Щадь параллелограмма. Параллелограмм в задачах

Одну из параллельных сторон параллелограмма назовем основанием , а отрезок, опущенный из любой точки основания на противолежащую сторону – высотой параллелограмма.

Теорема . Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Дано: параллелограмм – ABCD, основание AD=a , высота BK=h .

Доказать: S ABCD = a h

Доказательство. Если BK и CE – перпендикуляры к прямой АD, то ∆ABK=∆DCE (так как AB=DC и проекция AK=DE). Поэтому площади этих треугольников равны. Площадь параллелограмма ABCD равна сумме двух фигур: треугольника ABK (равного ∆DCE) и трапеции KBCD. Значит, если от площади ABCD вычесть площадь треугольника ABK, получим площадь трапеции KBCD. Тогда площадь параллелограмма ABCD равна площади прямоугольника KBCЕ. А стороны этого прямоугольника равны BC=AD=а и BK=h.

Итак: S ABCD = AD BK=a h.

Фигуры с равными площадями называются равновеликими. На данном рисунке параллелограмм АВСD и прямоугольник КВСЕ – равновеликие.

Билет№12.

Числа a 1 , a 2 , a 3 , …, a n называются пропорциональными числам b 1 , b 2 , b 3 , …, b n , если выполняется равенство: a 1 /b 1 = а 2 /b 2 = a 3 /b 3 = … = a n /b n = k, где k – некоторое число, которое называют коэффициентом пропорциональности.

Пример. Числа 6; 7,5 и 15 пропорциональны числам ‑4; 5 и 10. Коэффициентом пропорциональности является число ‑1,5, поскольку

6/-4 = -7,5/5 = 15/-10 = -1,5.

Пропорциональность чисел имеет место быть, если эти числа связаны пропорцией.

Известно, что пропорцию можно составить не менее чем из четырех чисел, поэтому понятие пропорциональности применимо как минимум к четырем числам (одна пара чисел пропорциональна другой паре, или одна тройка чисел пропорциональна другой тройке, и т.д.).

Рассмотрим на рис. 1 два треугольника АВС и А 1 В 1 С 1 с равными попарно углами: A = A 1 , B = B 1 , C = C 1 .

Стороны, которые противолежат равным парам углов обоих треугольников, называются сходственными . Так, нарис. 1 стороны AB и A 1 B 1 , AC и A 1 C 1 , BC и B 1 C 1 , сходственные, поскольку лежат напротив соответственно равных углов треугольников ABC и A 1 B 1 C 1 .

Дадим определение подобных треугольников:

Два треугольника называются подобными , если их углы попарно равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Отношение сходственных сторон подобных треугольников называется коэффициентом подобия .

Подобные треугольники обозначаются следующим образом: Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1 .

Итак, на рис. 2 имеем: Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1

углы A = A 1 , B = B 1 , C = C 1 и AB/A 1 B 1 = ВC/В 1 C 1 = АС/А 1 С 1 = k, где k – коэффициент подобия. Из рис. 2 видно, что у подобных треугольников одинаковые пропорции, и отличаются они лишь масштабом.

Замечание 1: Равные треугольники подобны с коэффициентом 1.

Замечание 2: При обозначении подобных треугольников следует упорядочить их вершины таким образом, чтобы углы при них были попарно равны. Например, для треугольников, изображенных на рисунке 2 говорить, что Δ ABC ~ Δ B 1 C 1 A 1 некорректно. Соблюдая правильный порядок вершин, удобно выписывать пропорцию, связывающую сходственные стороны треугольников, не обращаясь к чертежу: в числителе и знаменателе соответствующих отношений должны стоять пары вершин, занимающих одинаковые позиции в обозначении подобных треугольников. К примеру, из записи «Δ ABC ~ Δ KNL» следует, что углы A = K, B = N, C = L, и АВ/KN = BC/NL = AC/KL.

Замечание 3: Те требования, которые перечислены в определении подобных треугольников, являются избыточными. Признаки подобия треугольников, которые содержат меньше требований к подобным треугольникам докажем чуть позже.

Теорема.
Если у четырехугольника пара противоположных сторон параллельны и равны, то четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство.
Пусть дан четырехугольник ABCD. ∠ DAB = ∠ BCD и ∠ ABC = ∠ CDA. Проведе

Доказательство.
Пусть точки A1, A2, A3 – точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон угла. А точки B1, B2, B3 – соответствующие точки пересечения этих прямых с другой стороной угла. Докажем, что если A

Теорма о средней линии треугольника
Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. Пусть MN - средняя линия треугольника ABC (рис 1). Докажем, что MN || AC и MN = 1/2 AC. Т

Доказательство
Рассмотрим прямоугольник со сторонами a, b и площадью S. Докажем, что S = ab. Достроим прямоугольник до квадрата со стороной a + b, как показано на рисунке

Теоремы о касательной к окружности.
Теорема 1. Прямая, перпендикулярная к радиусу в конечной его точке, лежащей на окружности, является касательной к окружности. Пусть ОМ- радиус окружности, СD_|_OМ (черт

Доказательство.
Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD иBC, выс

Теорема доказана.
Так же площадь трапеции можно найти с помощью следующих формул: 1. S = mh, где m - средняя линия, h - высота трапеции. 2.

