Образовательный портал. Образование / Среднее образование и школа / Чему равен угол между параллельными прямыми. Угол между прямыми. Условия параллельности и. Постороение параллельных прямых

Чему равен угол между параллельными прямыми. Угол между прямыми. Условия параллельности и. Постороение параллельных прямых

19.08.2019

Для того чтобы мы могли определить угол между двумя лучами, они вовсе необязательно должны иметь общее начало. В самом деле, каждый луч, независимо от того, где он начинается, задает какое-то направление на плоскости, а различие между двумя направлениями характеризуется не чем иным, как углом - точнее говоря, угловым расстоянием или, с учетом знака, угловым смещением.

Особенно, когда вы рисуете прямой угол, сначала будет нелегко использовать среднюю полосу вместо прямоугольного угла. Понятно, что освоение геодезического треугольника облегчит студентам рисование геометрических форм и фигур. В некоторых случаях ученики часто сталкиваются с прямыми углами в своей среде, и их важность проиллюстрирована в классе. Например, почему полка имеет правильный угол или почему железнодорожные пути параллельны.

Как параллели, так и прямые углы будут по-прежнему встречаться в будущем не только в преподавании геометрии, но и во всех дисциплинах, например, в искусстве или внеурочной архитектуре. Согласно плану обучения, в конце начальной школы ученики должны быть знакомы с обработкой чертежных инструментов и построением прямых углов и параллелей с треугольником.

Рассмотрим лучи OА и OВ с общим началом в точке O . Обозначим угол между ними через γ . Давайте, однако, договоримся, что здесь и далее в этих рассуждениях под «углом» мы будем понимать не угловое расстояние, а угловое смещение, которое может быть положительным или отрицательным. Об этом на рисунках нам будет напоминать стрелка у дуги, обозначающей угол:

Угол складывания особенно подходит для ознакомления с геодезическим треугольником и прямым углом. Благодаря практическим упражнениям связь может быть выяснена. В начале урока на стене проецируется изображение «Питомник». Образ служит мотивацией, поскольку он исходит из мира детей, служит привлекательным для начала, направляет мысли и смотрит на изображение. Она проецируется на стену, так как она тогда хорошо видна всем детям, и их взгляд собирается в одном месте, и они замечают, что урок начинается.

С вопросом «что вы видите?» Дети должны иметь возможность свободно выражать свое мнение и как учитель замечает, на каком уровне дети: знают ли они значение «стоять вертикально» и «параллельно»? Если дети узнают и распознают прямой угол и параллель, один переходит к задаче, чтобы дети отмечали параллели и прямые углы на слайде в цвете.

Пусть на луче OA между O и A задана произвольная точка A 0 , а на луче OB между O и B - произвольная точка B 0 . Очевидно, что угол между лучами A 0 A и B 0 B тоже равен γ , хотя на этот раз лучи исходят не из одной точки.

Этот угол мы могли бы найти и другим способом. Проведем через точки A 0 и B 0 прямую и отметим на ней точки A 1 и B 1 , как показано на рисунке:

Смешанные задачи на прямую

Затем цвет маркируется на фольге. Студенты также должны поговорить с их рисунком, чтобы другие не только видели, но и слышали, что демонстрируется. Это должно быть проиллюстрировано двумя цветами. Это, в свою очередь, будет признано, на каком уровне учащиеся. Отдельные дети должны выходить вперед и сами рисовать линию.

Через некоторое время дети должны попытаться провести параллели и объяснить их. Несколько раз демонстрируя на доске и разговаривая, все рисуют параллели в своей записной книжке. Совет служит для меня и для всех других учеников. Кроме того, все студенты могут видеть и слышать его снова.

