Смотреть что такое «петля мебиуса» в других словарях. Мировое применение петли мебиуса при маркировке Что же такого примечательного в ленте Мебиуса

ПЕТЛЯ МЕБИУСА

ПЕТЛЯ МЕБИУСА (лента Мебиуса), модель или фигура, которую можно получить с помощью поворота длинной полоски бумаги на пол-оборота, затем соединив ее концы вместе. Представляет большой интерес в топологии, будучи односторонней поверхностью (линия, нарисованная вдоль полоски бумаги, появится на обеих сторонах, возвращаясь в исходную точку и замыкаясь). Была изобретена Августом Фердинандом Мебиусом (1790-1868).

Петля Мебиуса. Август Фердинанд Мебиус дал свое имя полоске бумаги (или другого гибкого материала), повернутой на 1800 и соединенной. Соедините красный с желтым и синий с зеленым, и в результате получится топологическая фигура только с одной поверхностью и одним краем.

Петля Мебиуса. Авгусг Фердинанд Мебиус дал свое имя полоске бумаги (или другого гибкого материала), повернутой на 1800 и соединенной. Соеди ните красный с желтым и синий с зеленым, и в результате по лучится топологическая фи!ур;| только с одной поверхностью и одним краем

Научно-технический энциклопедический словарь .

Смотреть что такое "ПЕТЛЯ МЕБИУСА" в других словарях:

Смысл и тело - (тело смысла) одна из ключевых проблем нового сдвига гуманитарной парадигмы. Развенчание логоцентризма в культуре постмодерна фактически оказалось последней ступенью развоплощения смысла, обернулось логомахией, и грамматоцентризмом, утратой… … Проективный философский словарь

Лента Мёбиуса Лист Мёбиуса (лента Мёбиуса, петля Мёбиуса) топологический объект, простейшая неориентируемая поверхность с краем, односторонняя при вложении в обычное трёхмерное евклидово пространство R³. Попасть из одной … Википедия

Лист Мёбиуса (лента Мёбиуса, петля Мёбиуса) топологический объект, простейшая неориентируемая поверхность с краем, однос … Википедия

переплетение - ▲ сцепление извилистый, фигура переплетение пространственное сцепление извилистых фигур. переплести, сь. плетение. плести. плетеный. плетельный. сплетение. сплести, сь. заплетать. расплести, сь. оплести. спутать, ся (спутать пряжу). запутать,… … Идеографический словарь русского языка

Книги

• Петля Мебиуса , Илья Новак. От издателя:Петля времени может раз за разом отправлять тебя в прошлое, делая свидетелем собственной смерти. Поток космических лучей может приводить к сбоям в работе мозгового софта, порождая…

Лента Мебиуса (Möbius strip) - трехмерная поверхность, имеющая только одну сторону и одну границу, обладающая математическим свойством неориентируемости. Она была открыта независимо одновременно двумя математиками из Германии Августом Фердинандом Мёбиусом (August Ferdinand Möbius) и Иоганном Бенедиктом Листингом (Johann Benedict Listing) в 1858 году.

Модель ленты Мебиуса может быть легко создана из полоски бумаги, повернув один из концов полоски вполоборота и соединив его с другим концом в замкнутую фигуру. Если начать рисовать карандашом линию на поверхности ленты, то линия уйдет вглубь фигуры и пройдет под начальной точкой линии, как уйдя на "другую сторону" ленты. Если продолжать линию, то она вернется в начальную точку. При этом длина нарисованной линии будет вдвое больше длины полоски бумаги. Этот пример показывает, что у ленты Мебиуса лишь одна сторона и одна граница.

В Евклидовом пространстве, фактически, существует два типа ленты Мебиуса, развернутой вполоборота: одна - развернутая по часовой стрелке, другая - против часовой стрелки.

Геометрия и математика

Лента Мебиуса может быть представленная параметрической системой уравнений:

где и . Этими уравнениями описывается лента Мебиуса шириной 1, лежащая в плоскости x -y; внутренний радиус окружности которой равен 1, центр внутренней окружности находится в начале координат (0,0,0). Параметр u движется вдоль ленты, а параметр v - от одной границы к другой.

Иным способом ленту можно представить выражением в полярных координатах:

Топологически, лента Мебиуса может быть определена как квадрат x , верх которого соединен с низом в соотношении (x ,0) ~ (1-x ,1) for 0 ≤ x ≤ 1, как показано на рисунке справа.

Близкие объекты

Тесно связанным с лентой Мебиуса является загадочный объект - бутылка Кляйна . Бутылка Кляйна может быть создана склеиванием двух лент Мебиуса друг с другом вдоль их границ. Эта операция не может быть произведена в трехмерном пространстве без создания пересечений внутри фигуры.

