1001 идея интересного занятия с детьми

БИССЕКТРИСА ПАРАЛЛЕЛОГРАММА

Марич Ольга Ивановна, МАОУ СОШ № 4 города Абинска, учитель математики, Краснодарский край

Предмет (направленность): математика.

Возраст детей: 8 – 9 классы.

Место проведения: класс.

Вид урока: Урок - исследование.
Цели урока: Образовательные: дальнейшее формирование умений систематизировать, обобщать, видеть закономерности; формирование умений решать сложные задачи, привлекая разнообразный теоретический материал из всего курса; формирование умений пользоваться опорными конспектами, графической культуры учащихся. Развивающие: развитие мыслительных операций посредством наблюдений, сравнений, сопоставлений, сознательного восприятия учебного материала, развитие математической речи учащихся, потребности к самообразованию; способствовать развитию творческой деятельности учащихся. Воспитательные: воспитание познавательной активности учащихся.
Оборудование: транспортир, линейка, мультимедийный проектор, презентация.
Ход урока

Организационный момент.

Цель урока. Так как все ученики класса в дальнейшем планируют изучать математику на профильном уровне, то они заинтересованы в получении хороших и прочных знаний по математике, которые будут реализованы в ходе ГИА, а в дальнейшем в ЕГЭ. Для того, чтобы этого добиться существует несколько методов, один из них – метод исследования, который, как никакой другой развивает логическое мышление.

Проверка домашнего задания, устранение обнаруженных пробелов.

На дом учащимся была задана задача С4 из сборника по подготовке к ЕГЭ – 2009 по математике под редакцией Ф. Ф. Лысенко, в которой необходимо было использовать свойство биссектрисы параллелограмма: биссектриса угла параллелограмма при пересечении с противоположной отсекает равнобедренный треугольник.ЗАДАЧА. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне AD делят сторону BC точками M и N так, что BM: MN = 1:5. Найти BC, если AB=3. С учащимися обсуждаются основные моменты, им задаются вопросы: - какие свойства параллелограмма вы знаете? - почему рассматриваются два случая? - как определить положение точек М и N на стороне ВС? -как доказать, что биссектриса при пересечении с противоположной отсекает равнобедренный треугольник? На доску проецируется правильное оформление задачи. Решение. Пусть Е – точка пересечения биссектрис, ВМ = х, MN = у. так как

, то точка М лежит между точками В и N, в противном случае MN меньше 5 BM.Возможны два случая:

рис.11 случай: точка Е – лежит внутри параллелограмма ABCD(рис. 1).Исходя из свойства биссектрисы параллелограмма, получим, что ABN и MCD равнобедренные. Следовательно х + у= NC +у = 3, следовательно NC = х. Так как , то у = 5х, а т. к. х + у =3, то х = , а у =, а ВС = 2х+у, ВС = .

рис. 22 случай: точка Е – лежит вне параллелограмма. (рис. 2). Тогда исходя из свойства биссектрисы ВМ=NC=3, а т. к.

, то NM=15, тогда ВС= 3+3+15=21. ОТВЕТ: или 21. Ответы на вопросы учащихся.

Актуализация проблемы.

А что произойдет, если в четырехугольнике провести все четыре биссектрисы? Давайте проведем практическую исследовательскую работу. Ученикам предлагается с помощью чертежных инструментов построить биссектрисы всех углов в различных видах параллелограмма и сделать выводы: I вариант- произвольный параллелограмм; II вариант – ромб; III вариант – квадрат; IV вариант – прямоугольник; Обсуждение результатов, полученных в ходе исследования:I вариант- после гипотез, выдвинутых учащимися на доску проецируется рисунок № 1;



II вариант – рисунок № 2;

III вариант – рисунок № 3; IV вариант – рисунок № 4;



Учащиеся в ходе выполнения практической исследовательской работы увидели, что биссектрисы смежных углов, проведенные в любом параллелограмме, пересекаются под прямым углом, а биссектрисы противоположных углов либо параллельны, либо совпадают. - Мы рассмотрели частные случаи, а как доказать справедливость этих утверждений для произвольного параллелограмма? Предлагаю вам доказать следующие дополнительные свойства биссектрис параллелограмма:

Биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны или лежат на одной прямой. Биссектрисы смежных углов параллелограмма перпендикулярны. При пересечении биссектрисы образуют прямоугольник.

Учащиеся совместно с учителем проводят доказательство. 1) Доказательство:Рассмотрим ABCD – параллелограмм. IAD=BCF по условию. Следовательно IAD=CFD. Значит прямые AI и FC параллельны по второму признаку параллельности прямых (через соответственные углы). Рассмотрим ABCD – параллелограмм. ADS=GBC по условию. Так как BС параллельно AD, то GBC=AGB, следовательно AGB=ADS. Значит прямые BG и SD параллельны по второму признаку параллельности прямых (через соответственные углы).
Рассмотрим HKLM-четырёхугольник. Так как AI параллельна FC то HK параллельно ML и BG параллельны SD, то HM параллельно KL. Следовательно HKLM – параллелограмм.
2) Доказательство: BHA=KHM=90°. Так как HKLM – параллелограмм, то KHM=KLM=90°и HML=HKL. Из выше доказанного прямые BG и SD параллельны, значит сумма односторонних углов равна 180°, поэтому HKL=180°-KHM=180°- 90°=90°. Следовательно HML=90°. 3) Так как все углы прямые, то HKLM- прямоугольник.
А теперь посмотрим, как полученные знания можно применить в ходе решения задач. Учащимся предлагается решить следующую задачу:В параллелограмме со сторонами а и b и острым углом α проведены биссектрисы четырех углов. Найдите площадь четырехугольника, ограниченного этими биссектрисами. (Ответ: S=(a-b) 2 sinα). Учащиеся обсуждают основные этапы решения задачи, выполняют чертеж. При рассмотрении данной задачи можно выделить следующие моменты: 1. Биссектриса внутреннего угла параллелограмма отсекает на противоположной стороне отрезок, равный боковой стороне.
2. Биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны.
3. Ключевой факт. В параллелограмме биссектрисы его внутренних углов, пересекаясь, образуют прямоугольник.

