Основное неравенство треугольника. Неравенство треугольника один из важнейших геометрических фактов - документ

Геометрические неравенства.

При изучении математики ученикам часто приходится сталкиваться с решением неравенств. Одними из наиболее сложных видов неравенств являются геометрические . В школе на их решение отводится не достаточное количество времени, поэтому при работе с подобными неравенствами у учеников возникают трудности. Однако на вступительных экзаменах в ВУЗы и на математических олимпиадах такого рода задания можно встретить достаточно часто. Рассмотрим некоторые из них.

Неравенство треугольника

Теорема (неравенство треугольника ):

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.

Замечание . Иногда используют также и несколько другую формулировку этой теоремы, подключая попутно и случай вырожденного треугольника:

Длина любой стороны треугольника всегда не превосходит сумму длин двух его других сторон.

Заметим, что разница между двумя приведенными формулировками столь незначительна, что нет смысла рассматривать их отдельно. В дальнейшем при решении задач мы будем использовать как первую формулировку теоремы, так и вторую, не оговаривая это отдельно.

Неравенство треугольника возникло, судя по всему, тогда же, когда человек научился ходить и хоть как-то мыслить. Известно, что одну из первых его формализаций приводит Евклид в знаменитых «Началах». Там он доказывает неравенство треугольника следующим образом. Сначала доказывается теорема о том, что внешний угол треугольника больше внутреннего угла, с ним не смежного. Из нее выводится теорема о том, что против большей стороны треугольника лежит больший внутренний угол. Далее, методом от противного доказывается теорема о том, что против большего внутреннего угла треугольника лежит большая сторона. А из этой теоремы выводится неравенство треугольника. Вот такая вот непростая логическая цепочка для доказательства вполне очевидного, казалось бы, неравенства!

Доказательство теоремы . Рассмотрим треугольник ABC и покажем, что AB AC + BC . При доказательстве воспользуемся одним из видов дополнительных построений – откладыванием равных отрезков (метод спрямления ).

В треугольнике ABC (рис. 1) на продолжении стороны BC отложим отрезок CD , равный AC . В равнобедренном треугольнике ACD

. В треугольнике ABD угол ADB меньше угла BAD , значит, BD AB , или BC + CD AB . Но CD = AC , значит, AC + BC AB .

Замечание . Обратите внимание, что, исходя из формулировки теоремы, следует записать сразу три неравенства:

AB AC + BC ;

AC AB + BC ;

BC AB + AC .

Нередко, записав одно неравенство, о двух других почему-то забывают. Помните, что это может привести к довольно неприятным ошибкам.

Неравенство треугольника может служить одним из простых критериев принадлежности трех точек одной прямой . Три точки будут принадлежать одной прямой тогда и только тогда, когда в неравенстве треугольника достигается равенство. Естественно, равенство может достигаться лишь в одном из трех неравенств (см. замечание), поскольку одна из точек будет лежать четко между двумя другими.

Докажите, что в треугольнике каждая сторона больше разности двух других сторон.

Приведем в качестве примера использования неравенства треугольника несколько сравнительно несложных геометрических задач.

(a , b , c – стороны треугольника ABC ).

a ( b - c ) 2 + b ( c - a ) 2 + c ( a - b ) 2 + 4 abc a 3 + b 3 + c 3 .

a , b и c

a , b и c - длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что

( a + b - c )( a - b + c )(- a + b + c ) abc .

a , b и c - длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что

a 2 b (a - b ) + b 2 c (b - c ) + c 2 a (c - a ) 0.

Длины двух сторон треугольника a и b удовлетворяют условию a b, а длины соответствующих им высот равны h a и h b .

Доказать неравенство a + h a ≥ b + h b и определить, когда достигается равенство.

Докажите, что сумма длин любых двух медиан произвольного треугольника
а) не больше ¾ P , где P – периметр этого треугольника;
б) не меньше ¾ p , где p – полупериметр этого треугольника.

Решение

Построим отрезок CB 1 так, что четырехугольник ABB 1 C – параллелограмм, тогда AC=BB 1 . Из треугольника BB 1 D получаем, что BB 1 +BD B 1 D и, следовательно, AC+BD B 1 D . Остается заметить, что треугольник CB 1 D равносторонний ( CD=CB 1 = 1 , а B 1 CD= AOC= 60 o ), и, значит, B 1 D= 1 . Таким образом, получаем AC+BD 1 .