Измерим углы ∠A 1 A 0 A и ∠A 1 B 0 B и обозначим результаты наших измерений через α и β соответственно. Эти углы (а точнее - угловые смещения) отсчитываются от одного и того же направления, задаваемого лучом B 0 A 1 . Очевидно, что угол γ можно вычислить как

С кратким обзором прямоугольника, обозначенного синим на картинке, вы разделите буклет. «Теперь попробуйте сложить правильный угол с этим листом» - задача. Кроме того, это расслабление, потому что это другой материал. Если есть несколько детей, спросите ребенка, может ли он объяснить, что он сделал.

После складывания это приводит к линии сгиба, а затем складывает линию сгиба друг на друга. Результирующий угол является прямым углом. Что вы узнаете, когда смотрите на линии с треугольником. Таким образом, дети должны обнаружить прямой угол в геодезическом треугольнике, как сверху, так и в нуле.

γ = β − α .

Пусть теперь на плоскости нам даны два произвольных луча B 0 B и A 0 A . Опираясь на предыдущие рассуждения, мы всегда можем найти угол γ между ними одним из следующих двух способов.

Первый способ . Восстановить исходные лучи до полных прямых, найти точку их пересечения и непосредственно измерить угол γ между подходящими лучами, начинающимися в этой точке:

Теперь нужно определить прямоугольник. Это служит упражнением для борьбы с треугольником и для проверки того, были ли поняты уроки, извлеченные в ходе урока. Два листа домашних заданий можно запустить, если еще есть время. Домашнее задание важно для проверки того, было ли это понято, может ли оно применяться как для ученика, так и для учителя, а также для консолидации и практики. Если рабочие листы могут быть запущены в течение часа, любые проблемы или вопросы, возникающие дома, уже могут быть решены.

Время в час в связи с обилием вещества. Верхний проектор - доска, мел - треугольник, линейка - слайды, ручка из фольги - листовки - листы. Модуль: Геометрический чертеж Тема: Прямой угол, Параллели. Чтобы иметь возможность распознавать и рисовать прямые углы и параллели, применение и смысл понятий: «стоит вертикально», «параллельно», узнайте, как иметь дело с геодезическим углом. В дополнение к проекционной оптике адаптация оптических параметров может влиять на однородность, прямолинейность и структуру изображения.

Второй способ . Провести прямую через точки A 0 и B 0 , измерить образовавшиеся углы α и β и вычислить угол γ по формуле γ = β − α .

Необходимо отметить, что второй способ работает всегда, а с первым способом могут возникнуть проблемы. Это случается, в частности, тогда, когда углы α иβ в точности равны друг другу:

Преимущества линий, взглядов и узоров

Свойства линий, взглядов и узоров

Применение линий, оптики и узоров. Измерения световых секций Обработка изображенийМультилинейное освещениеТелецентрические лазерные линииМикроскопыИнспекции измерения частиц. Чтобы сделать пресс-формы, нам нужно знать небольшую геометрию. Все методы плоского моделирования основаны на принципах в этой области математики. Если вы планируете научиться делать пресс-формы и забыли, что узнали в школе, хорошо рассмотреть!

Точка - это элемент, который не имеет размера, он просто отмечает позицию. Мы отмечаем точку на бумаге как можно меньше. Прямая - сплошная линия, которая не сломается и не кривая. Часто в моделировании мы рисуем линию между двумя точками. Прямая линия всегда должна быть нарисована линейкой.

В этом случае угол γ , вычисляемый по формуле γ = β − α , обращается в нуль. А это означает, что прямые, восстановленные из лучей B 0 B и A 0 A , нигде не пересекаются.

Действительно, если бы они пересекались, то угол γ можно было бы измерить в точке пересечения непосредственно, но тогда он оказался бы отличен от нуля.

Параллельные линии представляют собой две или более прямых линий, которые имеют постоянное расстояние друг от друга. Если мы измеряем расстояние между ними в разных точках, результат всегда будет таким же. Теоретически, если мы продолжим эти линии бесконечно, они никогда не пересекаются. Чтобы нарисовать параллельные линии, мы должны сначала нарисовать линию, затем пометить нужное расстояние от двух точек на линии, а затем нарисовать вторую линию на этих точках.

