Образовательный портал. Образование / Среднее образование и школа / Все про пи. Пи и проблема ленты

Все про пи. Пи и проблема ленты

26.09.2018

1. Число Пи - самая известная константа в математическом мире.

2. В эпизоде сериала Стар Трек «Волк в овчарне» Спок командует компьютеру из фольги «вычислить до последней цифры значение числа Пи».

3. Комик Джон Эванс однажды язвительно заметил: «Что Вы получите, если разделите окружность фонаря из тыквы с прорезанными отверстиями в виде глаза, носа и рта на его диаметр? Тыкву π!».

Можно понять, что математика - это не поле, в котором движется Макарио в основном, но то, что, на мой взгляд, непонятно, состоит в том, что он пишет колонку мнений о числе с таким количеством ошибок. Число, о котором идет речь, является трансцендентным, что означает, что оно имеет бесконечные десятичные знаки без какого-либо периода.

Число является трансцендентным, истинным, но определение трансцендентного числа, данное в статье, неверно. Например, число имеет бесконечные десятичные знаки без какого-либо периода, но оно не является трансцендентным, так как оно является решением уравнения многочлена. Числа, имеющие бесконечные непериодические десятичные числа, называются иррациональными.

4. Учёные в романе Карла Сагана «Связь» пытались разгадать довольно точное значение числа Пи, чтобы найти скрытые сообщения от создателей человеческой расы и открыть людям доступ к "более глубоким уровням вселенских знаний".

5. Символ Пи (π) используется в математических формулах уже на протяжении 250 лет.

6. Во время знаменитого суда над О.Дж.Симпсоном возникли споры между адвокатом Робертом Бласиером и агентом ФБР о фактическом значении числа Пи. Задумано это всё было для того, чтобы выявить недостатки в уровне знаний агента госслужбы.

Нет последовательности десятичных знаков повторов и, следовательно, любое число, которое происходит с нами, независимо от того, как долго, находится между десятичными знаками этой константы. Например, в этом блоге мы уже прокомментировали, что число. Известный как число Лиувилля, является иррациональным, но кажется ясным, что не каждая последовательность чисел, которая встречается с нами, встречается в ее десятичных знаках.

Иррациональное число, которое не может быть записано как простая дробь.
Десятичные числа бесконечны и входят в группы по десять из десяти.
В настоящее время известно более 22 триллионов цифр, и они все еще вычисляются.

Каждый 14 марта любители математики отмечают День Пи, в честь иррационального числа. Он определяется как соотношение между длиной окружности и ее диаметром в евклидовой геометрии.

7. Мужской одеколон от компании Гивенчи, названный «Пи», предназначен для привлекательных и дальновидных людей.

8. Мы никогда не сможем с точностью измерить окружность или площадь круга, так как не знаем полное значение числа Пи. Данное «магическое число» является иррациональным, то есть его цифры вечно меняются в случайной последовательности.

Связь между длиной или периметром круга и его диаметром является постоянной величиной, но она также определяется как иррациональное число, потому что она не может быть выражена как часть двух целых чисел. Несмотря на то, что тысячи исследователей являются иррациональным числом, максимальное число его десятичных знаков продолжает определяться группами по десять из десяти. В настоящее время известно 22 триллиона цифр, и еще больше десятичных знаков.

Почему это называется «иррациональным числом», а не «бесконечным»?

Это определение, как мы говорили в предыдущих строках, становится, поскольку оно не может быть выражено как часть целых чисел. Английский Уильям Оудред был первым, кто использовал греческую букву в качестве символа отношения между длинами окружности и ее диаметром.

9. В греческом («π» (piwas)) и английском («p») алфавитах этот символ располагается на 16 позиции.

10. В процессе измерений размеров Великой пирамиды в Гизе оказалось, что она имеет такое же соотношение высоты к периметру своего основания, как радиус окружности к ее длине, то есть 1/2π

11. В математике π определяется отношением длины окружности круга к его диаметру. Другими словами, π число раз диаметра круга равно его периметру.

Является ли греческая буква эквивалентной 3, 14?

И, кроме того, его ценность может быть найдена в любой окружности или круговом объекте. Мир математики празднует. В этот вторник отмечается «День Пи», увлекательное число, которое мы знаем главным образом с цифрой 3. Это также постоянное и иррациональное число, которое указывает на связь между длиной круга и его диаметром.

С каких пор этот день празднуется?