Решение

Возьмем на сторонах AB , BC , CA точки C 2 , A 2 , B 2 так, что A 1 B 2 | AB , B 1 C 2 | BC , C 1 A 2 | CA (рис.). ТогдаA 1 B 1 A 1 B 2 + B 2 B 1 = (1 - ) AB + (2 - 1) CA . АналогичноB 1 C 1 ) BC + (2 - 1) AB иC 1 A 1 ) CA + (2 - 1) BC . Складывая эти неравенства, получаем P 1 P .
Ясно, что A 1 B 1 + A 1 C B 1 C , т. е. A 1 B 1 + (1 - ) BC . CA . АналогичноB 1 C 1 + (1 - ) CA . AB иC 1 A 1 + (1 - ) AB . BC . Складывая эти неравенства, получаем P 1 (2 - 1)P .

• Неравенство треугольника.

Цели урока

• Познакомиться с новыми определениями и теоремами связанными с треугольниками.
• Научиться применять свойства фигур при решении задач.
• Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
• Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.

Задачи урока

• Проверить умение учащихся решать задачи.

План урока

1. Из истории математики.
2. Повторение ранее изученного материала.
3. Изучение нового материала.
4. Пример решения задачи.
5. Задачи для самостоятельной проверки.

Из истории математики

Занимает почётное место в вавилонской геометрии, упоминание о нём часто встречается в папирусе Ахмеса.

Термин гипотенуза происходит от греческого hypoteinsa, означающего тянущаяся под чем либо, стягивающая. Слово берёт начало от образа древнеегипетских арф, на которых струны натягивались на концы двух взаимно перпендикулярных подставок.

Термин катет происходит от греческого слова «катетос », которое означало отвес, перпендикуляр . В средние века словом катет означали высоту прямоугольного треугольника, в то время, как другие его стороны называли гипотенузой, соответственно основанием. В XVII веке слово катет начинает применяться в современном смысле и широко распространяется, начиная с XVIII века.

Евклид употребляет выражения:

«стороны, заключающие прямой угол», - для катетов;

«сторона, стягивающая прямой угол», - для гипотенузы.

Для начала в теме о неравенстве треугольника предлагаю вспомнить то что уже проходили, освежить в памяти уже изученное, а именно признаки равенства треугольников . Начнем пожалуй с исторической справки о признаках равенства треугольников. Что бы полностью разобраться в теме, что и как, когда и кем было написано и доказано.

Историческая справка о признаках равенства треугольников

Если мы обратимся к истории, то в самом первом учебнике по геометрии – «Началах» Евклида можно найти следующее определение: «Фигуры, совмещающиеся друг с другом равны между собой…». Прошло более двух тысяч лет, а определение не изменилось. Это определение о равенстве фигур можно отнести и к треугольникам.
- Итак, какие треугольники называются равными?
- Но всегда ли нам удаётся реально совместить треугольники?
- Действительно, иногда совместить треугольники нет возможности. Что же делать? Достаточно сравнить лишь три элемента одного треугольника с тремя элементами другого треугольника. Вот тут нам на помощь придут признаки равенства треугольников, они нам расскажут, какие именно элементы нужно сравнивать. Что такое признак равенства треугольников и сколько существует признаков? Некоторые условия, при которых два данных треугольника оказываются равными, называются признаками равенства треугольников. Можно сказать, что признак – это примета, по которой можно узнать те или иные свойства фигур.

Предмети > Математика > Математика 8 класс

Видеоурок «Неравенство треугольника» раскрывает содержание и доказательство теоремы о неравенстве треугольника. Задача данного видеоурока - облегчить запоминание теоремы и следствия из нее, понимание и запоминание хода рассуждений при ее доказательстве.

Высокий уровень наглядности материала, голосовое сопровождение дает возможность использовать данное пособие в качестве самостоятельной части урока, освобождая время учителя для улучшения качества обучения, усиления индивидуальной работы с учениками.

Видеоурок начинается с представления темы и формулировки теоремы о неравенстве треугольника. Для запоминания утверждения теоремы она выведена на экран и выделена цветом. Данная теорема утверждает, что любая сторона треугольника является меньшей суммы двух других его сторон. Доказательство утверждения предлагается рассмотреть на примере треугольника Δ, демонстрируемого под текстом теоремы на экране.

