В самом начале напомним, что треугольник – это многогранник, у которого имеются 3 угла. Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если известны другие величины треугольника?

Инструкция

1. Известны длины катетов. В данном случае, гипотенузу можно вычислить, применяя теорему Пифагора. Данная теорема звучит так: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Из этого следует, чтобы рассчитать длину гипотенузы, необходимо возвести в квадрат поочередно величину каждого катета. После чего полученные цифры сложить, а из общего результата уже извлечь квадратный корень.
2. Как находить гипотенузу в треугольнике KFB, если известен катет (ВК) и прилежащий к нему угол? Известный угол обозначим. Одно из свойств прямоугольного треугольника гласит следующее, отношение длины катета прямоугольного треугольника к длине гипотенузы равно косинусу угла, расположенного между гипотенузой и этим катетом. Записать это можно следующим образом: FB=BK*cos().
3. Известен другой катет (KF) и этот же самый угол, Теперь уже он будет противолежащим. Гипотенуза также можно найти, если применить те же самые свойства прямоугольного треугольника. Здесь мы получим, отношение длины катета прямоугольного треугольника к длине его гипотенузы равно синусу угла, противолежащего катету. Записываем: FB=KF*sin().
4. Как найти гипотенузу треугольника, если около него описана окружность, у которой известен ее радиус. Из свойств окружности, которая описана вокруг прямоугольного треугольника известно, что у такой окружности центр совпадает с точкой гипотенузы, которая разделяет его пополам. Иными словами – радиус равен половине гипотенузы. А это значит, что два радиуса составляют гипотенузу: FB=2*R.

Зная свойства прямоугольного треугольника и теорему Пифагора, очень просто вычислить длину гипотенузы. Если вам все же сложно запомнить все свойства, тогда просто выучите готовые формулы, в которые очень просто подставить известные значения, чтобы рассчитать длину гипотенузы.

Теорема Пифагора является фундаментальной для каждой математики. Она устанавливает соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Теперь зафиксировано 367 доказательств этой теоремы.

Инструкция

1. Классическая школьная формулировка теоремы Пифагора звучит так: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Таким образом, дабы обнаружить гипотенузу прямоугольного треугольника по двум катетам, нужно поочередно построить в квадрат длины катетов, сложить их и извлечь квадратный корень из итога. В первоначальной своей формулировке теорема утверждала, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей 2-х квадратов, построенных на катетах. Впрочем современная алгебраическая формулировка не требует вводить представление площади.

2. Пускай, скажем, дан прямоугольный треугольник, катеты которого равны 7 см и 8 см. Тогда, согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен 7?+8?=49+64=113 см?. Сама гипотенуза равна корню квадратному из числа 113. Получилось иррациональное число, которое идет в результат.

3. Если катеты треугольника равны 3 и 4, тогда гипотенуза равна?25=5. При извлечении квадратного корня получилось естественное число. Числа 3, 4, 5 составляют пифагорову тройку, так как они удовлетворяют соотношению x?+y?=z?, будучи все естественными. Другие примеры пифагоровой тройки: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.

4. В том случае если катеты равны между собой, тогда теорема Пифагора переходит в больше примитивное уравнение. Пускай, к примеру, оба катета равны числу A, а гипотенуза обозначена за C. Тогда C?=A?+A?, C?=2A?, C=A?2. В этом случае не надобно возводить в квадрат число A.

5. Теорема Пифагора – частный случай больше всеобщей теоремы косинусов, которая устанавливает соотношение между тремя сторонами треугольника для произвольного угла между какими-нибудь двумя из них.

Гипотенузой именуется сторона в прямоугольном треугольнике, которая находится наоборот угла в 90 градусов. Для того, дабы рассчитать его длину, довольно знать длину одного из катетов и величину одного из острых углов треугольника.

