Образовательный портал. Образование / Среднее образование и школа / Чему равен общий знаменатель дробей. Вынесение общего множителя за скобки.

Чему равен общий знаменатель дробей. Вынесение общего множителя за скобки.

06.09.2019

Разложить многочлен на множители можно несколькими способами. Один из них называется вынесение общего множителя за скобки .

Разложить многочлен на множители — значит представить его в виде произведения двух и более многочленов.

Как вынести общий множитель за скобки

Запомните!

Чтобы вынести общий множитель за скобки нужно выполнить следующие действия.

Обычная дробь может быть преобразована в десятичную дробь во фракцию, знаменатель которой равен 10 или процентам. Вот таблица, которая дает преобразование некоторых обычных дробей, числитель которых равен 1. Делитель одного является целым числом, так что результат деления этих двух чисел по-прежнему является целым числом.

Чтобы найти его, можно написать список делителей первого числа, список делителей второго и найти наибольшее число, общее для двух списков. Когда числа очень велики, становится сложнее скомпилировать список всех делителей двух чисел и сравнить эти списки. Метод под названием «метод Евклида» используется для обозначения имени математика древней Греции, который Придумал этот метод около 300 г. до н.э.

Работаем с числовыми коэффициентами.
Находим число, на которое делятся без остатка числовые коэффициенты каждого одночлена.
Работаем с буквенными множителями.
Находим буквенные множители, которые повторяются в каждом одночлене. Выносим их за скобку в наименьшей степени.
Вычисляем многочлен, который остается в скобках.

Рассмотрим пример вынесения общего множителя за скобки.

Наибольшее из двух чисел выражается кратным наименьшему и одному остатку.
Меньший выражается как функция найденного остатка и нового остатка.
Этот процесс продолжается до тех пор, пока не останется ноль.

Числитель и знаменатель делятся на 13, что дает. Является неприводимой дробью.

В математике фракция представляет собой деление. Это отношение или пропорция двух чисел: числитель и знаменатель. Дробь записывается горизонтальной полосой и двумя целыми числами.

Первое целое число выше бара; он называется числителем.
Второе целое помещается под панелью и называется знаменателем.

В показанном примере 13 - числитель, а 36 - знаменатель, а фракция 13 - тридцать шесть или тридцать шестое, то, что представляет собой эта фракция?

Сначала определим число, на которое без остатка делятся все числовые коэффициенты одночленов. Для этого выпишем все числовые коэффициенты в таблицу ниже.

Определим буквенные множители, которые повторяются во всех одночленах.

В многочлене «6a 2 − 3a + 12ab » — только буквенный множитель «a » присутствует во всех одночленах. Наименьшая степень буквенного множителя «a » среди всех одночленов — первая.

Он может быть прочитан 1, разделенный на 2, половину или ровный. Если знаменатель равен 1, мы говорим 1 единицу, или мы говорим только числитель; Если знаменатель равен 2, скажем, половина; Если знаменатель равен 3, мы говорим третье; Если знаменатель равен 4, мы говорим о квартале; Если знаменатель больше 4, используется порядковый номер.

Если знаменатель больше числителя, то доля меньше 1.
Если знаменатель меньше числителя, то доля больше 1.
Если знаменатель равен числителю, то дробь равна 1.

Здесь должно быть понято, что отношения остаются неизменными.

Теперь перемножим выбранный числовой коэффициент и буквенный множитель.
Получим «3a » и вынесем его за скобки.

Теперь вычислим оставшийся многочлен в скобках. Для этого составим таблицу ниже, где будем к каждому одночлену задавать вопрос:
«На что нужно умножить «3а », чтобы получить данный одночлен?»

Запишем полученный ответ.

Посмотрите на две диаграммы, чтобы понять: первая представляет собой половину, остальные пять десятых. Путем умножения числителя и знаменателя на одно и то же число сохраняется то же соотношение. Фракции могут быть выражены с помощью числовой линии. Здесь мы представляем десятые. В синем целые числа, в черных фракциях. Следует отметить, что десять десятых стоит одного, двадцать десятых - два и т.д.

Фракции также используются для выражения процентов, используется знаменатель, который равен. Эта доля может быть прочитана как «25 человек из 100». Действительно, сказать, что «25% населения» эквивалентно упоминанию «четверти населения». Фракцию можно упростить, разделив числитель и знаменатель на самый большой общий делитель. Например, следующие две фракции эквивалентны.

Важно!

Всегда проверяйте полученный результат вынесения общего множителя.

Для этого раскройте скобки в полученном результате по правилу умножения многочлена на одночлен .

Если вы вынесли общий множитель правильно, то вы должны получить исходный многочлен.