Благодать Пи заключается в ее способности достичь бесконечности. 3. 14 показывает только первые два десятичных знака, по сути, его цифры никогда не заканчиваются и никогда не показывают шаблон. Идея праздновать этот день была физическим Ларри Шоу, Сан-Франциско. С тех пор партия набирает популярность.

12. Первые 144 цифры числа Пи после запятой заканчиваются цифрами 666, которые упоминаются в Библии как «число зверя».

14. В 1995 году Хирюки Гото смог воспроизвести по памяти 42 195 знаков числа Пи после запятой, и до сих пор считается действительным чемпионом в этой области.

15. Людольф ван Цейлен (род.1540 – ум.1610 гг.) провёл большую часть своей жизни над расчетами первых 36 цифр после запятой числа Пи (которые были назваными «цифрами Лудольфа»). Согласно легенде, эти цифры были выгравированы на его надгробной плите после смерти.

Еще одна из самых впечатляющих вещей об этой константе заключается в том, что она появляется в нескольких местах. Одна из математических областей, которые мы все изучаем в школе, - это вероятности. Это важно для работы с вычислениями, относящимися к круглым телам, таким как круги, сферы, цилиндры, конусы или эллипсы. Это связано с тем, что отношение между длиной окружности и ее диаметром является постоянной величиной, независимо от размера окружности. Однако это еще не доказано. Десятичных знаков.

Самое интересное число - это определенно π. У числа π много друзей. Иногда хочется иметь меньше, потому что страсть к числу Архимедов вызывает странные и невероятные истории. В книжных магазинах для широкой публики есть больше публикаций, посвященных Φ, чем посвященных π, но, вероятно, это потому, что оно более элементарно и связано с определенными нумерологическими убеждениями.

16. Уильям Шэнкс (род.1812-ум.1882 гг.) работал в течение многих лет, чтобы найти первые 707 цифры числа Пи. Как оказалось позже, он допустил ошибку в 527 разряде.

17. В 2002 году японский учёный просчитал 1,24 триллиона цифр в числе Пи с помощью мощного компьютера Hitachi SR 8000. В октябре 2011 года число π было рассчитано с точностью до 10.000.000.000 знаков после зяпятой

Однако для ученых нет сомнений: π - король чисел, тот, который объединяет самые таинства и странность, тот, который имеет наибольшее математическое значение. Если бы они были напечатаны, это дало бы эквивалент десяти миллионов довольно больших работ. Разумеется, человеческий глаз не путешествовал по этим рассчитанным цифрам, которые существуют только в памяти компьютеров!

Обратите внимание, что Φ неизвестно всем, тогда как π, он учится в начальной школе и никогда не забывает. Этот результат, продемонстрированный более чем столетием назад Фердинандом фон Линдеманном, означает, что π является решением любого полиномиального уравнения с целыми коэффициентами. Вычисление Φ возвращает для вычисления квадратного корня из 5, что по проб и ошибок легко, тогда как для π доступен такой естественный, быстрый и простой метод. Число является фаворитом снобов и наив, которые думают, что это дает секрет красоты, в то время как это более чем сомнительно.

18. Так как 360 градусов в полном круге и число Пи тесно связаны, некоторые математики пришли в восторг, узнав, что цифры 3, 6 и 0 находится на триста пятьдесят девятом разряде после запятой в числе Пи.

19. Одно из первых упоминаний о числе Пи можно встретить в текстах египетского писца по имени Ахмес (около 1650 года до н. э.), известных сейчас как папирус Ахмеса (Ринда).

Напротив, число π необходимо, хотите ли вы это знать или нет. Он находится в вашем кармане, где диаметр и окружность монет связаны с π. Он находится в объеме Земли и ее поверхности, которая рассчитывается по ее радиусу и π. Это длина путешествия, пройденного вашим автомобилем, равная π раз больше оборотов, сделанных колесом, умноженным на его диаметр. Он находится в законах вероятности. Он повсюду в физике и многих других науках.

Из-за своей неоспоримой важности некоторые хотят соотнести π и узнать наизусть наизусть. Этот сумасшедший вид спорта теперь координируется веб-сайтом, который после четкого определения правил игры ведет «официальный» список последовательных записей. В правилах указывается, что после 3 подсчитываются только десятичные цифры. При перечислении этих десятичных знаков не допускается ошибка, которая должна выполняться по порядку и публично. Два свидетеля, не имеющие отношения к «рассказчику», должны подтвердить этот эксплойт.