Одна из базовых невозможных фигур невозможный треугольник может быть представлен как лента Мебиуса, если сгладить некоторое его грани. При этом получится лента Мебиуса, описывающая три витка.

Искусство

Логотип The Power Architecture

Также лента Мебиуса часто используется в изображениях различных логотипах и торговых марках. Самых яркий пример - международный символ повторного использования.

Приложение. Картины с лентами Мебиуса

Картина ниже Пола Билацика (Paul Bielaczyc) называется Как говорит автор, эта картина - объединение различных аспектов его жизни. Кельтские узлы окружают его в его работе, картины М.К. Эшера всегда служат источником вдохновения, а лента Мебиуса имеет отношение к предмету, изучаемому художником.

July 21st, 2017

Существуют научные знания и явления, которые привносят в обыденность нашей жизни тайну и загадку. Лента Мебиуса относится к ним в полной мере. Современная математика замечательно описывает при помощи формул все ее свойства и особенности.

А вот обычные люди, слабо разбирающиеся в топонимике и других геометрических премудростях, практически ежедневно сталкиваются с предметами, изготовленными по ее образу и подобию, даже не подозревая об этом.Что это такое?Лента Мебиуса, которую также называют петлей, поверхностью или листом, - это объект изучения такой математической дисциплины, как топология, исследующей общие свойства фигур, сохраняющихся при таких непрерывных преобразованиях, как скручивание, растяжение, сжатие, изгибание и других, не связанных с нарушением целостности. Удивительной и неповторимой особенностью такой ленты является то, что он имеет всего одну сторону и край и никак не связаны с ее расположением в пространстве. Лист Мебиуса является топологическим, то есть непрерывным объектом с простейшей односторонней поверхностью с границей в обычном Евклидовом пространстве (3-мерном), где возможно из одной точки такой поверхности, не пересекая края, попасть в любую другую.Кто и когда ее открыл?

Такой непростой объект, как лента Мебиуса, был и открыт довольно необычно.

Прежде всего отметим, что два математика, абсолютно не связанные между собой в исследованиях, открыли ее одновременно - в 1858 году.

Еще одним интересным фактом является то, что оба этих ученых в разное время являлись учениками одного и того же великого математика — Иоганна Карла Фридриха Гаусса. Так, вплоть до 1858 года считалось, что любая поверхность обязана иметь две стороны.

Однако Иоганн Бенедикт Листинг и Август Фердинанд Мебиус открыли геометрический объект, у которого была всего одна сторона, и описывают его свойства. Лента была названа в честь Мебиуса, а вот отцом-основателем «резиновой геометрии» топологи считают Листинга и его труд «Предварительные исследования по топологии».СвойстваЛенте Мебиуса присущи следующие свойства, не меняющиеся при ее сжимании, разрезании вдоль или сминании:

1. Наличие одной стороны. А. Мебиус в своем труде «Об объеме многогранников» описал геометрическую поверхность, названную затем в его честь, обладающую всего одной стороной. Проверить это довольно просто: берем ленту или лист Мебиуса и стараемся закрасить внутреннюю сторону одним цветом, а внешнюю - другим. Не суть важно, в каком месте и направлении было начато окрашивание, вся фигура будет закрашена одним цветом.

2. Непрерывность выражается в том, что любую точку этой геометрической фигуры можно соединить с любой другой ее точкой, не пересекая границы поверхности Мебиуса.

3. Связность, или двухмерность, заключается в том, что при разрезании ленты вдоль, из нее не получится несколько разных фигур, и она остается цельной.

4. В ней отсутствует такое важное свойство, как ориентированность. Это значит, что человек, идущий по этой фигуре, вернется к началу своего пути, но только в зеркальном отражении самого себя. Таким образом, бесконечная лента Мебиуса может привести к вечному путешествию.

5. Особый хроматический номер, показывающий, какое максимально возможное число областей на поверхности Мебиуса, можно создать так, чтобы у любой из них была общая граница со всеми другими. Лента Мебиуса имеет хроматический номер -6, а вот кольцо из бумаги - 5.

Научное использование

Сегодня лист Мебиуса и его свойства широко применяются в науке, служа основой для построения новых гипотез и теорий, проведения исследований и экспериментов, создания новых механизмов и устройств.

Так, существует гипотеза, согласно которой Вселенная — это огромнейшая петля Мебиуса. Косвенно об этом свидетельствует и теория относительности Эйнштейна, согласно которой даже полетевший прямо корабль может вернуться в ту же временную и пространственную точку, откуда стартовал.

Другая теория рассматривает ДНК как часть поверхности Мебиуса, что объясняет сложности с прочтением и расшифровкой генетического кода. Кроме всего прочего, такая структура дает логичное объяснение биологической смерти - замкнутая на самой себе спираль приводит к самоуничтожению объекта.