Инструкция

1. При знаменитом катете и остром угле прямоугольного треугольника, то размер гипотенузы может быть равен отношению катета к косинусу/синусу этого угла, если данный угол является ему противолежащим/прилежащим:h = C1(либо C2)/sin?;h = С1(либо С2)/cos?.Пример: Пускай дан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB и прямым углом C. Пускай угол B равен 60 градусам, а угол A 30 градусам Длина катета BC 8 см. Нужно обнаружить длину гипотенузы AB. Для этого дозволено воспользоваться любым из предложенных выше методов:AB = BC/cos60 = 8 см.AB = BC/sin30 = 8 см.

Гипотенуза – самая длинная сторона прямоугольного треугольника . Она расположена противоположно прямому углу. Метод нахождения гипотенузы прямоугольного треугольника зависит от того, какими начальными данными вы владеете.

Инструкция

1. Если вестимы катеты прямоугольного треугольника , то длина гипотенузы прямоугольного треугольника может быть обнаружена с поддержкой теоремы Пифагора — квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:с2 = а2 + b2, где а и b – длины катетов прямоугольного треугольника .

2. Если знаменит один из катетов и острый угол, то формула для нахождения гипотенузы будет зависеть от того, какой данный угол по отношению к знаменитому катету – прилежащий (расположенный вблизи катета) либо противолежащий (расположенный наоборот него.В случае прилежащего угла, гипотенуза равна отношению катета на косинус этого угла: с = a/cos?;E угол противолежащий, гипотенуза равна отношению катета на синус угла: с = a/sin?.

Видео по теме

Полезный совет
Прямоугольный треугольник, стороны которого соотносятся как 3:4:5, назван египетским треугольником, от того что именно такие фигуры энергично применялись архитекторами Старинного Египта. Он является также простейшим примером Героновых треугольников, в которых стороны и площадь представлены целыми числами.

Инструкция

Пусть известен один из катетов прямоугольного треугольника. Предположим |BC| = b. Тогда мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: a^2 + b^2 = c^2. Из данного уравнения находим неизвестный катет |AB| = a = √ (c^2 - b^2).

Пусть известен один из углов прямоугольного треугольника, предположим ∟α. Тогда катеты AB и BC прямоугольного треугольника ABC можно найти, используя тригонометрические функции. Так получаем: синус ∟α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе sin α = b / c, косинус ∟α равен отношению прилежащего катета к гипотенузе cos α = a / c. Отсюда находим требуемые длины сторон: |AB| = a = с * cos α, |BC| = b = c * sin α.

Пусть известно соотношение катетов k = a / b. Также решаем задачу с использованием тригонометрических функций. Отношение a / b есть ни что иное, как котангенс ∟α: отношение прилежащего катета к противолежащему ctg α = a / b. В этом случае из данного равенства выражаем a = b * ctg α. И подставляем в теорему Пифагора a^2 + b^2 = c^2:

b^2 * ctg^2 α + b^2 = c^2. Выносим b^2 за скобки, получаем b^2 * (ctg^2 α + 1) = c^2. И отсюда легко получаем длину катета b = c / √(ctg^2 α + 1) = c / √(k^2 + 1), где k – заданное соотношение катетов.

По аналогии, если известно соотношение катетов b / a, решаем задачу с применением тригонометрической функции тангенс tg α = b / a. Подставляем значение b = a * tg α в теорему Пифагора a^2 * tg^2 α + a^2 = c^2. Отсюда a = c / √(tg^2 α + 1) = c / √(k^2 + 1), где k – заданное соотношение катетов.

Рассмотрим частные случаи.

∟α = 30°. Тогда |AB| = a = c * cos α = c * √3 / 2; |BC| = b = c * sin α = c / 2.

∟α = 45°. Тогда |AB| = |BC| = a = b = c * √2 / 2.

Видео по теме

Обратите внимание

Квадратные корни извлекаются с положительным знаком, т.к. длина не может быть отрицательной величиной. Это кажется очевидным, но данная ошибка очень распространена, если решать задачу на автомате.

Полезный совет

Для нахождения катетов прямоугольного треугольника удобно использовать формулы приведения: sin β = sin (90° - α) = cos α; cos β = cos (90° - α) = sin α.