20. Люди изучают число π уже на протяжении 4000 лет.

21. В папирусе Ахмеса запечатлена первая попытка рассчитать число Пи по «квадратуре круга», которая заключалась в измерении диаметра круга по созданным внутри квадратам.

22. В 1888 году доктор по имени Эдвин Гудвин заявил, что он обладает «сверхъестественным значением» точной меры круга. Вскоре был предложен законопроект в парламенте, по принятию которого Эдвин мог бы опубликовать авторские права на свои математические результаты. Но этого так и не произошло - законопроект не стал законом, благодаря профессору математики в законодательном органе, которые доказал, что метод Эдвина привел к очередному неверному значению числа Пи.

Эта запись была подтверждена очень требовательной Книгой рекордов Гиннеса. В интервью он сказал, что работа по запоминанию спросила его год. К сожалению, информация о его эксплоите не считалась достаточно точной и безопасной для признания его записи. Акира Харагути объяснила философию, которая побуждает его продолжать его усилия: Все вещи в этом мире, включая нас самих, являются совокупностями атомов, которые сделаны из вращающихся электронов. Земля вращается, Галактика тоже, Вселенная тоже.

Мнемоническая система Акира Харагути состоит из сопоставления числа с каждым звуком, используемым японским языком. Вспоминая π, он возвращается к нему, чтобы изучить истории, которые он создает после десятичных знаков π. Именно они, что он держит слово за словом и что он переводит в список цифр во время его ежедневных чтений. Он говорит: Я создал около 800 историй, в основном о животных и растениях.

23. Первый миллион знаков после запятой в числе Пи состоит из: 99959 нулей, 99758 единиц, 100026 двоек, 100229 троек, 100230 четвёрок, 100359 пятёрок, 99548 шестёрок, 99800 семёрок, 99985 восьмёрок и 100106 девяток.

24. День Пи отмечается 14 марта (выбран был по причине схожести с 3.14). Официальное празднование начинается в 1:59 после полудня, дабы соблюсти полное соответствии с 3/14|1:59. Альберт Эйнштейн родился в 3 марта 1879 года (3/14/1879) в Ульме (королевство Вюртемберг), Германия.

Это звучит сомнительно, но кто знает? Мозговая визуализация, нейробиолог Амир Раз из Колумбийского университета в Соединенных Штатах, и его коллеги наблюдали мозг предмета обучения и читали десятизначные числа. Предмет их исследования, 22-летний студент, использовал древний мнемонический процесс локусов для запоминания чисел. Он состоит в том, чтобы вообразить, что человек проходит через реальное здание, чьи различные части или элементы украшения связаны с вещами, которые нужно исправить в своей памяти.

В дополнение к определению частей головного мозга, участвующих в этом типе упражнений, один из выводов статьи нейробиологов заключается в том, что такие подвиги гораздо больше являются результатом длительного обучения и овладения хорошими мнемическими методами, чем к обладанию определенным даром.

25. Значение первых чисел в числе Пи после впервые правильно рассчитал одни из величайших математиков древнего мира, Архимед из Сиракуз (род.287 – ум.212 г. до н. э.). Он представил это число в виде нескольких дробей По легенде, Архимед был настолько увлечён рассчетами, что не заметил, как римские солдаты взяли его родной город Сиракузы. Когда римский солдат подошел к нему, Архимед закричал по-гречески: «Не трогай моих кругов!». В ответ на это солдат заколол его мечом.

Доктор Пи, мошенник с 300 миллионами десятичных знаков

Он представлял себя выпускником медицины, психиатра, нейрохирурга, психотерапевта, шахматиста высокого уровня и способным использовать умственные расчеты и запоминание. Он даже служил в министерстве и поддерживался двумя президентами Украины, Виктором Ющенко и Виктором Януковичем. Для π, в связи с публичными демонстрациями, ему удалось убедить ряд наблюдателей, что он знал 30 миллионов десятичных знаков. Он даже позже потребовал 300 миллионов. Конечно, он не читал их, но указал на кусочки в ответ на заданные ему вопросы.

26. Точное значение числа Пи было получено китайской цивилизацией намного раньше, чем западной. Китайцы имели два преимущества по сравнению с большинством других стран мира: они использовали десятичную систему обозначения и символ нуля. Европейские математики как раз-таки наоборот не использовали символическое обозначение нуля в счетных системах до позднего средневековья, пока не вступили в контакт с индийскими и арабскими математиками.