По мнению физиков, многие оптические законы основываются на свойствах листа Мебиуса. Так, например, зеркальное отражение — это особый перенос во времени и человек видит перед собой своего зеркального двойника.

Реализация на практикеВ различных отраслях промышленности лента Мебиуса применение нашла уже давно. Великий изобретатель Никола Тесла в начале века изобрел резистор Мебиуса, состоящий из двух скрученных на 1800 проводящих поверхностей, который может противостоять потоку электрического тока без создания электромагнитных помех.

На основе исследований поверхности ленты Мебиуса и ее свойств было создано множество устройств и приборов. Ее форму повторяют при создании полосы ленточного конвейера и красящей ленты в печатных устройствах, абразивных ремней для заточки инструментов и автоматической передачи. Это позволяет значительно увеличить срок их службы, так как изнашивание происходит более равномерно.

Не так давно удивительные особенности листа Мебиуса позволили создать пружину, которая, в отличие от обычных, срабатывающих в противоположном направлении, не меняет направление срабатывания. Применяется она в стабилизаторе рулевого привода штурвала, обеспечивая возврат рулевого колеса в исходное положение.

Кроме того, знак лента Мебиуса используется в разнообразных торговых марках и логотипах. Самый известный из них — это международный символ вторичной переработки. Его проставляют на упаковках товаров либо пригодных для последующей переработки, либо сделанных из переработанных ресурсов.

Источник творческого вдохновенияЛента Мебиуса и ее свойства легли в основу творчества многих художников, писателей, скульпторов и кинематографистов. Самый известный художник, использовавший в таких своих работах, как «Лента Мебиуса II (Красные муравьи)», «Всадники» и «Узлы», ленту и ее особенности — Мауриц Корнелис Эшер.

Листы Мебиуса, или, как их еще называют, поверхности минимальной энергии, стали источником вдохновения для математических художников и скульпторов, например, Брента Коллинза или Макса Билла. Самый известный памятник ленте Мебиуса установлен у входа в вашингтонский Музей истории и техники.Русские художники также не остались в стороне от этой темы и создали свои работы. Скульптуры «Лента Мебиуса» установлены в Москве и Екатеринбурге.Литература и топологияНеобычные свойства поверхностей Мебиуса вдохновили многих писателей на создание фантастических и сюрреалистических произведений. Петля Мебиуса играет важную роль в романе Р. Желязны «Двери в песке» и служит как средство перемещения сквозь пространство и время для главного героя романа «Некроскоп» Б. Ламли.

Фигурирует она и в рассказах «Стена темноты» Артура Кларка, «На ленте Мебиуса» М. Клифтона и «Лист Мебиус» А. Дж. Дейча. По мотивам последнего режиссером Густаво Москера был снята фантастическая кинокартина «Мебиус».

Делаем сами, своими руками!

Если вас заинтересовала лента Мебиуса, как сделать ее модель, вам подскажет небольшая инструкция:1. Для изготовления ее модели потребуются:

Лист обычной бумаги;

Ножницы;

Линейка.

2. Отрезаем полосу от листа бумаги так, чтобы ее ширина была в 5-6 раз меньше длины.

3. Полученную бумажную полоску раскладываем на ровной поверхности. Один конец придерживаем рукой, а другой поворачиваем на 1800 так, чтобы полоса перекрутилась и изнанка стала лицевой стороной.

4. Склеиваем концы перекрученной полосы так, как показано на рисунке.

Лента Мебиуса готова.

5. Возьмите ручку или маркер и посередине ленты начните рисовать дорожку. Если вы сделали все правильно, то вернетесь в ту же точку, откуда начали чертить линию.

Для того чтобы получить наглядное подтверждение тому, что лента Мебиуса — односторонний объект, карандашом или ручкой попробуйте закрасить какую-либо ее сторону. Через некоторое время вы увидите, что закрасили ее полностью .

Источник econet.ru

У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка. В 1967 году в Бразилии Лента (лист) Мёбиуса состоялся международный математический конгресс, где его устроители выпустили памятную марку достоинством в пять сентаво, на которой была изображена лента

Мёбиуса. И монумент высотой более чем в два метра, и крохотная марка –

своеобразные памятники немецкому математику и астроному Августу Фердинанду

Мёбиусу, профессору Лейпцигского университета и удивительной ленте, названной в честь математика. Лента Мёбиуса и является объектом моего исследования.

Для проведения экспериментов потребуются бумажные полосы длиной 30 см и шириной 3 см. В каждом эксперименте будут необходимы два бумажных кольца – одно простое (обычное) и одно перекрученное (лента Мебиуса).