Дома необходимо довести данную задачу до явного вида.

Итог урока.

ЛИТЕРАТУРА.

Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю. Математика. Сборник тестов ЕГЭ - 2009., Ростов – на – Дону, Легион, 2009; Атанасян Л. С., Геометрия 7 – 9 классы, Москва, Просвещение, 2009 год.

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Гимназия №20»

Секция «МАТЕМАТИКА»

Дополнительные признаки параллелограмма

Выполнил: ученик 9 и/м класса

Сбоев Андрей

Руководитель: учитель математики

Сорочкина О.А.

Междуреченск 2009г.

Цель : Изучение дополнительных свойств параллелограмма.

Задачи: 1)Изучить дополнительные свойства параллелограмма;
2) Показать применение дополнительных свойств параллелограмма к

решению задач.

Актуальность темы: Применение дополнительных свойств параллелограмма делает решение задач более простым и позволяет быстрее придти к нужному результату.

Введение.

Термин «параллелограмм» греческого происхождения и, был введен Евклидом. Понятие параллелограмма и некоторые его свойства были известны еще пифагорейцам. В «Началах» Евклида доказывается следующая теорема: в параллелограмме противоположные углы равны и диагональ разделяет его углы пополам. Евклид не упоминает о том, что точка пересечения диагоналей параллелограмма делит их пополам. Он не рассматривает ни прямоугольник, ни ромб. Полная теория параллелограмма была разработана к концу средних веков и появилась в учебниках лишь в 17 веке. Все теоремы о параллелограмме основываются непосредственно или косвенно на теореме о параллелограмме Евклида.

Определение : Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны

В курсе геометрии 8 класса изучается два свойства параллелограмма.

Рассмотрим дополнительные признаки параллелограмма.

Дополнительные признаки параллелограмма.

1°Сумма двух соседних углов параллелограмма равна

.

Дано:

ABCD – параллелограмм Доказать:

A +B =

Доказательство:

Пусть А = x, а B = y, тогда составляем уравнение:

2(x + y) =

x + y =

A +B = , ч.т.д.

2° Биссектриса острого угла отсекает в параллелограмме равнобедренный треугольник.

ABCD – параллелограмм

АЕ – биссектриса А

Доказать:

АВЕ – равнобедренный

Доказательство:

3°Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.

Д

BCD – параллелограмм

АК – биссектриса А

N – биссектриса D

Доказать:

NОК =

Доказательство:

Пусть 1 = x, тогда А = 2x (AK – биссектриса А), а

3 = y, тогда D = 2y (DN – биссектриса D).

4 °.Биссектрисы противоположенных улов параллелограмма лежат на параллельных прямых.

ано:

А

Е и СF – биссектрисы

ВСD - параллелограмм

Доказать: AE ||CF

Доказательство:

1) 1 = 2, так как АЕ – биссектриса.

2) ВС || AD, АЕ – секущая 2 =3 (как накрест лежащие).

3) 1 = 2 = 4 = 5.

4) Из пункта 2 и 3 следует 3 = 4.

5) Рассмотрим прямые АЕ и СF и секущую ВС.

АЕ || CF ч.т.д.

Рассмотрим задачу №1. В параллелограмме АВСD угол А равен 72°. Найдите другие углы параллелограмма АВСD.

Сумма двух соседних углов параллелограмма равна 180° (1° дополнительное свойство параллелограмма). Значит В =180° – А, В =180° – 72°= 102°. 2. Противоположные углы параллелограмма равны, значит А=С=72°, В=D=102° Ответ: А=С=72°, В=D=102°

Рассмотрим задачу №2. В параллелограмме АВСD проведена биссектриса АЕ угла ВАD. Угол ЕАD равен 32°. Найдите С.

Рассмотрим задачу №4 . В параллелограмме АВСD проведены биссектрисы противоположных углов АМ и СN. Докажите, что АМСN параллелограмм.

Вывод: Применение данных свойств позволяет сделать решения задач более простыми и быстрее придти к нужному результату.

На построение. Четырехугольники. Доказательство свойств параллелограмма . Графическое доказательство теоремы Фалеса. Задачи на построение параллелограмма ...

«Гуманитарный издательский центр владос»

Документ

Сопоставить решение простой и составной задач . Причем составная задача должна отличаться от простой только дополнительным ... свойства , учащиеся должны назвать признак сходства или различия. Например: «У прямо­угольника и параллелограмма ...

Цифровые образовательные ресурсы онлайн

Реферат

... . Задача музея показать достоверность... Параллелограмм . Соотношения между сторонами и углами треугольника. Дополнительные ... свойства и применение Решение задач по теме "Алкины" Алкадиены Полимеры. Каучук Решение задач ... , французский: Изучай иностранные языки...

Пояснительная записка 3 стр. Общие положения 3 стр. Общая характеристика учебного предмета. 3 стр. Цели и задачи изучения геометрии в основной школе 4 стр

Пояснительная записка

... свойств параллельных прямых. Показ применения свойств ... параллелограмма , рассмотрение его свойств . Решение задач с применением свойств параллелограмма . Знать: определение параллелограмма , его свойства с доказательствами. Уметь: решать задачи ...