Обратите внимание, что со скоростью одного десятичного разряда в секунду, не останавливаясь, потребуется 9, 5 лет, чтобы перечислить 300 миллионов десятичных знаков, которые, как утверждается, известны доктору Пи. Невозможно: узнать эти же десятичные числа, посвятив все время, день и ночь, со скоростью одной десятичной секунды в секунду, требуется еще 9, 5 лет работы.

Его записи не были подтверждены и, хотя они никогда не попадались в обман, некоторые подозревали, что сообщник, используя скрытое у него устройство, прошептал ответы. После нескольких лет различных успехов, в течение которых он стал богатым, особенно благодаря так называемым чудесным средствам, разработанным его заботой, все стало не так. Было обнаружено, что у него нет дипломов, которые он утверждал. Позже компьютерный ученый признал прессу, что он создал программы, помогающие Андрею Слюсарчуку в его π-подвигах, а также помогал составлять научные статьи, публикуя уже опубликованные статьи.

27. Аль-Хорезми (основатель алгебры) упорно работал над расчетами числа Пи и добился первых четырёх чисел: 3,1416. Термин «алгоритм» происходит от имени этого великого среднеазиатского учёного, а из его текста Китаб аль-Джабер валь-Мукабала появилось слово «алгебра».

28. Древние математики пытались вычислить Пи, каждый раз вписывая полигоны с большим количеством сторон, которые намного теснее вписывались в площадь круга. Архимед использовал 96-угольник. Китайский математик Лю Хуэй вписал 192-угольник, и потом 3072-угольник. Цу Чун и его сыну удалось вместить многоугольник с 24576 сторонами

Наконец, он попытался покончить с собой в тюрьме. Все эти формулы и методы приводят к точному числу, и это утверждение приводит к каждому конкретному случаю из неопровержимого математического доказательства. Число π является своего рода математическим аттрактором, который стремится к цифрам из разных источников и которые, по разным формулам, соглашаются, как будто чудом.

Если математические демонстрации, указывающие на то, что вы падаете на один и тот же номер, вас не удовлетворяют, вы можете управлять соглашением формул с использованием компьютерных вычислений. Выбирая из каждого из определений процедуру вычисления и программу, вы получите десятичные знаки, соответствующие различным формулам, дающим π. Вы сравниваете результаты и экспериментально обнаруживаете уникальность расчетного числа.

29. Уильям Джонс (род.1675 – ум.1749) ввел символ «π» в 1706 году, который позднее был популяризирован в математическом сообществе Леонардо Эйлером (род.1707 – ум.1783).

30. Символ Пи «π» стал использоваться в математике лишь в 1700-х годах, арабы изобрели десятичную систему в 1000 г., а знак равенства «=» появился в 1557 году.

31. Леонардо да Винчи (род.1452 – ум.1519) и художник Альбрехт Дюрер (род.1471 – ум.1528) имели небольшие наработки по «квадратуре круга», то есть владели приблизительным значением числа Пи.

32. Исаак Ньютон рассчитал число Пи до 16 знаков после запятой.

33. Некоторые учёные утверждают, что люди запрограммированы для нахождения закономерностей во всём, потому что только так они можем придать смысл всему миру и самим себе. И именно поэтому нас так привлекает "незакономерное" число Пи))

34. Число Пи также может упоминаться как «круговая постоянная», «архимедова константа» или «число Лудольфа».

35. В семнадцатом веке число Пи вышло за пределы круга и стало применяться в математических кривых, таких как арка и гипоциклоида. Произошло это после обнаружения, что в данных областях некоторые величины могут быть выражены через само число Пи. В двадцатом веке число Пи уже использовалось во многих математических областях, таких как теория чисел, вероятности и хаоса.

36. Первые шесть цифр числа Пи (314159) располагаются в обратном порядке, по крайней мере, шесть раз в числе первых 10 миллионов десятичных знаков после запятой.

37. Многие математики утверждают, что правильным будет такая формулировка: «круг - фигура с бесконечным количеством углов».

38. Тридцать девять знаков после запятой в числе Пи достаточно для вычисления длины окружности, опоясывающей известные космические объекты во Вселенной, с погрешностью не более чем радиус атома водорода.