Обычное кольцо Лента Мебиуса

Моделирование объекта исследования:

Возьмем бумажную ленту АВСD, разделенную по ширине пополам пунктирной линией. Прикладываем ее концы АВ и СD друг к другу и склеиваем. Но не как попало, а так, чтобы точка А совпала с точкой C, а точка B с точкой С. Перед склейкой перекручиваем ленту один раз (на 180(). Получилось знаменитое в математике бумажное кольцо. У него есть особое название - "Лист Мёбиуса".

Историческая справка (Август Фердинанд Мёбиус)

Таинственный и знаменитый лист Мебиуса (иногда говорят: "лента Мёбиуса") придумал Август

Фердинанд Мёбиус (1790–1868), ученик "короля математиков" Гаусса. Мёбиус был первоначально Август Фердинанд Мёбиус астрономом, как Гаусс и многие другие из тех, кому математика была обязана своим развитием.

В те времена занятия математикой не встречали поддержки, а астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляла время для собственных размышлений. Мёбиус стал одним из крупнейших геометров XIX в. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых – лист

6. История создания ленты Мёбиуса

Как-то незаметно для окружающих в 26 лет Мёбиус стал профессором, руководителем астрономической лаборатории в Лейпцигском университете. Научные статьи, лекции, работа. Все как у обычного профессора университета. Рассеянного доброго чудака студенты боготворили. Он любил ошарашивать их неожиданными задачками и назначал лекции, к примеру, на два часа ночи, чтобы показать ночное небо во всей его красе. Возможно, имя этого человека растворилось бы в истории, если бы ни одно ненастное утро

На улице шел дождь. Была выкурена трубка, выпита чашка любимого кофе с молоком. Вид из окна навевал тоску. В кресле сидел мужчина. Мысли были разные, но как-то ничего особенного не приходило на ум. Только в воздухе витало ощущение, что именно этот день принесет славу и увековечит имя Августа Фердинанда Мебиуса.

На пороге комнаты появилась любимая жена. Правда, она была не в хорошем расположении духа. Правильнее сказать, она была разгневана, что для мирного дома Мебиусов было почти так же невероятно, как три раза в год увидеть парад планет, и категорически требовала немедленно уволить служанку, которая настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту.

Хмуро разглядывая злосчастную ленту, профессор воскликнул: “Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. Ведь это же односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!” Идея пришла ему в голову, когда служанка неправильно сшила ленту.

Открытая поверхность получила математическое обоснование и имя в честь описавшего ее математика и астронома.

Лента вдохновила на подвиги ни одного добряка-профессора. Взял ее на вооружение и цех парижских портных. Отныне в качестве экзамена для новичка, претендовавшего на зачисление в цех, было пришивание к подолу юбки тесьмы в форме ленты Мебиуса. Оценили по достоинству невольное изобретение Марты и учителя. Неугомонным нерадивым ученикам предлагалось покрасить стороны ленты Мебиуса в разные цвета. Пыхтя от усердия, школяры проводили за этим занятием немало времени.

7. Наука топология

Лист Мёбиуса – топологический объект, простейшая односторонняя поверхность с краем.

Сама топология началась именно с листа Мёбиуса. Наука эта молодая и потому озорная. Иначе не скажешь о тех правилах игры, которые в ней приняты. Любую фигуру тополог имеет право сгибать, скручивать, сжимать и растягивать – делать с ней всё что угодно, только не разрывать и не склеивать. И при этом он будет считать, что ничего не произошло, все её свойства остались неизменными. Для него не имеют никакого значения ни расстояния, ни углы, ни площади. А что же его интересует? Самые общие свойства фигур, которые не меняются ни при каких преобразованиях, если только не случается катастрофы – “взрыва” фигуры. Поэтому иногда топологию называют “геометрией непрерывности”. Она известна и под именем “резиновая геометрия”, потому что топологу ничего не стоит поместить все свои фигуры на поверхность детского надувного шарика и без конца менять его форму, следя лишь за тем, чтобы шарик не лопнул. А то, что при этом прямые линии, например, стороны треугольника, превратятся в кривые, для тополога глубоко безразлично.

Слово это придумал Иоганн Бенедикт Листинг, который почти в тоже время, что и его коллега, предложил в качестве первого примера односторонней поверхности уже знакомую нам перекрученную ленту.

Тополо́гия (от греч. τόπος - место) - часть геометрии, изучающая в самом общем виде явление непрерывности, а также свойства обобщенных геометрических объектов, не меняющиеся при малых деформациях и не зависящие от способа их задания. Топологией также называется конкретный объект, изучаемый общей топологией: совокупность всех открытых множеств топологического пространства. Топология объекта - его геометрическая структура (то, что не меняется при непрерывных деформациях)

Итак, займемся топологией.

