Логика разрезания фигур со скосом. Олимпиадные, логические и занимательные задачи по математике. Задачи на разрезание. Внеклассное мероприятие "разрезание геометрических фигур на части"

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Опыт показывает, что при использовании практических методов обучения удается сформировать у учащихся ряд мыслительных приемов, необходимых для правильного вычленения существенных и несущественных признаков при ознакомлении с геометрическими фигурами. развивается математическая интуиция, логическое и абстрактное мышление, формируется культура математической речи, развиваются математические и конструкторские способности, повышается познавательная активность, формируется познавательный интерес, развивается интеллектуальный и творческий потенциал.В статье приводится ряд практических задач на разрезания геометрических фигур на части с целью составить из этих частей новую фигуру. Ученики работают над заданиями в группах. Затем каждая группа защищает свой проект.

Две фигуры называются равносоставленными, если, определённым образом разрезав одну из них на конечное число частей, можно (располагая эти части иначе) составить из них вторую фигуру. Итак, метод разбиения основан на том, что всякие два равносоставленных многоугольника равновелики. Естественно поставить обратный вопрос: всякие ли два многоугольника, имеющих одинаковую площадь, равносоставлены? Ответ на этот вопрос был дан (почти одновременно) венгерским математиком Фаркашем Бойяи (1832г.) и немецким офицером и любителем математики Гервином (1833г.): два многоугольника, имеющих равные площади, равносоставленны.

Теорема Бойяи-Гервина гласит: любой многоугольник можно так разрезать на части, что из этих частей удастся сложить квадрат.

Задание 1.

Разрежьте прямоугольник a х 2a на такие части, чтобы из них можно было составить квадрат.

Прямоугольник ABCD разрежем на три части по линиям MD и MC (М – середина АВ)

Рисунок 1

Треугольник АMD переместим так, чтобы вершина М совместилась с вершиной С, катет АМ переместится на отрезок DС. Треугольник МВС переместим влево и вниз так, что катет МВ наложится на половину отрезка DС. (Рисунок 1)

Задание 2.

Разрезать равносторонний треугольник на части так, чтобы из них можно было сложить квадрат.

Обозначим данный правильный треугольник АВС. Необходимо разрезать треугольник АВС на многоугольники так, чтобы из них можно было сложить квадрат. Тогда эти многоугольники должны иметь по крайней мере по одному прямому углу.

Пусть К – середина СВ, Т – середина АВ, точки М и Е выберем на стороне АС так, что МЕ=АТ=ТВ=ВК=СК=а , АМ=ЕС=а /2.

Рисунок 2

Проведем отрезок МК и перпендикулярные к нему отрезки ЕР и ТН. Разрежем треугольник на части вдоль построенных линий. Четырехугольник КРЕС повернем по часовой стрелке относительно вершины К так, что СК совместится с отрезком КВ. Четырехугольник АМНТ повернем по часовой стрелке относительно вершины Т так, что АТ совместится с ТВ. Треугольник МЕР переместим так, что в результате получится квадрат. (Рисунок 2)

Задание 3.

Разрезать квадрат на части так, чтобы из них можно было сложить два квадрата.

Обозначим исходный квадрат ABCD. Отметим середины сторон квадрата – точки M, N, K, H. Проведем отрезки МТ, НЕ, КF и NР – части отрезков МС, НВ, КА и ND соответственно.

Разрезав квадрат ABCD по проведенным линиям, получим квадрат PTEF и четыре четырехугольника MDHT, HCKE, KBNF и NAMP.

Рисунок 3

PTEF – уже готовый квадрат. Из оставшихся четырехугольников составим второй квадрат. Вершины A, B, C и D совместим в одну точку, отрезки АМ и ВК, MD и КС, BN и СН, DH и АN совместятся. Точки Р, Т, Е и F станут вершинами нового квадрата. (Рисунок 3)

Задание 4.

Из плотной бумаги вырезаны равносторонний треугольник и квадрат. Разрезать эти фигуры на многоугольники так, чтобы из них можно было сложить один квадрат, при этом части должны полностью его заполнять и не должны пересекаться.

Треугольник разрежем на части и составим из них квадрат так, как показано в задании 2. Длина стороны треугольника – 2а . Теперь следует разделить на многоугольники квадрат так, чтобы из этих частей и того квадрата, который получился из треугольника, составить новый квадрат. Возьмем квадрат со стороной 2а , обозначим его LRSD. Проведем взаимно перпендикулярные отрезки UG и VF так, что DU=SF=RG=LV. Разрежем квадрат на четырехугольники.

Рисунок 4

Возьмем квадрат, составленный из частей треугольника. Выложим четырехугольники – части квадрата так, как показано на рисунке 4.

Задание 5.

Крест составлен из пяти квадратов: один квадрат в центре, а остальные четыре прилежат к его сторонам. Разрезать его на такие части, чтобы из них можно было составить квадрат.

Соединим вершины квадратов так, как показано на рисунке 5. Отрежем “внешние” треугольники и переместим их на свободные места внутри квадрата АВСК.

Рисунок 5

Задание 6.

Перекроить два произвольных квадрата в один.

На рисунке 6 показано, как нужно разрезать и переместить части квадратов.