Прямые перпендикуляры и прямые углы

Перпендикулярные линии пересекаются, образуя равные углы с обеих сторон. Эти углы называются прямыми углами и равны 90 °. Очень важно знать их, потому что мы много используем для изготовления пресс-форм. Чтобы нарисовать перпендикулярные прямые и прямые углы, мы должны использовать квадрат, который является типом линейки в форме треугольника. Квадрат всегда имеет угол под прямым углом.

Пусть две несовпадающие прямые принадлежат одной плоскости и на них лежат лучи, угол между которыми равен нулю. Про такие прямые говорят, что они параллельны друг другу. Важнейшее свойство параллельных прямых заключается в том, что они нигде не пересекаются.

Вернемся к задаче о нахождении угла γ между двумя произвольными лучами B 0 B и A 0 A с началом в разных точках. Мы только что рассмотрели особый случай, когда этот угол равен нулю. Про лучи, угловое расстояние между которыми равно нулю, говорят, что они сонаправлены или параллельны . Возможен другой особый случай, когда угол γ , рассчитанный по формуле γ = β − α , оказывается равен 180° или −180°:

Расстояние от данной точки до данной прямой

Когда угол меньше, чем прямой угол, то есть более закрытый, это называется острым. Когда он больше или более открыт, он называется тупой. Прямоугольник представляет собой четырехстороннюю фигуру, которая имеет равные углы, но не все стороны имеют одинаковую меру. Прямоугольник всегда имеет две пары сторон.

Чтобы нарисовать прямоугольник, мы используем квадрат. Начнем с обозначения одной стороны. Затем мы рисуем перпендикулярную линию и отмечаем измерение на другой стороне. Из этой маркировки мы рисуем еще один перпендикуляр и повторяем до закрытия фигуры.

Такие лучи называются противонаправленными или антипараллельными . Несложно видеть, что прямые, восстановленные из этих лучей, параллельны друг другу и, таким образом, этот случай очень похож на предыдущий.

Постороение параллельных прямых

Пусть на листе бумаги начерчена некоторая прямая n и мы хотим провести другую прямую, параллельную первой. Делается это так. Совместим с прямой n одну из сторон чертежного треугольника. К другой стороне треугольника приставим линейку. Прочно держим линейку одной рукой и передвигаем треугольник другой рукой, скользя им вдоль линейки. После этого проводим линию по той стороне треугольника, которую первоначально мы приставляли к исходной прямой n . Новая линия образует тот же угол с линейкой, что и прямая n , а значит, обе линии параллельны друг другу.

Прямоугольник является основой многих методов моделирования, поэтому используйте правильный угол. Если у вас есть дополнительные вопросы в этой области, спросите меня в комментариях! Солнце испускает световые лучи, которые перемещают пространство по прямой, а некоторые приближаются к Земле, чтобы осветить ее.

«Нарисуй мне пейзаж», спрашивает учитель. Вот возможный результат в логотипе этой статьи. К счастью, дети ходят в школу немного выше начальной школы и, открывая таким образом мир, как есть. Они, в частности, узнают, что лучи солнца приходят на Землю почти параллельно друг другу, потому что диаметр Земли и Солнца намного меньше расстояния Солнца Солнца. Они даже способны продемонстрировать это однажды.

Если мы хотим, чтобы новая прямая прошла через какую-то определенную точку, то мы всегда это может сделать, остановив скольжение угольника вдоль линейки в подходящем месте.

перпендикулярности двух прямых.

1. Если прямые L 1 и L 2 заданы общими уравнениями

Поставив 107 «солнц» в конец, мы можем присоединиться к нашей звезде на Землю. Поэтому для получения солнечного диаметра необходимо присоединить 109 «земель». Чтобы вернуть все это в наш масштаб, рассмотрите Землю на миллиметр; солнце измеряет в 109 раз больше, почти 11 сантиметров и должно быть представлено на расстоянии 11 метров и 74 сантиметра от Земли. Мы можем поместить Землю и солнце в наш сад: шар одного миллиметра на одном конце, а другой - 11 сантиметров на расстоянии около 12 метров. Каждый из солнечных лучей, освещающих Землю, теперь может быть представлен тонкой веревкой, натянутой между этими двумя сферами.