8. Изучение свойств ленты Мебиуса

8. 1. Описание экспериментов.

I опыт: Поставим точку на одной стороне каждого кольца и начертим непрерывную линию вдоль него, пока не придем снова в отмеченную точку.

II опыт: Закрасим полностью только одну сторону колец. Раскрасим внутреннюю и внешнюю сторону обычного кольца разными красками.

Попробуем раскрасить ленту Мебиуса. «Если кто-нибудь вздумает раскрасить только одну сторону поверхности мёбиусовой ленты, пусть сразу погрузит её всю в ведро с краской», - пишет Рихард Курант и Герберт Робинс в книге «Что такое математика?»

III опыт: Закрасим непрерывной линией только один край колец. Закрасим узенькую полоску края ленты.

IV опыт: На внутренней поверхности стоит Х, а по внешней идет в любую сторону Y. На внутреннюю сторону обычного кольца посадим зайца, а на наружную волка. Разрешим им бегать как угодно, запретив перелезать через края кольца. Посадим на ленту Мебиуса зайца и волка. Разрешим им бежать в разных направлениях.

V опыт: Разрежем кольца пополам вдоль. (Чтобы проверить, какая поверхность получилась необходимо снова прочертить непрерывную линию.)

VI опыт: Разрежем кольцо вдоль, отступив от края 1/3. (Чтобы проверить, какая поверхность получилась необходимо снова прочертить непрерывную линию.)

VII опыт: Разрежем результат I опыта (уже разрезанную ленту) пополам вдоль.

VIII опыт: Склеим ленту из квадрата или из прямоугольника, у которого стороны приблизительно равны, не сминая бумаги.

IX опыт: Склеим ленту из квадрата или из прямоугольника, у которого стороны приблизительно равны, складывая бумагу.

X опыт: Опыты с многоразовым перекручиванием и разрезанием.

Можно, конечно, провести еще немало опытов с перекручиванием ленты на четыре оборота, на пять, на шесть и с последующим разрезанием кольца вдоль посередине, и на расстоянии в 1/3 ширины от края, и в 1/4.

Но усложнение эксперимента часто не приводит к более эффектным результатам. Недаром говорится: "просто, как все гениальное". Видимо, верно и обратное утверждение: "гениально, как все простое".

8. 2. Проведение экспериментов.

Результаты моих экспериментов с бумагой и экспериментальных исследований свойств ленты Мебиуса представлены в Таблице 1.

Таблица 1

I Поставь точку на одной стороне каждого кольца и черти непрерывную линию вдоль него, пока не придешь снова в отмеченную точку

Обычное кольцо Линия проходит вдоль кольца по одной стороне, сходясь в точке начала. Вторая сторона остается чистой

Лента Мебиуса Непрерывная линия проходит по двум сторонам, заканчиваясь в начальной точке

II Закрась полностью только одну сторону колец

Обычное кольцо Одна сторона закрашена, другая – нет

Лента Мебиуса Лента закрашена целиком

III Закрась непрерывной линией только один край колец

Обычное кольцо Один край кольца закрашен, второй край нет

Лента Мебиуса Линия края получилась непрерывно закрашена на всем кольце

IV На внутренней поверхности стоит некто Х, а по внешней идет в любую сторону некто Y

Обычное кольцо Х и Y никогда не встретятся, не пересекая края

Лента Мебиуса Х и Y встретятся, не пересекая края в любом случае

V Разрежь кольца вдоль пополам, по линии параллельной краям

Обычное кольцо Получилось два кольца, уже чем исходное, причем длина окружности каждого будет такой же, как длина окружности первоначально взятого

Лента Мебиуса Получилось одно кольцо в виде восьмёрки

V. A Для проверки: какая получилась поверхность, на полученных в опыте V кольцах необходимо провести непрерывную линию

Лента Мебиуса Непрерывная линия будет проходить только по одной стороне кольца. (Получилась не лента Мебиуса)

VI Разрежь кольцо вдоль, отступив от края на 1/3 ширины кольца

Обычное кольцо Получилось 2 кольца одно уже, другое шире

Лента Мебиуса Получилось два сцепленных друг с другом кольца, одно маленькое – другое большое

VI. A Для проверки: какая получилась поверхность, на полученных в опыте VI кольцах необходимо провести непрерывную линию

Обычное кольцо Непрерывная линия будет проходить только по одной стороне кольца

Лента Мебиуса Непрерывная линия будет проходить только по одной стороне большого кольца (не лента Мебиуса), по всей поверхности маленького кольца будет проходить линия с двух сторон(лента Мебиуса)

VII Разрежь результат V опыта (уже разрезанную ленту) пополам вдоль

Обычное кольцо Получаются отдельные кольца все уже и уже

Лента Мебиуса Получилось два большие кольца переплетенные между собой в виде восьмерки

