны.

5. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180 градусам: ∢A+∢D=180°

6. Накрест лежащие углы при диагонали равны:

∢BAC=∢ACD, ∢BCA=∢CAD

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба

1. Противоположные стороны ромба равны: AB=BC=CD=AD (т.к. все стороны равны).

2. Противоположные углы ромба равны: ∢A=∢C ∢B=∢D.

3. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам: BO=OD AO=OC.

4. Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба, равна 180°: ∢A+∢D=180°.

5. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны: AC⊥BD.

6. Диагонали ромба являются также биссектрисами его углов (делят углы ромба пополам).

7. Диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.

Треугольники ABO, СBO, CDO, ADO - равные прямоугольные треугольники.