А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 и А 2 х + В 2 у + С 2 = 0,

то угол между ними равен углу между их нормалями, то есть между векторами {A 1 ,B 1 } и {A 2 ,B 2 }. Следовательно,

Условия параллельности и перпендикулярности прямых тоже сводятся к условиям параллельности и перпендикулярности нормалей:

Условие параллельности, (7.11)

- условие перпендикулярности. (7.12).

Солнечные лучи, поступающие непосредственно на Землю, почти параллельны, а отсутствие параллелизма меньше одного процента. Но однажды мы смотрим нечаянно, и мы понимаем, почему нам было запрещено смотреть на солнце. Это должно было скрыть нас. Не очень параллельны этим лучам. В мусоре демонстрация, порядки величины, углы и проценты. Если оптическая иллюзия обманывает нас?

Априори, никто не ставит под сомнение утверждение, хорошо продемонстрированное. Иногда рискуя, он больше не верит своим глазам. Вышеприведенное утверждение учит нас, что, когда световые лучи поступают непосредственно из Солнца, они параллельны. Наш визуальный опыт, который, кажется, противоречит этой теореме, оставляет нам два варианта.

2. Если прямые заданы каноническими уравнениями (7.5), по аналогии с пунктом 1 получим:

, (7.13)

Условие параллельности, (7.14)

- условие перпендикулярности. (7.16).

Здесь и - направляющие векторы прямых.

Пояснительным явлением может быть следующее. Световые лучи испускаются солнцем и поступают, параллельно друг другу, в облако. Внутри нее лучи отражаются микроскопическими каплями, образующими облако: они играют роль малых зеркал, ориентированных во всех возможных направлениях; после нескольких отскоков свет выходит из облака во всех направлениях. Таким образом, лучи не поступают непосредственно от солнца. Это похоже на то, что источник света теперь является внутренним облаком, поэтому очень близко к нам, так что приведенное выше утверждение не применяется.

3. Пусть прямые L 1 и L 2 заданы уравнениями с угловыми коэффициентами (7.8)

у = k 1 x +b 1 и y = k 2 x + b 2 , где , а α 1 и α 2 – углы наклона прямых к оси Ох, то для угла φ между прямыми справедливо равенство: φ = α 2 - α 1 . Тогда

Условие параллельности имеет вид: k 1 =k 2 , (7.18)

условие перпендикулярности – k 2 =-1/k 1 , (7.19)

На самом деле, совсем нет, и это второй вариант, который дает правильное объяснение. Это наш глаз обманывает нас, точнее, наш мозг. . Лучи, по сути, так же параллельны, как борозды следующего поля. Это просто эффект перспективы. Лучи не кажутся параллельными, потому что они приходят к нам, что очевидно для всех, по крайней мере с 15 века.

Идеальный город, живопись Пьеро делла Франческа, мастера евклидовой перспективы и геометрии. Объекты того же размера воспринимаются как меньшие, когда они находятся дальше. Например, вертикальные края зданий в идеальном городе кажутся меньшими, когда они находятся дальше. На следующей фотографии это ширина полов, которые, кажется, сокращаются.

поскольку при этом tgφ не существует.

Расстояние от точки до прямой.

Рассмотрим прямую L и проведем перпендикуляр ОР к ней из начала координат (предполагаем, что прямая не проходит через начало координат). Пусть n – единичный вектор, направление которого совпадает с ОР. Составим уравнение прямой L, в которое входят два параметра: р – длина отрезка ОР и α – угол между ОР и Ох.