VIII Склеить ленту из квадрата или из прямоугольника, у которого стороны приблизительно равны не сминая бумаги

Лента Мебиуса Невозможно осуществить на практике, не сминая бумаги

IX Склеить ленту из квадрата или из прямоугольника, у которого стороны приблизительно равны складывая бумагу

Обычное кольцо Получится «труба»

Лента Мебиуса Получим ленту Мебиуса

X Опыты с многоразовым перекручиванием и разрезанием

9. Основные свойства ленты Мебиуса

Основными свойствами ленты Мебиуса являются:

– односторонность,

– непрерывность,

– связность,

– ориентированность

– “хроматический номер”

Односторонность

Свойства ленты Мёбиуса хорошо известны: 1) она имеет одну поверхность, 2)

однако в каждом поперечном сечении эта поверхность имеет "внешнюю" и

"внутреннюю" стороны, которые по ходу движения вдоль ленты переходят друг в друга.

Непрерывность

Тополог может как угодно деформировать фигуру, лишь бы точки, ранее бывшие соседями, оставались одна подле другой и дальше. А, значит, с топологической точки зрения круг неотличим от квадрата или треугольника, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывности. На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом ни разу не придётся переползать через край “ленты”. Разрывов нет – непрерывность полная.

Представьте себе, что по наружной поверхности обычного кольца путешествует муравей. Если муравей не пересекает рёбра, а идёт вдоль листа, он вернётся в исходную точку, обойдя наружную поверхность. На ленте Мёбиуса путешествие муравья будет длиться вдвое дольше: муравей, не пересекая рёбер, обойдёт обе поверхности – наружную и внутреннюю.

Связность

Если квадрат разрезать от стороны к стороне, то он, естественно, распадётся на два отдельных куска. Точно также любой удар ножом разделит яблоко на две части. Но вот чтобы разделить кольцо на две части, нужно уже два разреза. И два раза придётся резать бублик, если вы хотите угостить им двух друзей. Поэтому любой тополог скажет вам, что квадрат– односвязен, кольцо и оправа от очков – двусвязны, а всяческие решётки и подобные сложные фигуры – многосвязны. А лист Мёбиуса двусвязен, т. к. если разрезать его вдоль, он превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту.

Ориентированность.

Конечно, можно было подробно рассказать, что это такое. Но лучше дать определение “от противного”. Это то, чего нет у листа Мёбиуса! Вообразите, что в нём заключён целый плоский мир, где есть только два измерения, а его обитатели – несимметричные рожицы, не имеющие, как и сам лист никакой толщины. Если эти несчастные создания пропутешествуют по всем изгибам листа Мёбиуса и вернутся в родные пенаты, то в изумлении обнаружат, что превратились в своё собственное зеркальное отображение. Конечно, всё это случится только, если они живут в листе, а не на нём.

Хроматический номер

И, наконец, то, что носит название “хроматический номер”. Он равен максимальному числу областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Если каждую такую область выкрасить по-разному, то любой цвет должен соседствовать с любым другим. Так вот, на листе бумаги, даже если его склеить в кольцо, ещё никому не удалось расположить пять цветных пятен любой формы, которые имели бы всеобщую границу. И на сфере, и на цилиндре их может быть не более четырёх. Это и значит что хроматический номер этих поверхностей – четыре. А на бублике число соответствующих цветов равняется семи. Каков же хроматический номер листа Мёбиуса? Он, как ни поразительно, равен шести.

Все это сложно для понимания, но в замечательной книге Сергея Боброва «Волшебный двурог» или Правдивая история о небывалых приключениях в неведомой стране, где правят Догадка, Усидчивость, Находчивость, Терпение, Остроумие и Трудолюбие, и которую читатель должен читать не торопясь можно прочитать обо всех этих удивительных вещах в доступной для детского понимания форме.

10. Экспериментальные выводы

Итак, на основе проведенных мною теоретических и практических исследований можно сделать следующие выводы:

▪ Лента Мебиуса имеет 1 край

▪ Лента Мебиуса имеет одну поверхность.

▪ Лента Мебиуса имеет одну искривленную поверхность, и если по ней двигаться, можно с внутренней части переместиться на внешнюю.

▪ Лента Мебиуса получается из прямоугольника, у которого длина намного больше ширины (например, в 10 раз – 30 × 3 см).

▪ Если допустить, что можно взять квадрат или прямоугольник любого размера и при этом можно сгибать бумажную поверхность, то мы сможем склеить ленту Мебиуса.

▪ Если разрезать ленту Мебиуса вдоль посередине параллельно краю, то можно получить не две отдельные ленты, а одну длинную ленту, которая будет уже исходной и дважды перекручена – но не лента Мебиуса.