В ниманию репетиторов по математике и преподавателей различных факультативов и кружков предлагается подборка занимательных и развивающих геометрических задач на разрезание. Цель использования репетитором таких задач на своих занятиях — не только заинтересовать ученика интересными и эффектными комбинациями клеток и фигур, но и сформировать у него чувство линий, углов и форм. Комплект задач ориентирован главным образом на детей 4-6 классов, хотя не исключено его использование даже со старшеклассниками. Упражнения требуют от учащихся высокой и устройчивой концентрации внимания и прекрасно подходят для развития и тренировки зрительной памяти. Рекомендуется для репетиторов математики, занимающихся подготовкой учеников к вступительным экзаменам в математические школы и классы, предъявляющие особые требования к уровню самостоятельного мышления и творческим способностям ребенка. Уровень задач соответсвует уровню вступительных олимпиад в лицей «вторая школа» (вторая математическая школа), малому Мехмату МГУ, Курчатовской школе и др.

Примечание репетитора по математике:
В некоторых решения задач, которые вы можете посмотреть щелкнув на соответствующем указателе, указан лишь один из возможных примеров разрезания. Я вполне допускаю, что у вас может получиться какая-то другая верная комбинация — не надо этого бояться. Проверьте тщательно решение вашего мылыша и если оно удовлетворяет условию, то смело принимайтесь за следующую задачу.

1) Попробуйте разрезать изображенную на рисунке фигуру на 3 равные по форме части:

: Маленькие фигуры очень похожи на букву Т

2) Разрежьте теперь эту фигуру на 4 равные по форме части:

Подсказка репетитора по математике : Легко догадаться, что маленькие фигурки будут состоять из 3 клеточек, а фигур из трех клеточек не так много. Их всего два вида: уголок и прямоугольник 1×3.

3) Разрежьте данную фигуру на 5 равных по форме частей:

Найдите количество клеточек, из которых состоит каждая такая фигура. Эти фигурки, похожи на букву Г.

4) А теперь нужно разрезать фигуру из десяти клеток на 4 неравных друг другу прямоугольника (или квадрата).

Указание репетитора по математике : Выделите какой-нибудь прямоугольник, а затем в оставшиеся клетки попробуйте вписать еще три. Если не получается, то смените первый прямоугольник и попробуйте еще раз.

5) Задача усложняется: нужно фигуру разрезать на 4 разных по форме фигурки (не обязательно на прямоугольники).

Подсказка репетитора по математике : нарисуйте сначала отдельно все виды фигур разной формы (их будет больше четырех) и повторите метод перебора вариантов как в предыдущей задаче.
:

6) Разрежьте эту фигуру на 5 фигур из четырех клеток разной формы таким образом, чтобы в каждой их них была закрашена только одна зеленая клетка.

Подсказка репетитора по математике: Попробуйте начать разрезание с верхнего края данной фигуры и вы сразу поймете, как действовать.
:

7) По мотивам предыдущей задачи. Найдите сколько всего имеется фигур различной формы, состоящих ровно из четырех клеток? Фигуры можно крутить, поворачивать, но нельзя поднимать состола (с его поверхности), на котором она лежит. То есть две приведенные фигурки не будут считаться равными, так как они не могут получаться друг из друга при помощи поворота.

Подсказка репетитора по математике: Изучите решение предыдущей задачи и постарайтесь представить себе различные положения этих фигур при повороте. Нетрудно догадаться, что ответом в нашей задаче будет число 5 или больше. (На самом деле даже больше шести). Всего существует 7 типов описанных фигур.

8) Разрежьте квадрат из 16 клеток на 4 равные по форме части так, чтобы в каждой из четырех частей была ровно одна зеленая клетка.

Подсказка репетитора по математике : Вид маленьких фигурок не квадрат и не прямоугольник, и даже не уголок из четырех клеток. Так на какие же фигуры надо попытаться разрезать?

9) Изображенную фигуру разрежьте на две части таким образом, чтобы из полученных частей можно было сложить квадрат.

Подсказка репетитора по математкие : Всего в фигуре 16 клеток — значит, квадрат будет размеро 4×4. И еще как-то нужно заполнить окошко в середине. Как это сделать? Может быть каким-нибудь сдвигом? Тогда поскольку длина прямоугольника равна нечетном учислу клеток, разрезание нужно провести не вертикальным разрезом, а по ломаной линии. Так, чтобы верхняя часть отрезалась с одной стороны от средние клетки, а нижняя с другой.

10) Разрежьте прямоугольник размером 4×9 на две части с таким расчетом, чтобы в результате из них можно было сложить квадрат.

Подсказка репетитора по математике : Всего в прямоугольнике 36 клеток. Поэтому квадрат получится размером 6×6. Так ка кдлинная сторона состоит из девяти клеток, то три из них нужно отрезать. Как дальше пойдет этот разрез?

11) Крестик из пяти клеток, показанный на рисунке требуется разрезать (можно резать сами клетки) на такие части, из которых можно было бы сложить квадрат.

Подсказка репетитора по математике : Понятно, что как бы мы по линиям клеточек не резали — квадрат не получим, так как клеток всего 5. Это задача единственная, в которой разрешается резать не по клеткам . Однако их все равно хорошо бы оставить в виде ориентира. например, стоит заметить, что нам как-то нужно убрать углубления, которые у нас есть — а именно, во внутренних углах нашего креста. Как бы это сделать? Например, срезая какие-то выпирающие треугольники из внешних уголков креста...