Мы использовали здесь самый большой общий делитель 4 и 10, который также невозможно упростить эту долю, поэтому он называется неприводимым. Можно выполнить несколько математических операций с дробями. Чтобы добавить несколько фракций, их знаменатели должны быть эквивалентными. Вот почему очень часто приходится сводить их к одному знаменателю путем нахождения множественного числа каждого знаменателя и умножения числителя на число, по которому мы умножили знаменатель, чтобы сохранить Эквивалентные доли.

Чтобы найти общий знаменатель, предпочтительно сначала определить знаменатели. Вычислим следующую сумму. Здесь можно взять 10, потому что этот делится на 2 и на 5; всегда предпочтительнее принимать наименьшее общее кратное, чтобы избежать необходимости умножать на большие числа.

Проверим, правильно ли мы вынесли общий множитель за скобки.

При раскрытии скобок мы получили исходный многочлен, значит мы правильно вынесли общий множитель за скобки.

Важно!

Действие обратное вынесению общего множителя за скобки называется раскрытием скобок .

Примеры вынесения общего множителя за скобки

a 4 + 2a 2 = a 2 (a 2 + 2)
Проверка: a 2 (a 2 + 2) = a 2 · a 2 + 2a 2 = a 2 + 2 + 2a 2 = a 4 + 2a 2
2x 2 y 2 − 2x 4 y 2 + 6x 3 y 3 = 2x 2 y 2 (1 − x 2 + 3xy)
Проверка: 2x 2 y 2 (1 − x 2 + 3xy) = 2x 2 y 2 · 1 − 2x 2 y 2 · x 2 + 2x 2 y 2 · 3xy =
= 2x 2 y 2 − 2x 2 + 2 y 2 + 6x 2 + 1 y 2 + 1 = 2x 2 y 2 − 2x 4 y 2 + 6x 3 y 3

Вынесение общего многочлена за скобки

Иногда есть возможность вынести многочлен за скобки целиком.

Затем необходимо умножить числитель каждой из фракций на то же число, что и знаменатель, так что отношение остается неизменным. Остается только добавить числители между ними, чтобы получить окончательный ответ. Это единственный точный способ получить правильный результат. Добавление знаменателей между ними и числителями между ними неверно.

Вычитание выполняется так же, как и сложение с использованием общего знаменателя, за исключением того, что числители вычитаются. Умножение очень просто, умножая числитель первой фракции на цифру второй дроби и умножая знаменатель первой фракции на знаменатель второй фракции.

В таком случае оставшиеся одночлены просто записываются в скобки друг за другом вместе со знаком, который стоял слева от них.

a 2 (x + y) + b 3 (x + y) = (x + y)(a 2 + b 3) — выносим многочлен (x + y) за скобки.
a 3 (x 2 + y 2) − b(x 2 + y 2) = (a 3 − b)(x 2 + y 2) — выносим многочлен (x 2 + y 2) за скобки.

Для решения уравнений высших порядков существует множество способов. Иногда целесообразно совмещать их, чтобы добиться результата. Например, при разложении на множители и группировке часто используют метод нахождения общего множителя группы двучленов и вынесения его за скобки.

Путем упрощения числителей и знаменателей можно получить упрощенную дробь непосредственно. Разделение напоминает умножение. Однако вторая фракция должна быть инвертирована. Деление на число сводится к умножению на его обратное. Наименьший общий знаменатель двух или более фракций является общим минимальным общим знаменателем данных дробей и является знаменателем, который получается путем вычисления суммы или разности тех же фракций.

Как рассчитать самый низкий общий знаменатель

Любой, кто рано или поздно должен был иметь дело с фракциями, где-то читал: «Теперь нам нужно рассчитать наименьший общий знаменатель» или, возможно, «Рассчитать общий знаменатель». Чтобы объяснить это, наименее общий знаменатель двух или более фракций, следует начать с примера. Начнем с двух фракций.

Инструкция

Определение общего множителя многочлена требуется при упрощении громоздких выражений, а также при решении уравнений высших степеней. Этот метод имеет смысл, если степень многочлена не ниже второй. При этом общим множителем может быть не только двучлен первой степени, но и более высоких степеней.

Чтобы найти общий множитель слагаемых многочлена, необходимо выполнить ряд преобразований. Простейший двучлен или одночлен, который можно вынести за скобки, будет одним из корней многочлена. Очевидно, что в случае, когда многочлен не имеет свободного члена, будет неизвестное в первой степени – корень многочлена, равный 0.

И давайте попробуем найти общий знаменатель. Это проще, чем вы можете себе представить. Общий знаменатель между двумя или более фракциями по определению является наименее общим кратным среди знаменателей рассматриваемых фракций. Если вы не знаете, как рассчитать минимальный общий кратный двух или более номеров, вы можете взглянуть на урок предыдущей ссылки, здесь мы увидим краткое резюме и некоторые примеры.