Источники:

• Таблицы Брадиса для нахождения величин тригонометрических функций

Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника рассматриваются в разделе математики, который называется тригонометрией. Для нахождения сторон прямоугольного треугольника достаточно знать теорему Пифагора, определения тригонометрических функций, и иметь какое-либо средство для нахождения значений тригонометрических функций, например, калькулятор или таблицы Брадиса. Рассмотрим ниже основные случаи задач нахождения сторон прямоугольного треугольника.

Вам понадобится

• Калькулятор, таблицы Брадиса.

Инструкция

с – длина гипотенузы (стороны, противолежащей прямому углу);

a, b – длины катетов (сторон, прилежащих к прямому углу);

A – угол, противолежащий катету a;

В – угол, противолежащий катету b.

Если вам задан один из острых углов, например, A, и гипотенуза, то катеты можно найти из определений основных тригонометрических функций :

a= c*sin(A), b= c*cos(A).

Если задан один из острых углов, например, A, и один из катетов, например, a, то гипотенуза и другой катет вычисляются из соотношений: b=a*tg(A), c=a*sin(A).

Полезный совет

В том случае, если вам не известно значение синуса или косинуса какого-то из необходимых для расчёта углов, вы можете воспользоваться таблицами Брадиса, в них приводятся значения тригонометрических функций для большого числа углов. Кроме того, большинство современных калькуляторов способны рассчитывать синусы и косинусы углов.

Источники:

• как вычислить сторону прямоугольного треугольника в 2017

Совет 3: Как найти угол, если известны стороны прямоугольного треугольника

Треугольник , один из углов которого является прямым (равен 90°), называют прямоугольным. Его самая длинная сторона всегда лежит напротив прямого угла и называется гипотенузой, а две другие стороны называют катетами. Если длины этих трех сторон известны, то найти величины всех углов треугольник а не составит труда, так как фактически потребуется вычислить всего один из углов. Сделать это можно несколькими способами.

Инструкция

Используйте для вычисления величин углов (α, β, γ) определения тригонометрических функций через прямоугольный треугольник . Такое определение , например, для синуса острого угла формулируется как отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы. Значит, если известны длины катетов (A и B) и гипотенузы (C), то найти, например, синус угла α, лежащего напротив катета A можно, разделив длину стороны А на длину стороны C (гипотенузы): sin(α)=A/C. Узнав значение синуса этого угла можно найти его величину в градусах, использовав обратную синусу функцию - арксинус. То есть α=arcsin(sin(α))=arcsin(A/C). Таким же способом можно найти и величину другого острого угла в треугольник е, но в этом нет необходимости. Так как сумма всех углов треугольник а всегда составляет 180°, а в прямоугольном треугольник е один из углов равен 90°, то величину третьего угла можно посчитать как разность между 90° и величиной найденного угла: β=180°-90°-α=90°-α.

Вместо определения синуса можно использовать определение косинуса острого угла, которое формулируется как отношение длины прилежащего к искомому углу катета к длине гипотенузы: cos(α)=B/C. И здесь задействуйте обратную тригонометрическую функцию (арккосинус), чтобы найти величину угла в градусах: α=arccos(cos(α))=arccos(B/C). После этого, как и в предыдущем шаге, останется найти величину недостающего угла: β=90°-α.

Можно воспользоваться аналогичным определением тангенса - он выражается соотношением длины противолежащего искомому углу катета к длине катета прилежащего: tg(α)=A/B. Величину угла в градусах снова определяйте через обратную тригонометрическую функцию - арктангенс : α=arctg(tg(α))=arctg(A/B). Формула величины недостающего угла останется без изменений: β=90°-α.

Видео по теме

Совет 4: Как найти длину стороны прямоугольного треугольника

Прямоугольным считается такой треугольник, у которого один из углов прямой. Сторона треугольника , расположенная напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны - катетами. Чтобы найти длины сторон прямоугольного треугольника , можно воспользоваться несколькими способами.