Уточняется, что для доказательства теоремы необходимо подтвердить, что сторона AB является меньше величины суммы сторон AC и CB. Данное утверждения обозначено на экране выражением AB

Освоив данную теорему, можно рассматривать ее следствие, утверждающее, что для любых трех точек A,B,C, которые не принадлежат одной прямой, справедливы неравенства: AB

Видеоурок «Неравенство треугольника» может быть использовано учителем на уроке геометрии в качестве наглядного пособия или как часть урока вместо объяснения учителем новой темы. Подробное понятное объяснение заменит учителя при самостоятельном изучении предмета учеником, а также поможет объяснить предмет при дистанционном обучении.

Цель урока: изучить теорему о неравенстве треугольника и показать ее применение при решении задач.

Задачи:

• Образовательные :
  • относительно учащихся: научиться применять свойство «неравенство треугольника» и определять несуществующие треугольники;
  • относительно педагога: объяснить новую тему с первичным закреплением новых знаний; включить учеников в исследовательскую деятельность;
  • показать практическое применение полученных знаний; создать условия для формирования целостной картины мира.
• Развивающие :
  • развитие речи, мышления, сенсорной (восприятие внешнего мира через органы чувств) сферы личности и потребностно-мотивационной области;
  • развитие умственной деятельности (выполнять операции анализа, синтеза, способность наблюдать, делать выводы, выделять существенные признаки объектов, цели и способы деятельности, выдвигать гипотезы).
• Воспитательные :
  • повысить интерес к традициям края;
  • развивать самостоятельность, умение работать парами;
  • способствовать формированию коммуникативной компетенции.

Тип урока: урок изучения и первичного закрепления новых знаний.

Оборудование: доска, компьютер, интерактивная доска или мультимедийный проектор, презентация, учебники, рабочие тетради (Приложение 1 ), 14 наборов полосок из картона по 5 см, 7 см (2 шт.), 9 см, 12 см, 14 см, 16 см, таблички с треугольниками, смайлики (Приложение 2 ).

ХОД УРОКА

1. Организационный этап

2. Подготовка к основному этапу урока (обеспечение мотивации и принятия учащимися цели учебно-познавательной деятельности, актуализация опорных знаний)

– Посмотрите на рисунок, выполненный на доске. Как называется эта фигура? (Это треугольник.)
– Какая фигура называется треугольником? (Треугольник – фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки.)
– Что возникает в вашей памяти? Что вы можете рассказать об этом треугольнике? Если обозначить треугольник АВС, назовите большую сторону. (Ребята отвечают на вопросы учителя.)
– А почему именно эту фигуру я предложила вам вспомнить? (Будем изучать какие-то свойства треугольника.)
– Совершенно верно, сегодня мы будем изучать свойство «неравенство треугольника».

3.Усвоение новых знаний и способов действий

3.1. Постановка проблемы, выдвижение гипотезы

Еслиб только меня спросили,
Я б ответил предельно кратко,
Что не видел Земли красивей
И загадочней, чем Камчатка.

Где вулканы царапают небо,
Низвергая к подножьм лавы,
Где сплетаются быль и небыль,
И где в рост человека травы.

– Эти замечательные стихи Анатолия Старикана посвящены нашей малой родине Камчатке. Камчатка имеет свои традиции, и одной из них является ежегодное проведение Берингии.

– Ребята, а что такое Берингия? (Это ставшая традиционной гонка на собачьих упряжках, которая проводится с 1990 года.)

– Обычно Берингия проводится в марте и вместе с началом весны приходит в населенные пункты на своем пути, принося радость их обитателям. Стоит заметить, что гонка помимо состязательной составляющей, имеет еще и гуманитарное значение для жителей сел и поселков Камчатского края, где отдыхают участники гонки. Детям и школам отдаленных уголков Камчатки оказывают спонсорскую помощь.
В этом году Беригиня проходила с 7 по 21 марта.

Проблемная ситуация.

Берингия стартовала из села Эссо, и одним из пунктов остановки стал поселок Тигиль. Расстояние между этими населенными пунктами 443 км. Далее каюры отправились в поселок Оссора. На каком расстоянии от села Эссо может находиться поселок Оссора, если расстояние между поселком Тигиль и поселком Оссора 507 км?

Какую фигуру необходимо построить, чтобы решить эту проблему? (Необходимо построить треугольник.) Какова может быть длина третьей стороны? Выскажите свои гипотезы, мы проверим их в конце урока.
Ученики отвечают на вопросы учителя, строят треугольник в рабочей тетради и высказывают свои гипотезы, например, расстояние между с. Эссо и п. Оссора меньше 950 км.

