Чему равна диагональ четырехугольника

Закон синусов и закон косинусов являются тригонометрическими формулами, связывающими меры углов треугольника с длинами его сторон. Они получены из свойства, что большие углы треугольников имеют пропорционально большие противоположные стороны. Используйте закон синусов или закон косинусов для вычисления длин сторон треугольника и четырехугольника, если вы знаете меру одной стороны, один угол и одну дополнительную сторону или угол.

Рассчитать длину треугольной стороны

Найдите дары треугольника. Гивенс - это длины сторон и меры углов, которые уже известны. Вы не можете найти меру длины сторон треугольника, если не знаете меры одного угла, одной стороны и другой стороны или другого угла. Решите для переменных в уравнениях из шага 3 или 4, чтобы найти неизвестные длины треугольника.

Вычислить четырехсторонние боковые длины

Нарисуйте диагональ через четырехугольник. Помните, что сумма углов четырехугольника составляет 360 градусов, поэтому вы можете найти меру четвертого угла, если знаете три других. Площадь четырехугольника описывает поверхность двумерной формы. Площадь может быть визуализирована как количество плиток, необходимых для покрытия пола или количества краски, необходимой стене. Чтобы найти область четырехугольника, тщательно измерьте длину, ширину и высоту формы и используйте соответствующую формулу для конкретного типа четырехугольника.

Площадь Ромба и Параллелограмма

Для этого вам нужно знать измерения сторон. Стороны квадрата равны, поэтому формула квадрат = площадь. Если сторона 4 дюйма, то площадь составляет 4 х 4, что составляет 16 дюймов в квадрате. Чтобы, умножьте длину горизонтальной стороны на длину вертикальной стороны. Если ширина составляет 4 дюйма, а высота - 2 дюйма, площадь составляет 8 дюймов в квадрате. Хотя ромб имеет все равные стороны, а параллелограмм имеет две пары равных сторон, формула для области одинакова. Основание представляет собой длину нижней стороны.

В отличие от формулы для квадрата или прямоугольника высота не представляет собой длину вертикальной стороны. Нарисуйте перпендикулярную линию от основания формы до верхней линии. Измерение этой вертикальной линии - это высота формы. Если измерение базы составляет 4 дюйма, а высота - 3 дюйма, то площадь формы составляет 12 дюймов в квадрате.

Трапеция представляет собой четырехугольник с двумя неравными параллельными сторонами. Формула такая же, если непараллельные стороны являются регулярными или нерегулярными. Высота формы - это не длина стороны, а длина вертикальной линии, перпендикулярной верхней и нижней сторонам.

Теперь умножьте 4 на высоту, 4, а площадь составляет 16 дюймов в квадрате. Некоторые четырехугольники не соответствуют определению квадрата, прямоугольника, ромба, параллелограмма или трапеции. Стороны имеют неровную или неправильную длину. Одним из способов найти область этих фигур является рисование линий внутри формы для создания фигур, для которых область может быть легко решена.

Например, многие четырехугольники состоят из прямоугольников и треугольников. Добавьте две области вместе, чтобы рассчитать площадь всей фигуры. Вычисление площади планарного многоугольника является базовым вычислением геометрии и может быть найдено во многих вводных текстах. Тем не менее, существует несколько различных методов вычисления планарных областей в зависимости от имеющейся информации.

До Пифагора область параллелограмма, как известно, равнялась произведению его оснований с его высотой. Итак, для этих простых, но часто встречающихся случаев мы имеем. Однако, за исключением особых ситуаций, поиск высоты треугольника при произвольной ориентации обычно требует также вычисления перпендикулярного расстояния верхней вершины от основания.

Другое часто используемое вычисление получается из того факта, что треугольники с равными сторонами являются конгруэнтными и, следовательно, имеют одну и ту же площадь. Имеются интересные алгебраические вариации этой формулы; такие как. Другие варианты формулы Херона можно найти на странице треугольника Эрика Вейсштейна. Оставшаяся классическая треугольная конгруэнция - это когда известны два угла и одна сторона.

Совсем недавно, начиная с 17-го века с Декарта и Ферма, линейная алгебра создавала новые простые формулы для области. Это позволяет взять перекрестное произведение двумерных векторов и использовать его для вычисления области. Тем не менее, полезно не принимать абсолютное значение здесь, а вместо этого пусть площадь будет знаковой величиной. Эта формула для области является очень эффективным вычислением без корней и не задействованных тригонометрических функций - всего 2 умножения и 5 дополнений и, возможно, 1 деление на 2.