Инструкция

Можно узнать размер третьей стороны , зная длины двух других сторон треугольника . Это можно выполнить с помощью теоремы Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов. (a² = b²+ c²). Отсюда можно выразить длины всех сторон прямоугольного треугольника :
b² = a² - c²;
c² = a² - b²
К примеру, у прямоугольного треугольника известна длина гипотенузы a (18 см) и одного из катетов, например c (14 см). Чтобы найти длину другого катета, требуется совершить 2 алгебраических действия:
с² = 18² - 14² = 324 - 196 = 128 см
c = √128 см
Ответ: длина второго катета составляет √128 см или, приблизительно, 11.3 см

Можно прибегнуть к другому способу , если известны длина гипотенузы и величина одного из острых углов данного прямоугольного треугольника . Пусть длина гипотенузы равна c, один из острых углов равен α. В таком случае, найти 2 другие стороны прямоугольного треугольника можно будет при помощи следующих формул:
a = с*sinα;
b = с*cosα.
Можно привести пример : длина гипотенузы равна 15 см, один из острых углов равен 30 градусам. Для нахождения длин двух других сторон нужно выполнить 2 действия:
a = 15*sin30 = 15*0.5 = 7.5 см
b = 15*cos30 = (15*√3)/2 = 13 см (приблизительно)

Самый нетривиальный способ найти длину стороны прямоугольного треугольника - это выразить ее из периметра данной фигуры:
P = a + b + c, где P - периметр прямоугольного треугольника . Из этого выражения легко выразить длину любой из сторон прямоугольного треугольника .

Совет 5: Как найти угол прямоугольного треугольника, зная все стороны

Знания всех трех сторон в прямоугольном треугольнике более чем достаточно для вычисления любого из его углов. Этой информации настолько много, что у вас даже появляется возможность выбрать, которые из сторон задействовать в расчетах, чтобы использовать наиболее вам симпатичную тригонометрическую функцию.

Инструкция

Если вы предпочтете иметь дело с арксинусом, используйте в расчете длину гипотенузы (С) - самой длинной стороны - и того катета (А), который лежит напротив искомого угла (α). Деление длины этого катета на длину гипотенузы даст величину синуса искомого угла, а обратная синусу функция - арксинус - из полученного значения восстановит величину угла в градусах . Поэтому используйте в вычислениях такую формулу : α = arcsin(A/C).

Для замены арксинуса арккосинусом задействуйте в вычислениях длины тех сторон, которые и образуют искомый угол (α). Одна из них будет гипотенузой (С), а другая - катетом (В). По определению косинус - это отношение длины прилегающего к углу катета к длине гипотенузы, а восстановлением угла из значения косинуса занимается функция арккосинус. Используйте такую формулу расчетов: α = arccos(B/C).

Можно использовать в расчетах использовать еще более экзотические тригонометрические функции, обратите внимание, например, на арксеканс. Вам понадобится та же пара сторон, что и во втором шаге - прилегающий к искомому углу (α) катет (В) и гипотенуза (С). Но делимое и делитель надо поменять местами, поэтому

Какой треугольник называют прямоугольным?

Есть несколько типов треугольников. У одних все углы острые, у других – один тупой и два острых, у третьих – два острых и прямой. По этому признаку каждый тип этих геометрических фигур и получил название: остроугольные, тупоугольные и прямоугольные. То есть, прямоугольным называется такой треугольник, у которого один из углов составляет 90°. Есть и другое определение , схожее с первым. Прямоугольным называется треугольник, у которого две стороны перпендикулярны.

Гипотенуза и катеты

У остроугольного и тупоугольного треугольников отрезки, соединяющие вершины углов, называются просто сторонами. У треугольника прямоугольного стороны имеют и другие названия. Те, которые прилегают к прямому углу, называются катетами. Сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой. В переводе с греческого слово «гипотенуза» означает «натянутая», а «катет» - «перпендикуляр».

Соотношения между гипотенузой и катетами

Стороны прямоугольного треугольника связаны между собой определенными соотношениями, которые значительно облегчают вычисления. Например, зная размеры катетов, можно вычислить длину гипотенузы. Это соотношение по имени открывшего его математика получило название теоремы Пифагора и выглядит оно так:

c2=a2+b2, где с – гипотенуза, a и b – катеты. То есть, гипотенуза будет равна квадратному корню из суммы квадратов катетов. Чтобы найти любой из катетов, достаточно из квадрата гипотенузы вычесть квадрат другого катета и извлечь из полученной разности квадратный корень.

Прилежащий и противолежащий катет

Начертите прямоугольный треугольник АСВ. Буквой С принято обозначать вершину прямого угла, А и В – вершины острых углов. Стороны, противолежащие каждому углу, удобно назвать а, b и с, по названиям лежащих напротив них углов. Рассмотрите угол А. Катет а для него будет противолежащим, катет b – прилежащим. Отношение противолежащего катета к гипотенузе называется синусом . Вычислить эту тригонометрическую функцию можно по формуле: sinA=a/c. Отношение прилежащего катета к гипотенузе называется косинусом. Вычисляется он по формуле: cosA=b/c.

Таким образом, зная угол и одну из сторон, можно по этим формулам вычислить другую сторону. Тригонометрическими соотношениями связаны и оба катета. Отношение противолежащего к прилежащему называется тангенсом, а прилежащего к противолежащему – котангенсом. Выразить эти соотношения можно формулами tgA=a/b или ctgA=b/a.

Решение треугольников — исторический термин, который означают решение главной тригонометрической задачи: из известных данных о треугольнике (сторона, угол и так далее) найти другие характеристики этого треугольника.

Для решения задач на определение сторон и углов прямоугольного треугольника необходимо вспомнить определения sin , cos и tg .

В случае с прямоугольными треугольниками: всегда известен 1-ин из углов — равный 90 градусам. Нежно найти еще 2 элемента, хотя бы один из них — сторона. Обычно обозначают так: вершина прямого угла буквой C , а гипотенуза — c . Катеты обозначают буквами a и b , а величины противоположных им углов — α и β .

Формулы для расчета очень упрощаются, т.к. вместо теорем sin и cos используют более простое соотношение — теорему Пифагора :

c 2 = a 2 + b 2

и определения sin и cos :

Кроме того известно, что углы α и β являются острыми, т.к. сумма всех углов треугольника равняется 90°. Значит, каждый из неизвестных углов точно можно определить по всякой из его тригонометрических функций (sin , cos , tg и др.) методом вычисления соответствующей обратной тригонометрической функции.

Так как 1-на из известных величин является прямым углом, случай «3 стороны» исключаем из рассмотрения. Другие случаи:

• 2 стороны и угол между ними → 2 катета;
• 2 стороны и угол напротив одной из них → катет и гипотенуза;
• Сторона и 2 прилежащих угла → катет и прилежащий острый угол;
• Сторона, противолежащий угол и 1 из прилежащих:
  • → катет и противолежащий острый угол, если прямой угол — прилежащий;
  • → гипотенуза и острый угол, если прямой угол — противолежащий.

При правильной постановке задачи (когда известна гипотенуза и катет, значит катет меньше гипотенузы; когда известен 1 из углов кроме прямого, значит он острый) решение всегда есть и оно единственно.

Обратите внимание:

1. Для определения неизвестного угла лучше всего пользоваться теоремой косинусов , а не синусов . Потому, что значение sin угла у вершины треугольника не определяет однозначно самого угла. К примеру, если sin β = 0,5 , значит, угол β может быть равным 30° и 150°, так как sin этих углов совпадают. Исключение: когда предварительно известно, что в этом треугольнике тупых углов не может быть — к примеру, когда треугольник прямоугольный. С cos таких проблем нет, в интервале 0° - 180° значение cos определяет угол однозначно.

2. Дальше везде предполагают, что взаимное расположение заданных характеристик треугольника известно; если это не так, значит, зеркальное отражение построенного треугольника также окажется решением задачи. К примеру, 3 стороны точно определяют треугольник с точностью до отражения.

3. Каждый треугольник подразумевается невырожденным, т.е. длина стороны не может быть равной нулю, а величина угла — неотрицательное число, меньшее 180°.