1. 3.2. Проведение исследования, формулирование нового свойства сторон треугольника

Основной фигурой в рассматриваемой проблеме является треугольник. Я уверена, что вы очень наблюдательны. Скажите, а где еще в повседневной жизни вам встречались треугольные формы? В архитектуре? (Знак аварийной остановки и т.д. Крыши имеют треугольную форму.)
– Вы правы. Основу крыш составляют наклонные и горизонтальные балки, которые соединены между собой и образуют треугольник.
Давайте сконструируем макеты собственных крыш. Представьте, что те полоски, которые лежат перед вами – это балки для построения крыши дома.

Исследовательская работа

– Перед вами лежат макеты сторон треугольников.
Постройте, используя эти макеты треугольники со сторонами:

а) 7, 12, 9;
б) 7, 14, 7;
в) 5, 16, 7.

В первой задаче треугольник построить легко. Во второй получился отрезок. Почему? (Т.к. три вершины лежат на одной прямой, а треугольник – это фигура, составленная из трех точек, не лежащих на одной прямой, попарно соединенных отрезками. Длина большего отрезка равна сумме длин меньших.)

– Можно ли построить треугольник в третьем случае? (В третьем случае треугольник построить нельзя, так как длина большей стороны больше суммы длин меньших сторон.)

Учитель выслушивает версии учеников. В случае затруднения можно предложить детям сравнить длину стороны, построенной первой и сумму двух других сторон треугольника.

Верная версия детей: «Если сторона, построенная первой, меньше суммы двух других сторон, то треугольник строится».

– Итак, треугольник, с какими сторонами мы смогли построить? (Треугольник со сторонами 7, 12, 9.)

AB < BC + АС, так как 9 см < 7 см + 12 см
ВС < АВ + АС, так как 7 см < 9 см + 12 см
АС < АВ + ВС, так как 12 см < 9 см + 7 см.

Ученики обозначают стороны треугольника, записывают неравенства в тетради.

– Как называются выражения, записанные на доске? (Неравенства.)
– Что связывают эти три неравенства? (Стороны треугольника.)
– Какова тема урока? (Неравенство треугольника.)
– Сформулируйте это свойство. (Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.)
– Молодцы ребята, хорошо поработали, но впереди еще серьезная работа по доказательству теоремы.

Энергизатор

Отложите ручки, повернитесь парами лицом друг другу. На счет «один», поднимите правую руку с вытянутым указательным пальцем. На счет «два», накройте левой ладонью указательный палец соседа. На счет «три», успейте убрать свою руку и схватить палец соседа. Начали!

Ребята с удовольствием выполняют упражнение, которое снимает напряжение и создает доброжелательную атмосферу, повышает энергетический потенциал учащихся.

3.3. Доказательство теоремы

– Откройте учебник на стр. 74, прочитайте формулировку теоремы о неравенстве треугольника.

Ученики работают над формулировкой теоремы, выясняют, что дано и что требуется доказать, строят рисунок и доказывают теорему вместе с учителем в рабочих тетрадях. Отвечают на наводящие вопросы учителя.

Теорема. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Дано: Δ АВС.
Доказать: АВ<АС+СВ
Доказательство:
Строим отрезок СМ равный отрезку СВ на продолжении стороны АС.
В равнобедренном Δ ВСМ ∟1 =∟2
(по свойству углов в равнобедренном треугольнике).
∟1< ∟АВМ, то ∟2<∟АВМ.
Рассмотрим треугольник АВМ.
– Каким соотношением в треугольнике связаны стороны и углы? (В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.)
– Какая сторона лежит против угла АВМ? (Сторона АМ.)
– Какая сторона лежит против угла 2? (Сторона АВ.)
– Сравните стороны АВ и АМ? (АВ < АМ)
АВ < АМ
АВ < АС + СМ
АВ < АС + ВС
Аналогично доказывается, что ВС < АВ + АС; АС < АВ + ВС. Теорема доказана.
Целесообразно сначала провести доказательство теоремы устно, а потом записать доказательство на доске и в рабочих тетрадях.

4.Физкультминутка, повторение

Победителем Берингии в 2011 году стал каюр Карагинского района, и чтобы узнать имя победителя поиграем с вами в математическое поле чудес. Находите ответы на мои вопросы на рисунках, развешенных по периметру класса и называйте только букву.