Лучи солнца, которые мы воспринимаем, представляют собой колонны воздуха, сильно освещенные солнцем, которые контрастируют с соседними воздушными колоннами в тени облаков. Эти столбцы имеют параллельные ребра. Поэтому их фактическая ширина постоянна, а воспринимаемая ширина сужается с расстоянием; кажется, приближаются лучи, когда они достигают облаков. Точка исчезновения этих лучей находится на солнце. Точнее, расширения лучей, которые мы видим, сходятся на солнечном диске, скрытом облаками.

Для надстроек на перспективу вы можете пойти сюда, здесь или здесь. Благодарности. - Благодаря Жерому Крассусу из лаборатории физики Ренна, указав сайт атоптики. Мы нарисовали предыдущее объяснение, а также некоторые красивые картинки. Спасибо за это красивое математическое объяснение явления.

Для точки М, лежащей на L, проекция вектора ОМ на прямую

ОР равна р. С другой стороны, пр n OM=n·OM. Поскольку

n ={cosα , sinα }, a OM ={x,y }, получаем, что

x cosα + y sinα = p, или

x cosα + y sinα - p = 0 - (7.20)

Искомое уравнение прямой L , называемое нормальным

уравнением прямой (термин «нормальное уравнение» связан

с тем, что отрезок ОР является перпендикуляром, или нормалью, к данной прямой).

Определение 7.2. Если d – расстояние от точки А до прямой L , то отклонение δ точки А от прямой L есть число +d , если точка А и начало координат лежат по разные стороны от прямой L , и число –d , если они лежат по одну сторону от L .

Теорема 7.1. Отклонение точки А(х 0 ,у 0 ) от прямой L , заданной уравнением (7.20), определяется по формуле:

Доказательство.

Проекция OQ вектора ОА на направление ОР равна

n·OA =x 0 cosα + y 0 sinα. Отсюда δ = PQ=OQ-OP=OQ-p =

x 0 cosα + y 0 sinα - p , что и требовалось доказать

Следствие.

Расстояние от точки до прямой определяется так:

Замечание. Для того, чтобы привести общее уравнение прямой к нормальному виду, нужно умножить его на число , причем знак выбирается противоположным знаку свободного члена С в общем уравнении прямой. Это число называется нормирующим множителем.

Пример. Найдем расстояние от точки А (7,-3) до прямой, заданной уравнением

3х + 4у + 15 = 0. А ² + B ²=9+16=25, C =15>0, поэтому нормирующий множитель равен

1/5, и нормальное уравнение прямой имеет вид: Подставив в его левую часть вместо х и у координаты точки А, получим, что ее отклонение от прямой равно

Следовательно, расстояние от точки А до данной прямой равно 4,8.

8. Прямая и плоскость в пространстве. Уравнения плоскости и прямой в пространстве. Угол между плоскостями. Угол между прямой и плоскостью.

Отметим, что многие утверждения и формулы, касающиеся плоскости в пространстве, доказываются и выводятся так же, как при изучении прямой на плоскости, поэтому в этих случаях будут даваться ссылки на предыдущую лекцию.

Плоскость в пространстве.

Получим сначала уравнение плоскости, проходящей через точку М 0 (х 0 ,у 0 ,z 0 ) перпендикулярно вектору n = {A,B,C },называемому нормалью к плоскости. Для любой точки плоскости М(х, у, z ) вектор М 0 М = {x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ) ортогонален вектору n , следовательно, их скалярное произведение равно нулю:

A(x - x 0 ) + B(y - y 0 ) + C(z - z 0 ) = 0. (8.1)

Получено уравнение, которому удовлетворяет любая точка заданной плоскости – уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

После приведения подобных можно записать уравнение (8.1) в виде:

Ax + By + Cz + D = 0, (8.2)

где D = -Ax 0 - By 0 - Cz 0 . Это линейное уравнение относительно трех переменных называют общим уравнением плоскости .

Материалы по теме:

Карта сайта