39. Платон (род. 427 – ум.348 гг. до н. э.) получил довольно точное значение числа Пи для своего времени: √ 2 + √ 3 = 3,146.

Обычно наши знания о числе Пи заканчиваются на этом: 3,14159. Не все даже помнят, что это число показывает соотношение окружности круга и его диаметра. Пи - иррациональное число, то есть оно не может быть записано как простая дробь. К тому же оно бесконечно и является непериодической десятичной дробью, что делает его одним из самых загадочных чисел, известных человеку.

Первый расчёт

Архимед был первым, кто заговорил о существовании числа Пи

Считается, что впервые о числе Пи заговорил Архимед. Примерно в 220 году до н.э. он вывел формулу S = Рi R2 путём приближения области окружности, основанной на области многоугольника, вписанного в окружность, и области многоугольника, вокруг которого была описана окружность. Оба многоугольника очертили нижнюю и верхнюю границы окружности, тем самым позволив Архимеду осознать, что недостающая деталь (Пи) находится где-то между 3 1/7 и 3 10/71.

Известный китайский математик и астроном Цзу Чунчжи (429–501) вычислил Пи немного позже, разделив 355 на 113, но до сих пор неизвестно, как он пришёл к такому выводу, так как записей, фиксирующих его работу, не сохранилось.

Область окружности на самом деле неизвестна

Пи - иррациональное число

В 18 веке Иоганн Генрих Ламберт доказал иррациональность числа Пи. Иррациональные числа нельзя выразить как целую дробь. Любое рациональное число всегда может быть записано в виде дроби, где числитель и знаменатель выражены целым числом. Можно, конечно, представить Пи как простое соотношение длины окружности и диаметра (Рi=C/D), и всегда будет получаться так, что, если диаметр представлен целым числом, то и длина окружности будет выражена целым числом, и наоборот.

Иррациональность числа Пи выражается в том, что мы никогда не знаем реальную длину окружности (и впоследствии зону) окружности. Этот факт казался учёным неизбежным, но некоторые математики настаивали, что более точно было бы представлять, что у окружности есть бесконечное количество крошечных углов, вместо предположения, что окружность ровная сама по себе.

С помощью задачи Бюффона можно вычислить Пи, не прибегая к окружности

Впервые учёные обратили внимание на задачу Бюффона об игле в 1777 году. Эта проблема была признана одной из самых интригующих в истории геометрической вероятности. Вот, как это работает.
Если бы перед вами стояла задача бросить иголку определённой длины на лист бумаги, на котором начерчены линии такой же длины, то вероятность того, что иголка пересечёт одну из линий, будет равна числу Пи.

В бросании иголки две переменные: 1. угол падения и 2. расстояние от центра иголки до ближайшей линии. Угол может варьироваться в диапазоне от 0 до 180 градусов, а измеряется он от линии, параллельной линиям на бумаге.

Получается, что вероятность того, что иголка приземлится таким образом, равна 2/Пи, или примерно 64%. Соответственно, число Пи теоретически можно вычислить используя эту технику, если найдётся тот, кому хватит терпения проводить этот муторный эксперимент. Обратите внимание, что здесь никак не фигурирует окружность.

Возможно, сложно это всё представить, но, если у вас есть желание, можете попробовать.

Пи и проблема ленты

Длина окружности увеличивается строго в соотношении с Пи

Представьте, что вы берёте ленту и оборачиваете её вокруг земного шара. (Для упрощения эксперимента предлагаем взять за истину, что Земля - это ровная сфера, окружность которой 40000 км). Теперь попытайтесь определить необходимую длину ленты, которую можно будет обернуть вокруг Земли на расстоянии 2,54 см над её поверхностью. Если вам кажется, что вторая лента должна быть длиннее, то вы не одиноки в своих догадках. Но по факту это совсем не так: вторая лента будет всего на 2Пи длиннее, а это примерно 16 см.

А вот и разгадка: допустим, что Земля - идеальная сфера, огромная окружность, длина которой составляет 40000 км (по экватору). Следовательно, её радиус будет равен 40000/2Пи, или 6,37 км. Теперь вторая лента, которая проходит на расстоянии 2,54 см над поверхностью Земли: её радиус увеличится всего на 2,54 см по отношению к радиусу Земли. Получаем уравнение C = 2 Pi(r+1), которое равнозначно C = 2 Pi(r) + 2 Pi. Исходя из этого, мы можем сказать, что длина окружности второй ленты увеличится всего на 2 Пи. На самом деле не важно, какой исходный радиус брать в расчёт (Земли и кольца баскетбольной корзины), увеличив этот радиус на 2,54 см, длина окружности увеличится всего на 2Пи (примерно 16 см).