Построения, основанные на свойствах прямоугольного треугольника
Задача 2. Даны два отрезка a и b. Постройте отрезок: а) x = ; б) x =

Теорема, обратная теореме Пифагора
Теорема (теорема, обратная теореме Пифагора). Если в треугольнике со сторонами a, b и c выполняется равенство c2 = a 2 + b 2

Площадь параллелограмма равна произведению его одной стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Сторону, к которой проведена высота, принято называть основанием. Поэтому теорему формулируют так: площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту .

Если обозначить основание параллелограмма буквой a, высоту - буквой h, то площадь выражается такой формулой:

Отметим, что эта формула очень похожа на площадь прямоугольника, где она равна произведению сторон. Однако в случае параллелограмма вместо второй стороны используется высота. Причем должна быть взята та высота, которая проведена к стороне, которую берут в качестве множителя.

Доказать теорему о площади параллелограмма можно двумя способами: через площадь треугольника, через площадь прямоугольника. Рассмотрим сначала первый случай.

Пусть дан параллелограмм ABCD, в котором угол A - острый, а угол B - тупой. В таком случае, если к стороне AD из угла B провести высоту BH, то она пересечет сторону AD. Если бы высота была проведена из угла C, то она бы пересекла не сторону AD, а ее продолжение за пределами параллелограмма. Кроме того из угла B проведем диагональ.

Проведя диагональ, мы получили треугольник ABD. Его площадь равна половине от произведения его основания на высоту. В данном случае ½ * AD * BH. Доказательство площади треугольника приводится .

Поскольку диагональ BD делит параллелограмм на два равных треугольника (∆ABD = ∆CDB по трем сторонам), то его площадь равна удвоенной площади любого из этих треугольников (или сумме их площадей). Таким образом получаем, что площадь параллелограмма равна AD * BH, т. е. произведению основания на высоту.

Второй способ доказательства - через рассмотрение прямоугольника. Проведем к основанию AD две высоты. Одна из них (BH) пересечет само основание, а вторая (СI) - продолжение основания AD за пределы параллелограмма (пересечет прямую, на которой лежит AD).

Рассмотрим треугольники ABH и DCI. Они равны друг другу (например по гипотенузе и углам BAD и CDI). Если мы рассмотрим получившийся прямоугольник HBCI, то увидим, что его площадь равна площади параллелограмма ABCD, т. к., преобразуя первый во второй, у параллелограмма «отняли» площадь ABH, а потом к нему добавили равную площадь DCI.

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. В данном случае BH * HI. Но HI мы можем заменить на AD, так как это равные отрезки. Таким образом получаем, что площадь прямоугольника равна BH * AD. Поскольку площади параллелограмма и прямоугольника равны, то это произведение является и площадью параллелограмма.

При решении задач по данной теме кроме основных свойств параллелограмма и соответственных формул можно запомнить и применять следующее:

1. Биссектриса внутреннего угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник
2. Биссектрисы внутренних углов прилежащие к одной из сторон параллелограмма взаимно перпендикулярные
3. Биссектрисы, выходящие из противоположных внутренних углов параллелограмма, параллельные между собой либо лежат на одной прямой
4. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон
5. Площадь параллелограмма равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними

Рассмотрим задачи, при решении которых используются данные свойства.

Задача 1.

Биссектриса угла С параллелограмма АВСD пересекает сторону АD в точке М и продолжение стороны АВ за точку А в точке Е. Найдите периметр параллелограмма, если АЕ = 4, DМ = 3.

Решение.

1. Треугольник СМD равнобедренный. (Свойство 1). Следовательно, СD = МD = 3 см.

2. Треугольник ЕАМ равнобедренный.
Следовательно, АЕ = АМ = 4 см.

3. АD = АМ + МD = 7 см.

4. Периметр АВСD = 20 см.

Ответ. 20 см.

Задача 2.

В выпуклом четырёхугольнике АВСD проведены диагонали. Известно, что площади треугольников АВD, АСD, ВСD равны. Докажите, что данный четырёхугольник является параллелограммом.

Решение.

1. Пусть ВЕ – высота треугольника АВD, СF – высота треугольника АCD. Так как по условию задачи площади треугольников равны и у них общее основание АD, то высоты этих треугольников равны. ВЕ = СF.

2. ВЕ, СF перпендикулярны АD. Точки В и С расположены по одну сторону относительно прямой АD. ВЕ = СF. Следовательно, прямая ВС || AD. (*)

3. Пусть АL – высота треугольника АСD, BK – высота треугольника BCD. Так как по условию задачи площади треугольников равны и у них общее основание СD, то высоты этих треугольников равны. АL = BK.

4. АL и BK перпендикулярны СD. Точки В и А расположены по одну сторону относительно прямой СD. АL = BK. Следовательно, прямая АВ || СD (**)

5. Из условий (*), (**) вытекает – АВСD параллелограмм.

Ответ. Доказано. АВСD – параллелограмм.

Задача 3.

На сторонах ВС и СD параллелограмма АВСD отмечены точки М и Н соответственно так, что отрезки ВМ и НD пересекаются в точке О; <ВМD = 95 о,