Итак, это значение является очень полезным примитивом, и здорово иметь такую ​​эффективную формулу для него. Греки выделили определенные четырехугольники для специального лечения, включая квадрат, прямоугольник, параллелограмм и трапецию. И площадь параллелограмма была равна его базовой высоте по высоте. Но не было общей формулы для площади четырехугольника.

Однако он работает только для циклических четырехугольников, где все четыре вершины лежат на одной окружности. Тогда область дается. Которая является удивительной симметричной формулой. В современной линейной алгебре, как уже отмечалось, площадь планарного параллелограмма представляет собой величину поперечного произведения двух смежных краевых векторов. Итак, для любого трехмерного планарного параллелограмма мы имеем.

Который снова является подписанным, так же, как и для треугольников. Это также указывает на ориентацию. Далее, для произвольного четырехугольника можно вычислить его площадь, используя параллелограмм, обнаруженный Пьером Вариньоном. Учитывая любой четырехугольник, можно взять средние его 4 ребра, чтобы получить 4 вершины, которые образуют новый четырехугольник. Чтобы увидеть это, для любого четырехугольника пусть вершины средней точки будут такими, как показано на диаграмме.

Отношение площадей также легко продемонстрировать. И мы можем вычислить область как. Что составляет половину величины поперечного произведения двух диагоналей четырехугольника. Эта формула справедлива для любого трехмерного планарного четырехугольника.

Эта формула для произвольного четырехугольника столь же эффективна, как и для произвольного треугольника, используя только 2 умножения и 5 дополнений. Однако он также работает для непростых четырехугольников и равен разности площадей двух областей четырехугольника. Двумерный многоугольник можно разложить на треугольники. Для вычислительной области существует очень простой метод разложения для простых полигонов. Тогда площадь равна сумме подписанных областей всех треугольников; и у нас есть. Если вместо этого полигон ориентирован по часовой стрелке, то знаки меняются на противоположные, а внутренние треугольники становятся отрицательными.

Например, на приведенной выше диаграмме треугольники и имеют положительную площадь и вносят положительный вклад в общую площадь многоугольника. Однако, как видно, только часть и на самом деле внутри, и есть часть каждого треугольника, который также является внешним. С другой стороны, треугольники и имеют отрицательную область, и это отменяет внешние избытки положительных треугольников площади. В конечном счете, внешние области все отменяются, и каждый остается точно в области полигона.

Таким образом, третий является предпочтительным для эффективности. Это вычисление дает подписанную область для многоугольника; и, подобно подписанной области треугольника, положительна, когда вершины ориентированы против часовой стрелки вокруг многоугольника и отрицательны при ориентации по часовой стрелке. Таким образом, это вычисление может быть использовано для проверки глобальной ориентации многоугольника. Однако существуют другие более эффективные алгоритмы для определения ориентации многоугольника.

Самый простой способ - найти самую правую нижнюю вершину многоугольника, а затем проверить ориентацию вводя и оставляя ребра в этой вершине. Этот тест можно сделать, проверив, находится ли конечная вершина выходящего края слева от входного края, что означает, что ориентация против часовой стрелки, в противном случае - по часовой стрелке.

Мы уже показали, что площадь трехмерного треугольника задается на половину величины поперечного произведения двух реберных векторов; а именно. Он может быть получен из теоремы Стокса. Однако мы покажем здесь, как извлечь его из трехмерного треугольного разложения, геометрически более интуитивного.

Тогда сумма проекционных площадей будет равна общей площади планарного многоугольника. Чтобы достичь этого, начните с сопоставления каждому треугольнику вектора области, который перпендикулярен, и величина которого мы знаем, равна этой области треугольника.

Как мы уже показали, площадь трехмерного планарного четырехугольника может быть вычислена через кросс-произведение его диагоналей; а именно::, который уменьшает четыре дорогостоящих вычисления перекрестного продукта до одного! Эта формула уменьшает количество дорогостоящих кросс-продуктов в два раза. Мы просто отмечаем это здесь и не преследуем его дальше. Затем эти проекции являются «сохраняющими ориентацию», поскольку знак проекции области многоугольника соответствует ориентации в проекционной подплане.

Фактически, вычисляя площадь одной проекции многоугольника, можно быстро получить области других проекций. Вот несколько примеров реализации С этих формул в качестве алгоритмов. Мы просто приводим двумерный случай с целыми координатами и используем простейшие структуры для точки, треугольника и многоугольника, которые могут отличаться в вашем приложении. Мы представляем многоугольник как массив точек, но часто более удобно иметь его в виде связанного списка вершин, а многоугольные подпрограммы можно легко модифицировать для сканирования через связанный список.