Минимальный общий знаменатель нескольких фракций

В примере, который мы рассматривали, у нас есть дроби. Разбиваем знаменатели на простые множители. Единственным распространенным фактором является 5, необычные - 2, и все они являются единичными, поэтому. Процедура вычисления минимального общего знаменателя более двух фракций не изменяется от уже увиденного. Опять же, мы ссылаемся на пример и рассматриваем четыре фракции.

Более сложным для поиска общего множителя является случай, когда свободный член не равен нулю. Тогда применимы способы простого подбора или группировки. Например, пусть все корни многочлена рациональные, при этом все коэффициенты многочлена – целые числа:y^4 + 3·-y³- – y²- – 9·-y – 18.

Выпишите все целочисленные делители свободного члена. Если у многочлена есть рациональные корни, то они находятся среди них. В результате подбора получаются корни 2 и -3. Значит, общими множителями этого многочлена будут двучлены (y - 2) и (y + 3).

Самый быстрый способ вычисления самого низкого общего знаменателя

Как мы уже говорили, начнем с деления каждого знаменателя на простые множители. Наименьший общий знаменатель задается произведением общих и необычных факторов, принимаемых только один раз и с наивысшим показателем, поэтому. С практикой вы научитесь ускорять процесс расчета.

Это может показаться «бесполезным наблюдением», но иногда это может облегчить жизнь, как показывает следующий пример. Определите общий знаменатель между. Теперь, как мы видели в предыдущем примере, мы могли бы вооружиться святым терпением и разбить все знаменатели на основные факторы. Если, с другой стороны, мы смотрим на это и замечаем, что.

Очевидно, что степень оставшегося многочлена при этом понизится с четвертой до второй. Чтобы получить его, проведите деление исходного многочлена последовательно на (y - 2) и (y + 3). Выполняется это подобно делению чисел, в столбик.

Метод вынесения общего множителя является одним из составляющих разложения на множители. Описанный выше способ применим, если коэффициент при старшей степени равен 1. Если это не так, то сначала необходимо выполнить ряд преобразований. Например:2y³- + 19·-y²- + 41·-y + 15.

Что такое минимальный общий кратный?

Из которого мы сразу находим общий знаменатель. В арифметике очень важно хорошо понимать, и отныне, что это «наименее распространенное кратное двух или более натуральных чисел». Мы исходим из определения общего множественного кратного: общий минимальный кратный между двумя положительными целыми числами определяется как наименьшее делимое число для обоих чисел.

Какова минимальная общая множественная точка?

Он в основном используется для вычисления общего знаменателя суммы или доли фракций: при добавлении большего количества фракций, по сути, общий знаменатель является наименьшим общим кратным всех одиночных знаменателей! Посмотрим, как мы вычисляем общий минимум в общем случае, но чтобы разоблачить его, мы будем использовать пример.

Выполните замену вида t = 2³-·-y³-. Для этого умножьте все коэффициенты многочлена на 4:2³-·-y³- + 19·-2²-·-y²- + 82·-2·-y + 60. После замены: t³- + 19·-t²- + 82·-t + 60. Теперь для поиска общего множителя применим вышеописанный способ.

Кроме того, эффективным методом поиска общего множителя является группировка элементов многочлена. Особенно он полезен, когда первый способ не работает, т.е. у многочлена нет рациональных корней. Однако реализация группировки не всегда бывает очевидной. Например:У многочлена y^4 + 4·-y³- – y²- – 8·-y – 2 нет целых корней.

Пример множественного общего множественного вычисления

При разложении 360 имеем: 2 с показателем 3, 3 с показателем 2 и 5 с показателем 1. При разложении 300 имеем: 2 с показателем 2, 3 с показателем 2 и 5 с показателем. Давайте рассмотрим некоторые примеры расчета общего минимума между двумя числами. Разбиваем 64 на простые множители.

Минимальный общий кратный между тремя и более номерами

Если мы хотим рассчитать минимальный общий кратный более двух чисел, мы должны действовать аналогичным образом.

Пример об общем минимуме, кратном трех чисел

Две фракции называются «эквивалентными», если они имеют одинаковое значение. Знание того, как преобразовать часть в другую - другое, но эквивалентное, - это «необходимый математический навык, необходимый для всего: от базовой алгебры до продвинутых вычислений». В этой статье мы покажем вам несколько способов перехода от умножения и Основные деления до самых сложных методов.

Воспользуйтесь группировкой:y^4 + 4·-y³- – y²- – 8·-y – 2 = y^4 + 4·-y³- – 2·-y²- + y²- – 8·-y – 2 = (y^4 – 2·-y²-) + (4·-y³- – 8·-y) + y²- – 2 = (y²- - 2)*(y²- + 4·-y + 1).Общий множитель элементов этого многочлена (y²- - 2).

Материалы по теме:

Карта сайта