Формулы сокращенного умножения и разложения на множители. Формулы сокращенного умножения. Разложение на множители. Примеры методов разложения

Существует несколько различных способов разложения многочлена на множители. Чаще всего на практике применяется не один, а сразу несколько способов. Какого-то определенного порядка действий тут быть не может, в каждом примере все индивидуально. Но можно пробывать придерживаться следующего порядка:

1. Если есть общий множитель, то вынести его за скобку;

2. После этого попробовать разложить многочлен на множители, используя формулы сокращенного умножения;

3. Если после этого мы еще не получили необходимого результата, следует попытаться воспользоваться способом группировки.

Формулы сокращенного умножения

1. a^2 - b^2 = (a+b)*(a-b);

2. (a+b)^2 = a^2+2*a*b+b^2;

3. (a-b)^2 = a^2-2*a*b+b^2;

4. a^3+b^3 = (a+b)*(a^2 - a*b+b^2);

5. a^3 - b^3 = (a-b)*(a^2 + a*b+b^2);

Теперь для закрепления разберем несколько примеров:

Пример 1.

Разложить многочлен на множители: (a^2+1)^2 - 4*a^2

Сначала применим формулу сокращенного умножения «разность квадратов» и раскроем внутренние скобки.

(a^2+1)^2 - 4*a^2 = ((a^2+1)-2*a)*((a^2+1)+2*a) = (a^2+1-2*a)*(a^2+1+2*a);

Заметим, что в скобках получились выражения для квадрата суммы и квадрата разности двух выражений. Применим их и получаем ответ.

a^2+1-2*a)*(a^2+1+2*a) = (a-1)^2*(a+1)^2;

Ответ: (a-1)^2*(a+1)^2;

Пример 2.

Разложить многочлен 4*x^2 - y^2 + 4*x +2*y на множители.

Как видим напрямую здесь никакой из способов не подходит. Но есть два квадрата, их можно сгруппировать. Попробуем.

4*x^2 - y^2 + 4*x +2*y = (4*x^2 - y^2) +(4*x +2*y);

Получили в первой скобке формулу разности квадратов, А во второй скобке есть общий множитель двойка. Применим формулу и вынесем общий множитель.

(4*x^2 - y^2) +(4*x +2*y)= (2*x - y)*(2*x+y) +2*(2*x+y);

Видно, что получились две одинаковые скобки. Вынесем их как общий множитель.

(2*x - y)*(2*x+y) +2*(2*x+y) = (2*x+y)*(2*x - y)+2)= (2*x+y)*(2*x-y+2);

Ответ: (2*x+y)*(2*x-y+2);

Как видите, универсального способа нет. С опытом придет навык и раскладывать многочлен на множители будет очень легко.

Разложение многочлена на множители - тождественное преобразование, превращающее сумму в произведение нескольких множителей - многочленов или одночленов.

Сейчас я проиллюстрирую тебе примеры методов разложения на множители

Разложение на множители. Примеры методов разложения:

1. Вынесение скобки. Примеры.

Помнишь, что такое распределительный закон? Это такое правило:

Пример:

Разложить многочлен на множители.

Решение:

Еще пример:

Разложи на множители.

Решение:

Если слагаемое целиком выносится за скобки, в скобках вместо него остается единица!

2. Формулы сокращенного умножения. Примеры.

Чаще всего используем формулы разность квадратов, разность кубов и сумма кубов. Помнишь эти формулы? Если нет, срочно повтори тему !

Пример:

Разложите на множители выражение.

Решение:

В этом выражении несложно узнать разность кубов:

Пример:

Решение:

3. Метод группировки. Примеры.

Иногда можно поменять слагаемые местами таким образом, чтобы из каждой пары соседних слагаемых можно было выделить один и тот же множитель. Этот общий множитель можно вынести за скобку и исходный многочлен превратится в произведение.

Пример:

Разложите на множители многочлен.

Решение:

Сгруппируем слагаемые следующим образом:
.

В первой группе вынесем за скобку общий множитель, а во второй − :
.

Теперь общий множитель также можно вынести за скобки:
.

4. Метод выделения полного квадрата. Примеры.

Если многочлен удастся представить в виде разности квадратов двух выражений, останется только применить формулу сокращенного умножения (разность квадратов).

Пример:

Разложите на множители многочлен.

Решение:

\begin{array}{*{35}{l}}
{{x}^{2}}+6{x}-7=\underbrace{{{x}^{2}}+2\cdot 3\cdot x+9}_{квадрат\ суммы\ {{\left(x+3 \right)}^{2}}}-9-7={{\left(x+3 \right)}^{2}}-16= \\
=\left(x+2+4 \right)\left(x+2-4 \right)=\left(x+6 \right)\left(x-2 \right) \\
\end{array}

Пример:

Разложите на множители многочлен.

Решение:

\begin{array}{*{35}{l}}
{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}-1=\underbrace{{{x}^{4}}-2\cdot 2\cdot {{x}^{2}}+4}_{квадрат\ разности{{\left({{x}^{2}}-2 \right)}^{2}}}-4-1={{\left({{x}^{2}}-2 \right)}^{2}}-5= \\
=\left({{x}^{2}}-2+\sqrt{5} \right)\left({{x}^{2}}-2-\sqrt{5} \right) \\
\end{array}

5. Разложение квадратного трехчлена на множители. Пример.

Квадратный трехчлен - многочлен вида, где - неизвестное, - некоторые числа, причем.

Значения переменной, которые обращают квадратный трехчлен в ноль, называются корнями трехчлена. Следовательно, корни трехчлена - это корни квадратного уравнения.

Теорема.

Пример:

Разложим на множители квадратный трехчлен: .

Сначала решим квадратное уравнение:

Теперь можно записать разложение данного квадратного трехчлена на множители: .

2013-2018 © сайт

Распространение материалов без согласования допустимо при наличии dofollow-ссылки на страницу-источник.

Политика конфиденциальности

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.