Образовательный портал. Образование / Среднее образование и школа / Доказать что 2 иррациональное число. Теория-чисел - Как прямо доказать, что √2 есть число иррациональное

Доказать что 2 иррациональное число. Теория-чисел - Как прямо доказать, что √2 есть число иррациональное

19.09.2018

Само понятие иррационального числа так устроено, что оно определяется через отрицание свойства "быть рациональным", поэтому доказательство от противного является здесь наиболее естественным. Можно, однако предложить вот какое рассуждение.

Чем отличаются принципиально рациональные числа от иррациональных? Как те, так и другие, можно приблизить рациональными числами с любой заданной точностью, но для рациональных чисел имеется приближение с "нулевой" точностью (самим этим числом), а для иррациональных чисел это уже не так. Попытаемся на этом "сыграть".

Другой способ убедить себя в языке языка можно проследить У. фон Гумбольдта, который преподавал язык как одну из главных творческих сил в истории человечества и охватывал душу нации. Уорфа, создателя языка теории относительности, который считал параллели между языковыми структурами, с одной стороны, и свойствами мышления, с другой стороны, не называл европейские языки более ценными, чем так называемые экзотические языки, но, наоборот. В прошлом широко распространенный миф заключался в убеждении, что родные языки или языки без предварительной традиции примитивны и неразвиты.

Прежде всего, отметим такой простой факт. Пусть $%\alpha$%, $%\beta$% -- два положительных числа, которые приближают друг друга с точностью $%\varepsilon$%, то есть $%|\alpha-\beta|=\varepsilon$%. Что произойдёт, если мы заменим числа на обратные? Как при этом изменится точность? Легко видеть, что $$\left|\frac1\alpha-\frac1\beta\right|=\frac{|\alpha-\beta|}{\alpha\beta}=\frac{\varepsilon}{\alpha\beta},$$ что будет строго меньше $%\varepsilon$% при $%\alpha\beta>1$%. Это утверждение можно рассматривать в качестве самостоятельной леммы.

Даже некоторые эксперты полагали, что один из этих языков будет изучен, и мы будем знать, как наши предки общались в последнее время. Так обстоит дело с известным писателем Адельбертом фон Шамиссо, который участвовал в одном из важных российских круизов в Тихом океане, а также посетил Гавайские острова. Видимо, под влиянием литературы тогдашнего научного исследователя Гавайи были опустошенной грудью, и поэтому это очень примитивный язык. Однако, когда он узнал после Гавайев, его отношение к нему изменилось диаметрально.

Он даже писал гавайскую грамматику и не забывал отметить, что это был язык, как любой другой. Морбовка Лидска пише; автор глубоко убежден, что североамериканские арапаховианцы не могут понять, потому что у них очень скромная словесная повязка, и они могут делать снимки, которые они не видят ночью. Правда, Морбек не был лингвистом, даже этнологом.

Теперь положим $%x=\sqrt{2}$%, и пусть $%q\in{\mathbb Q}$% -- рациональное приближение числа $%x$% с точностью $%\varepsilon$%. Мы знаем, что $%x>1$%, а насчёт приближения $%q$% потребуем выполнения неравенства $%q\ge1$%. У всех чисел, меньших $%1$%, точность приближения будет хуже, чем у самой $%1$%, и потому мы не будем их рассматривать.

К каждому из чисел $%x$%, $%q$% прибавим по $%1$%. Очевидно, точность приближения останется той же. Теперь у нас есть числа $%\alpha=x+1$% и $%\beta=q+1$%. Переходя к обратным числам и применяя "лемму", мы придём к выводу, что точность приближения у нас улучшилась, став строго меньше $%\varepsilon$%. Требуемое условие $%\alpha\beta>1$% у нас соблюдено даже с запасом: на самом деле мы знаем, что $%\alpha>2$% и $%\beta\ge2$%, откуда можно сделать вывод, что точность улучшается как минимум в $%4$% раза, то есть не превосходит $%\varepsilon/4$%.

И он ошибался, даже когда понял, что «дикий» язык на самом деле является лишь суммой бесплатных ответов. Многие считают, что языки сообщества, которые не прошли через урбанизацию и индустриализацию, имеют мало слов и мало грамматики, к. небольшие грамматические правила, если таковые имеются. Однако попытки приобрести такие языки доказали, что некоторые из них были настолько сложными, что их покровители с трудом справлялись с ними. Это не так и не может быть простым или грамматическим, чтобы каким-либо образом понять эффективность языка.

Сегодня лингвисты оценивают отношения между языками одинаково, даже если они признают, что не все они эквивалентны. Каждый язык используется сообществом, которое его использует, поэтому мы можем только спросить, является ли это, например, словосочетание является достаточным для удовлетворения социально-культурных потребностей соответствующего сообщества. Никто не может удивить, что у эскимов больше преимуществ и нежной дифференциации видов или снега, чем, например, кочевники пустыни Калахари, которые используются в названиях песка, в то время как люди, живущие в тропическом лесу, имеют одинаковое знание наименования растительного мира тем, что они могут денонсировать их всех ботаников.

И вот здесь -- основной момент: по условию, $%x^2=2$%, то есть $%x^2-1=1$%, а это значит, что $%(x+1)(x-1)=1$%, то есть числа $%x+1$% и $%x-1$% обратны друг другу. А это означает, что $%\alpha^{-1}=x-1$% будет приближением к (рациональному) числу $%\beta^{-1}=1/(q+1)$% c точностью строго меньше $%\varepsilon$%. Осталось прибавить по $%1$% к этим числам, и окажется, что у числа $%x$%, то есть у $%\sqrt{2}$%, появилось новое рациональное приближение, равное $%\beta^{-1}+1$%, то есть $%(q+2)/(q+1)$%, с "улучшенной" точностью. Это завершает доказательство, так как у рациональных чисел, как мы отмечали выше, существует "абсолютно точное" рациональное приближение с точностью $%\varepsilon=0$%, где точность в принципе повысить нельзя. А мы сумели это сделать, что говорит об иррациональности нашего числа.

В другой форме и по разным причинам язык японского языка был урегулирован. Благословение, из которого он был сделан, - это чувство всемирного опыта Японии, направленного на географическую изоляцию островного вдохновения от континентального Бзу и, действительно, от остального мира, а также от веры династии Сисборна у богини солнца. Это все после улицы Токугау. усилила почти пятилетнюю почти герметичную политическую и в значительной степени культурную изоляцию Японии из-за рубежа. На протяжении столетий, даже в этой стране, они находили педагогов, считавших европупанов даймонами.

Фактически, это рассуждение показывает, как строить конкретные рациональные приближения для $%\sqrt{2}$% со всё улушающейся точностью. Надо сначала взять приближение $%q=1$%, и далее применять одну и ту же формулу замены: $%q\mapsto(q+2)/(q+1)$%. В ходе этого процесса получается следующее: $$1,\frac32,\frac75,\frac{17}{12},\frac{41}{29},\frac{99}{70}$$ и так далее.

Материалы по теме:

Карта сайта