(Ребята играют стоя.)

– Какой треугольник является равнобедренным? (П)
– В каком треугольнике больший угол О? (Р)
– В каком треугольнике меньшая сторона ВС? (И)
– В каком прямоугольном треугольнике катет ВК, гипотенуза ВС? (Т)
– Какой треугольник является тупоугольным? (Ч)
– В прямоугольном треугольнике МNT назовите угол, противолежащий катету ТМ (L N)

– Совершенно верно, победителем является Андрей Притчин, который преодолел весь путь за 90 часов.

П

Р

И

Т

Ч

И

Н

5. Первичная проверка понимания и закрепление знаний

– Выберите, какие треугольники не существуют?

(Ученики работают самостоятельно, один человек работает у доски, потом проверка.)

Ответ : не существуют треугольники с номерами 3, 5, 6.

– Ребята, что вы заметили? Как быстро применить теорему о неравенстве треугольника?

(Высказывают свои версии.) – Сумма двух сторон, должна быть больше третьей стороны. Например, 10 + 3 > 5, но треугольник построить нельзя, почему? (Так как 3 + 5 < 10.) То есть, для того чтобы быстро проверить существует ли треугольник, надо сравнить большую сторону с суммой двух меньших сторон.

– Молодцы, ребята! Быстро справились с заданием!

6. Обобщение и систематизация знаний (решение проблемы, проверка гипотезы)

– Итак, какое условие должно выполняться, чтобы можно было построить треугольник? (Большая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух меньших сторон.)
– Какую проблему я поставила перед вами в начале урока? (Берингия стартовала из села Эссо, и одним из пунктов остановки стал поселок Тигиль. Расстояние между этими населенными пунктами 443 км. Далее каюры отправились в поселок Оссора. На каком расстоянии от села Эссо может находиться поселок Оссора, если расстояние между поселком Тигиль и поселком Оссора 507 км?)
– Предложите решение этой проблемы, используя новые знания. (Расстояние между Эссо и Оссорой должно быть меньше, чем 950 км.)
– Какую гипотезу мы выдвигали? (Расстояние между Эссо и Оссорой должно быть меньше, чем 950 км.)
– Подтвердилась ли гипотеза? (Да.)

Дополнительное задание: с какой средней скоростью двигался победитель, если весь путь он преодолел за 90 часов?

7. Постановка домашнего задания

1. Выучить теорему п. 33, стр. 74.
2. Исследовательское: Найти все треугольники, длины сторон которых выражены натуральными числами и а) не превосходят числа 2; б) периметр треугольника равен 5. Ответы: а)1,1,1; 2, 2,2; 1, 2, 2 б) 1,2,2.
3. Творческое (по желанию): сочинить сказку, рассказ или стихотворение по изученной теме.

8. Итоги урока, оценка знаний, рефлексия

Фронтальным опросом учитель вместе с учащимися подводит итоги урока и активным ребятам ставит оценки.

– Какую тему мы сегодня изучили? (Неравенство треугольника.)
– Что нового вы узнали на уроке? (Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.)
– Какие свойства треугольника повторили? (В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше катета. Если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный.)
– Как называется гонка на собачьих упряжках? (Берингия.)
– Из какого села стартует? (Из села Эссо.)
– В каком поселке финиш? (В поселке Оссора.)
– Как зовут победителя 2011 года? (Андрей Притчин.)

– Молодцы! Андрей Притчин является четырехкратным победителем Берингии, и я уверена, что каждый из вас обязательно станет победителем в той или иной области. Главное очень захотеть и добиваться поставленной цели.
– Какие цели мы ставили в начале урока? Достигли ли их? Какую жизненную проблему решили?
– Какие трудности возникли у вас на уроке? Как вы их преодолевали? Понятна ли вам тема урока? (Ребята отвечают на вопросы учителя, участвуют в рефлексии.)
– А теперь еще раз сосредоточьтесь на своих ощущениях и эмоциях, на том насколько понятна вам тема урока, возьмите соответствующий смайлик (Приложение 2 ), и повесьте его на доску.
– Спасибо, ребята, за работу! Урок окончен, до свидания! Успехов вам и побед.

Литература:

Атанасян Л.С. и др. Геометрия 7-9.: учеб. для общеобразоват.учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2006.

Интернет-ресурсы: