Нахождение целых корней многочлена. Определение корня многочлена

РЕФЕРАТ

Корни многочлена. Теорема Безу

Выполнили:

Студенты 1 курса группы ИМ-11

Очного отделения

Шабунин Дмитрий Олегович

Зорин Александр Сергеевич

Проверила:

Бобылева Оксана Владимировна

подпись___________________

Введение……………………………………………………………………………...3

1.Многочлены………………………………………………………………………..3

1.1.Определение многочлена………………………………………………………3

1.2.Определение корня многочлена……………………………………………….4

1.3.Схема Горнера………………………………………………………………….5

1.4.Нахождение корней по схеме Горнера. Виды корней……………………….7

2. Этьен Безу. Биография. Теорема Безу. Следствия из теоремы……………….13

2.1. Этьен Безу. Биогафия………………………………………………………...13

2.2. Теорема Безу………………………………………………………………….13

2.3 Следствия из теоремы Безу…………………………………………………..14

2.4. Примеры использования теоремы…………………………………………..14

Заключение………………………………………………………………………….16

Список используемых источников………………………………………………..17

ВВЕДЕНИЕ

Тема данного реферата: «Корни многочлена. Теорема Безу».

В нем мы хотим рассмотреть, что такое многочлен, что является корнем многочлена, а также рассказать про схему Горнера и теорему Безу.

В первой части мы разберем понятие многочлена, его корней и их виды и про схему Горнера. Во второй про теорему Безу.

Данная тема довольно актуальна, поскольку теорема Безу является одной из базовых теорем алгебры.

Многочлены

Понятие многочлена

Многочлен (полином) от одной переменной x – это выражение вида

где x – переменная, – коэффициенты из некоторого числового поля, n – целое неотрицательное число, а нулевое- свободный член. Отдельные слагаемые вида ……, k=0,1, …,n называются членами многочлена.

Также многочлен называют «полиномом», этот термин происходит от греческих слов «πολι» - много и «νομχ» - член.

2 члена называются подобными , если их степени равны. При этом подобные между собой члены можно преобразовать в один, т.е. привести подобные члены.

Степенью многочлена называют наибольшую среди степеней многочлена, при этом многочлен f(x)- не тождественный нуль. Обозначается эта степень deg(f).

Например:

Многочлен четвертой степени (старшая степень равна четырем);

Многочлен второй степени или квадратный (старшая степень равна двум).

При этом тождественный нуль степени не имеет.

Предполагается, что коэффициенты многочлена принадлежат определенному полю (полю действительных, рациональных, комплексных чисел). Так, если выполнять над многочленом операции сложения, умножения или вычитания при помощи сочетательного, переместительного и распределительных законов, мы получаем снова многочлен.

Из вышесказанного следует, что совокупность всех многочленов с коэффициентами из данного поля Р образует кольцо Р - кольцо многочленов над данным полем, это кольцо не имеет делителей нуля, т.е. произведение многочленов, не равных нулю, не может дать нуль.

Определение корня многочлена

Элемент кольца Р называется корнем многочлена f(x) ∈ Р , если f( )= 0. Другими словами, число является корнем многочлена f(x), если в выражение

мы подставим , тогда получим

Таким образом, при подстановке вместо число получается верное выражение. Это означает, что число является корнем равенства f(x)=0.

Поэтому корень многочлена f(x) и корень соответствующего уравнения f(x)=0 по сути одно и то же.

К примеру, найдём корень многочлена f(x)=3 -10+3

Данное выражение является квадратным поэтому для нахождения корня многочлена нам необходимо решить следующее уравнение

3 -10х+3=0.

Для этого необходимо рассмотреть алгоритм решения квадратных уравнений.

Определение. Одночленом от переменной с коэффициентом из множества А называется выражение вида , где , − целое неотрицательное число.

Считается, что , поэтому все элементы множества А являются одночленами частного вида.

Определение. Одночлены называются подобными, если показатели степени одинаковы.

Подобные одночлены складываются по правилу , которое называется правилом приведения подобных членов . Для одночленов определяется и действие умножения .

Определение. Многочленом n -й степени от неизвестного х называется сумма целых неотрицательных степеней, не превышающих п , неизвестного х , взятых с некоторыми числовыми коэффициентами, т. е. выражение вида

В многочлене порядок слагаемых безразличен, и подобные одночлены можно соединять по правилу приведения подобных членов. Запись (2.1) называется канонической формой многочлена. Иногда удобно записывать многочлены в порядке возрастания показателей. Многочлены обозначаются , , и т. д.

Пусть , причем . Одночлен называется высшим (старшим) членом многочлена , а показатель − степенью многочлена и обозначается . Нулевой многочлен не имеет высшего члена в смысле данного определения и считается, что он равен 0. Степень нулевого многочлена считается равной символу .

Определение. Два многочлена называются равными (или тождественно равными), если они составлены в канонической записи из одинаковых одночленов, т.е. в том и только в том случае, если , .

Иными словами, в равных многочленах равны коэффициенты при одинаковых степенях неизвестного х .

Определение. Суммой двух многочленов называется многочлен, получающийся при объединении одночленов, составляющих слагаемые. После объединения необходимо привести подобные члены. Таким образом, = + + … + + .

Определение. Произведением двух многочленов называется многочлен, составленный из произведений всех членов первого сомножителя на все члены второго. После приведения подобных членов получим, что = .

Пусть даны два многочлена и , причем и . Тогда произведение содержит ненулевой одночлен, который будет высшим для произведения данных многочленов, так как остальные произведения членов на члены имеют меньшую, чем степень.

Для любых двух многочленов и можно найти такие многочлены и , что

причем степень меньше степени или же . Многочлены и , удовлетворяющие условию (2.2), определяются однозначно. Многочлен называется частным , а − остатком .

Определение. Пусть даны два ненулевых многочлена и . Если остаток от деления на равен нулю, то многочлен называется делителем многочлена .

Определение. Если − многочлен, , то называется значением многочлена при .

Теорема. Остаток от деления многочлена на линейный многочлен равен значению многочлена при .

Доказательство. Согласно (2) , где − многочлен нулевой степени, т. е. константа. Переходя в этом равенстве к значениям при , получим , откуда . Теорема доказана.

П р и м е р. Найти остаток от деления многочлена на многочлен .

Решение. По доказанной ранее теореме .

Если для полиномов и существует такой полином , что , то говорят, что полином делится на полином . Рассмотрим вопрос о делимости на линейный двучлен , где .

Теорема (Безу). Для того чтобы полином делился на , необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство. А. Необходимость. Пусть делится на , т. е. . Тогда . Б. Достаточность . Пусть . Тогда в равенстве будет , т. е. . Теорема доказана.

Определение. Число с называется корнем полинома , если .

С использованием этого определения теорема Безу может быть сформулирована следующим образом: для того чтобы полином делился на двучлен , необходимо и достаточно, чтобы с было корнем . Таким образом, отыскание корней многочлена равносильно отысканию его линейных делителей.

П р и м е р. Является ли линейный многочлен делителем многочлена ?

Решение. Найдем : , следовательно, не является делителем многочлена .

Схема Горнера

Теорема. Пусть и . Найдутся многочлен и число такие, что .

Доказательство . Будем искать в виде . Из равенства = при сравнении коэффициентов получаем цепочку равенств: , , , . . . , , , откуда последовательно определяются коэффициенты и остаток :

,…, ,

Теорема доказана. Более того, получен очень удобный способ вычисления коэффициентов и остатка . Этот способ носит название схемы Горнера .

П р и м е р. Найти неполное частное и остаток от деления многочлена на линейный двучлен .

Решение. Составим таблицу:

Таким образом, неполное частное , остаток 32.

П р и м е р. Пользуясь схемой Горнера, разложить на простейшие дроби выражение .

Решение. Разложим числитель по степеням с использованием схемы Горнера:

			-1

Таким образом, . Следовательно, .. Пусть Если число. Производная 3-го порядка: ; , таким образом, кратность корня 2 для многочлена равна 3.