▪ Если разрезать ленту Мебиуса вдоль, отступив от края 1/3 ее ширины, то получится два кольца, сцепленные между собой, одно большое – не лента Мебиуса, другое маленькое – лента Мебиуса.

▪ Если закрашивать одну сторону ленты Мебиуса, не пересекая края, то в итоге закрасится вся поверхность ленты.

▪ Если пустить по поверхности ленты Мебиуса движущиеся объекты, они будут двигаться бесконечно долго.

▪ В результате исследования обнаружилось, что существуют еще более «странные» геометрические объекты (например, бутылка Клейна), которые не поддаются моему десятилетнему разумению, (но очень интересно!).

Бутылка Клейна

▪ В результате исследования обнаружилось, что можно многократно перекручивать при склеивании ленты Мебиуса, и тогда нас ждет непредсказуемый витиеватый узор.

▪ В результате исследования обнаружилось, что тема ленты Мебиуса пользуется популярностью у творческих личностей: в мире существует множество художественных произведений посвященных этой теме (литература, скульптура, живопись, графика и т. д.)

▪ В результате исследования обнаружилось, что существуют и технические применения ленты Мебиуса.

11. Использование ленты Мебиуса

11. 1. Применение в технике

Уже сегодня удивительные свойства ленты Мёбиуса используются в самых различных изобретениях. Многие ученые в своих изобретениях использовали принцип ленты Мебиуса.

В виде парадоксальной геометрической фигуры можно, оказывается, изготовить лопасти бетономешалки или обычного бытового миксера - энергозатраты снизятся на одну пятую, а качество бетона (или кондитерского крема) улучшится.

Представьте себе обыкновенную ленту, образующую кольцо. На наружную сторону ленты нанесён шлифовальный порошок. Ленту прижимают к изделию, прокручивают, идёт шлифовка. Через какое-то время стирается и сам шлифовальный слой на ленте. Приходится прерывать процесс, менять ленту. Как сделать, чтобы лента работала вдвое дольше, если размеры ленты увеличивать нельзя? Несколько лет назад изобретателю А. Губайдуллину было выдано авторское свидетельство на шлифовальное устройство с лентой Мёбиуса: размеры ленты увеличились вдвое.

Есть фильтры, в которых жидкость пропускают сквозь ленту из фильтрующего материала. Постепенно эта лента засоряется, приходится её менять. На фильтр с лентой Мёбиуса тоже выдано авторское свидетельство.

Есть авторское свидетельство и на магнитофон с лентой Мёбиуса. Магнитофонная пленка, соединенная таким образом, записывает звук на обеих сторонах. Магнитофон прокручивает пленку в виде ленты Мебиуса вдвое дольше, чем обычную. Благодаря ленте Мебиуса возникло множество самых разнообразных изобретений. Так, например, были созданы особые кассеты для магнитофона, которые дали возможность слушать магнитофонные кассеты с “двух сторон” не меняя их местами.

Скольких людей приводили в восторг аттракционы “Американские горки”. Лента Мебиуса вполне благополучно наблюдается в форме абразивных ремней для заточки инструмента, красящей лентой для печатающих устройств.

А всего в разных странах за последние годы выдано более ста патентов и авторских свидетельств на использование этой удивительной ленты.

11. 2. Использование идеи в творчестве

Чудесные ее свойства тут же породили множество научных трудов, изобретений (весьма полезных и совершенно нереальных), а также многочисленных фантастических рассказов. В рассказе А. Дейча “Лента Мебиуса” описывался случай в Нью-Йоркском метро. Однажды случилось так, что пути метрополитена пересеклись, и весь он стал напоминать огромную ленту Мебиуса. Поезда один за другим стали исчезать, появляясь снова только через несколько месяцев. А Козьма Прутков подарил читателям афоризм: "Где начало того конца, которым оканчивается начало?".

Игрушка эта очень полюбилась не только математикам. Не зря ведь, наверное, сейчас у входа в Музей истории и техники в Вашингтоне стоит памятник ленте Мебиуса – на пьедестале медленно вращается стальная лента, закрученная на полвитка.

Целую серию скульптур в виде листа Мебиуса создал скульптор Макс Билл. Довольно много разнообразных рисунков оставил Мауриц Эшер. Особенно интересна гравюра с изображением муравья, ползающего по Ленте Мебиуса.

12. Выводы и результаты

В ходе данного проекта-исследования мною была почитана и переработана большая разнообразная информация: литература, например замечательная книга, которую моему папе подарили его родители в день его рождения – «Волшебный двурог» Сергея Боброва, посвященная объекту моего исследования, различные источники сети Интернет, мне встречались также и работы учащихся, я проводил сравнение различных источников и анализировал прочитанное. Мною была создана база данных, в которую включены отрывки текстов по проблеме исследования, иллюстративные материалы. Я познакомился с историей создания ленты Мёбиуса. В ходе проведенного экспериментального исследования мною самостоятельно выявлены свойства ленты Мёбиуса. Установлены области ее применения.