Число Пи играет очень важную роль в навигации, особенно, когда речь идёт об определении местоположения на большой территории. Размер человека очень мал относительно Земли, поэтому нам кажется, что мы всё время движемся по прямой, но это не так. К примеру, самолёты летают по окружности и их путь должен быть просчитан, чтобы рассчитать время полёта, количество топлива и учесть все нюансы.

К тому же, когда вы определяете своё местоположение на Земле с помощью GPS, число Пи играет важную роль в этих просчётах.

А как же навигация, которая требует ещё более точного определения местоположения, чем полёт из Нью-Йорка в Токио? Сьюзан Гомес, сотрудник NASA, говорит, что большинство расчётов NASA производит, используя числа 15 или 16, особенно, когда речь идёт об очень точных расчётах для программы, которая контролирует и стабилизирует космические корабли во время полёта.

Обработка сигналов и преобразование Фурье

Число Пи играет важную роль при передаче сигналов

Чаще всего число Пи используют в таких геометрических задачах, как измерение окружности, тем не менее, его роль важна и в обработке сигналов, в основном в процессе, известном как преобразование Фурье, которое трансформирует сигнал в спектр частот. Преобразование Фурье называют «отображением частотной области» изначального сигнала, где оно соотносится как с областью частоты, так и с математическими операциями, которые объединяют область частот и функцию времени.

Люди и технологии используют этот феномен, когда необходимо базовое преобразование сигнала, например, когда ваш iPhone принимает сообщение от вышки сотового оператора, или когда ваше ухо различает звуки разных частот. Пи, которое фигурирует в формуле преобразования Фурье, играет решающую и, вместе с тем, странную роль в процессе преобразования, так как лежит в экспоненте числа Эйлера (известная математическая постоянная 2,71828 . . .)

Следовательно, вы можете благодарить число Пи каждый раз, когда вы делаете звонок по мобильному или слушаете транслируемый сигнал.

Нормальное распределение вероятностей

С помощью Пи можно произвести расчёт силы колебаний крупной конструкции

И если использование чила Пи ожидаемо в таких операциях как преобразование Фурье, которое имеет отношение непосредственно к сигналам (и, соответственно, волнам), то его появление в формуле нормального распределения вероятностей удивительно. Вы, несомненно, сталкиваетесь с этим пресловутым распределением ранее - оно участвует в широком спектре явлений, которые мы наблюдаем регулярно, начиная с бросков костей и заканчивая результатами тестов.

Каждый раз, когда вы обнаруживаете, что в уравнении скрывается число Пи, представьте, что где-то среди математических формул скрыта окружность. В случае с нормальным распределением вероятностей, Пи выражается через гауссов интеграл (также известный как интеграл Эйлера-Пуассона), который представляет собой квадратный корень из числа Пи. На самом деле всё, что требуется, это небольшие изменения в переменных в гауссовом интеграле для вычисления нормировочной постоянной нормального распределения.

Одно распространенное, но нелогичное применение гауссовского интеграла связано с «белым шумом» - нормально распределенной случайной величиной, используемой для прогнозирования всего, начиная с воздействия ветра на самолёт, и заканчивая силой колебания балки при крупномасштабной конструкции.

Интересный факт про меандрирующие реки

Реки прокладывают свой извилистый путь в соотвествии с числом Пи

Совершенно неожиданным фактом является то, что число Пи имеет отношение к меандрирующим рекам. Пойма реки чаще всего похожа на синусоиду, которая изгибается то в одном месте, то в другом, пересекая равнину. С математической точки зрения это может быть описано как длина извилистой тропинки, разделённой длиной реки от истока до устья. Оказывается, вне зависимости от длины реки и количества её изгибов, её извилистость примерно равна числу Пи.

Альберт Энштейн высказал несколько предположений, почему реки ведут себя именно таким образом. Он заметил, что вода течёт быстрее по внешней стороне изгиба, что приводит к более сильному разрушению береговой линии и усилению изгиба. Потом эти изгибы «встречаются» друг с другом и участки реки соединяются. Кажется, что это возвратно-поступательное движение постоянно поправляет само себя, в то время как река продолжает изгибаться в соответствии с числом Пи.