На основании моих экспериментальных данных я создал небольшие Flash ролики и разработал электронную версию проекта-исследования – презентацию в Microsoft Power Point с использованием наглядных материалов, созданных в ходе работы (фото и видео).

13. Вместо заключения

Лист Мёбиуса – желтая страница,

Односторонний сказочный маршрут,

Летит метелью, песенкой, синицей,

Бульварной лентой, склеенный лоскут.

Эх, Мёбиус, спасибо за науку!

Поверхность одинокой стороны

Подобна закольцованному звуку,

Вибрацией неоновой струны.

Лента Мебиуса - простая, но удивительная штука. Сделать ее можно за пару секунд, а сюрпризов, закономерностей и свойств у этого явления - масса. Чтобы это было понятнее на практике, возьмите обычную полоску бумаги, клей, соедините ее концы. Но обязательно так, чтобы один конец оказался перевернут относительно другого на пол-оборота. Вот и готова знаменитая лента Мебиуса.

О получившейся загадочной поверхности можно говорить бесконечно. Задайте себе вопрос о том, сколько поверхностей у бумажного кольца. Две? А вот и нет - одна. Проверить это очень просто. Возьмите фломастер или карандаш и попробуйте закрасить одну из сторон ленты, не отрываясь и не переходя на другую сторону. Получилось? А где же незакрашенная сторона? То-то и оно…

Название ленте дал ее изобретатель: Август Фердинанд Мебиус, профессор университета в Лейпциге. Он посвятил научной работе свою долгую и плодотворную жизнь (а это 78 лет), а сохранял он ясность ума до самого ухода. В свои 75 лет профессор описал уникальные свойства односторонней поверхности с кажущейся двуслойностью. С тех пор лучшие умы геометрии, физики и даже духовности исследовали этот объект вдоль и поперек.

Вы самостоятельно можете провести несколько экспериментов, взяв в руки ленту Мебиуса. Попробуйте разрезать ее вдоль, проведя предварительно среднюю линию по всей поверхности. Как вы думаете, что получится? Два кольца меньшей ширины? Снова неверно - одно! Вдвое длиннее предыдущего, но перекрученное уже дважды. Вот у него-то как раз уже будут две поверхности, а не одна, как в первом случае. Такую завитушку называют Афганской лентой, она тоже широко известна исследователям. Кстати, в духовности этот эффект называют символом дуальности и трактуют иллюзорным восприятием единого.

А если снова провести продольную линию, но не посередине, а ближе к краю на треть ширины ленты? Разрежьте полученное кольцо, и у вас в руках их окажется уже два: лента Мебиуса и Афганская лента, причем непостижимым образом они будут сцеплены друг с другом.

Но это далеко не все сюрпризы. Попробуйте при склеивании ленты в кольцо взять не одну, а две бумажные полоски. А потом три или даже четыре. Гарантирую: результат вас удивит еще больше!

Любопытный опыт можно поставить и гипотетически. Взяв двойную ленту Мебиуса (то есть склеенную из двух полосок) и просунув между ними палец (карандаш, деревянную палочку - что угодно), мы сможем водить им между лентами бесконечно, доказав тем самым, что фигура состоит из двух отдельных частей. А теперь представьте себе, что между этими лентами ползает муха. Нижняя полоска для нее будет «полом», верхняя - «потолком», и так до бесконечности.

Но на деле все совсем не так просто, как кажется. Ведь если поставить метку начала путешествия мухи «на полу», то когда насекомое сделает круг, эта самая метка окажется уже «на потолке». И чтобы снова перейти «на пол», нужно будет совершить еще один круг.

Представьте, что муха ползет по улице. Справа от нее находятся дома под четными номерами, а слева, соответственно, под нечетными. Совершая прогулку, в какой-то момент наша путешественница удивленно заметит, что нечетные номера идут уже справа, а четные - слева! Страшно представить такую ситуацию на наших реальных дорогах с правосторонним движением, ведь скоро придется столкнуться с другими прогуливающимися «лоб-в-лоб». Вот такая она - лента Мебиуса…

Применение этой и других закономерностей нашлось не только в гипотетической, но и в реальной жизни. Например, на основе ленты созданы ремни в печатных устройствах, автоматическая передача, абразивное кольцо в затачивающих механизмах и многое другое, о чем вы даже не подозреваете. Поистине, лента Мебиуса - загадка, которую можно изучать до бесконечности!