Сколько градусов углы у ромба. Геометрические фигуры. Ромб. Углы ромба. Как найти угол ромба

AB \parallel CD,\;BC \parallel AD

AB = CD,\;BC = AD

2. Диагонали ромба перпендикулярны.

AC\perp BD

Доказательство

Так как ромб является параллелограммом, то его диагонали делятся пополам.

Значит, \triangle BOC = \triangle DOC по трем сторонам (BO = OD , OC — совместная, BC = CD ). Получаем, что \angle BOC = \angle COD , и они смежны.

\Rightarrow \angle BOC = 90^{\circ} и \angle COD = 90^{\circ} .

3. Точка пересечения диагоналей делит их пополам.

AC=2\cdot AO=2\cdot CO

BD=2\cdot BO=2\cdot DO

4. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

\angle 1 = \angle 2; \; \angle 5 = \angle 6 ;

\angle 3 = \angle 4; \; \angle 7 = \angle 8 .

Доказательство

По причине того, что диагонали разделены точкой пересечения пополам, и все стороны ромба равны друг другу, то вся фигура делится диагоналями на 4 равных треугольника:

\triangle BOC, \; \triangle BOA, \; \triangle AOD, \; \triangle COD .

Это значит, что BD , AC — биссектрисы.

5. Диагонали образуют из ромба 4 прямоугольных треугольника.

6. Любой ромб может содержать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей.

7. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату одной из сторон ромба умноженному на четыре

AC^2 + BD^2 = 4\cdot AB^2

Признаки ромба

1. Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом.

\begin{cases} AC \perp BD \\ ABCD \end{cases} — параллелограмм, \Rightarrow ABCD — ромб.

Доказательство

ABCD является параллелограммом \Rightarrow AO = CO ; BO = OD . Также указано, что AC \perp BD \Rightarrow \triangle AOB = \triangle BOC = \triangle COD = \triangle AOD - по 2-м катетам.

Получается, что AB = BC = CD = AD .

Доказано!

2. Когда в параллелограмме хотя бы одна из диагоналей разделяет оба угла (через которые она проходит) пополам, то этой фигурой будет ромб.

Доказательство

На заметку: не каждая фигура (четырехугольник) с перпендикулярными диагоналями будет ромбом.

К примеру:

Это уже не ромб, не смотря на перпендикулярность диагоналей.

Для отличия стоит запомнить, что сначала четырехугольник должен быть параллелограммом и иметь

Инструкция

В условиях задачи может быть указан меньший угол. Вспомните, чему равна сумма углов, прилежащих к одной стороне. Она у любого ромба составляет 180°. То есть вам достаточно из 180° вычесть размер известного угла. Начертите ромб. Обозначьте больший угол как α, а меньший – как β. Формула в этом случае будет выглядеть как α=180°-β.

В задаче могут быть указаны также размер стороны и длина одной из диагоналей. В этом случае нужно вспомнить свойства диагоналей ромба. В точке пересечения они делятся пополам. Диагонали перпендикулярны друг другу, то есть при решении задачи можно будет использовать свойства прямоугольных треугольников. Еще одна важная деталь каждая из диагоналей одновременно является и биссектрисой угла.

Для наглядности сделайте чертеж. Начертите ромб ABCD. Проведите в нем диагонали d1 и d2. Допустим, известная вам диагональ d1 соединяет меньшие углы. Обозначьте точку их пересечения как О, большие углы ABC и CDA– как α, а меньшие – как β. Каждый из углов делится диагональю пополам. Рассмотрите прямоугольный треугольник АОВ. Вам известны стороны АВ и ОА, равная половине диагонали d1. Они представляют собой гипотенузу и катет противолежащего угла.

Вычислите синус угла АВО. Он равен отношению катета ОА к гипотенузе АВ, то есть sinАВО= ОА/АВ. По таблице синусов найдите размер угла. Вспомните, что он равен половине большего угла ромба. Соответственно, для определения искомого полученный размер умножьте на 2.

Если в условиях дан размер диагонали d2, соединяющей большие углы, способ решения будет аналогичен предыдущему, только вместо синуса используется косинус – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

В условиях могут быть заданы только размеры диагоналей. В этом случае тоже понадобится чертеж, но, в отличие от предыдущих задач, он может быть точным. Проведите диагональ d1. Разделите ее пополам. К точке пересечения проведите диагональ d2 так, чтобы она тоже делилась на две равные части. Концы отрезков соедините по периметру. Обозначьте ромб как ABCD, точку пересечения диагоналей – как О.

Сторону ромба в данном случае вам вычислять не нужно. У вас образовался прямоугольный треугольник АОВ, у которого вам известны два катета. Отношение противолежащего катета к прилежащему называется тангенсом. Чтобы найти tgАВО, разделите ОА на ОВ. Найдите в таблице тангенсов нужное значение угла, а затем умножьте его на два.

Некоторые компьютерные программы позволяют не только вычислить больший угол ромба по заданным параметрам, но и сразу же начертить эту геометрическую фигуру. Это можно сделать, например, в программе AutoCAD. В этом случае таблицы синусов и тангенсов, конечно же, не нужны.

Ромб - геометрическая фигура, которая состоит из равных и параллельных друг другу четырех сторон. Чтобы получить диагональ ромба, необходимо соединить противоположные вершины данной геометрической фигуры. Диагонали его пересекаются под прямым углом, создавая таким образом четыре прямоугольных треугольника в середине ромба.

Графическая составляющая задачи

Для того чтобы понять, как найти диагональ ромба, в первую очередь стоит представить его графический рисунок. Также для наглядности необходимо проименовать вершины ромба буквами А, В, С и D, точку пересечения диагоналей - буквой О, она будет являться центром ромба.

Углы DАВ и DСВ равняются друг другу, поэтому для удобства их можно именовать α; а - длина ребра ромба.

Вычисляем короткую диагональ ромба

Сначала лучше найти длину меньшей диагонали ромба. Треугольник СОD является прямоугольным. Это означает, что один угол у него составляет 90º, а сам треугольник состоит из двух катетов и гипотенузы. СО и ОD - катеты треугольника, СD - гипотенуза, угол DОС равняется 90 º.

Диагональ ромба равняется биссектрисе его углов, из этого следует, что угол ОСD = α/2.

Следуйте формуле ОD = 1/2ВD = СD* sin (α/2). Можно сделать вывод о том, что ВD = 2а* sin (α/2).

Вычисляем большую диагональ ромба

Чтобы найти большую диагональ ромба, необходимо выполнить аналогичные действия и учесть, что формула немного иная: ОС = АС*(1/2) = СD*cos (α / 2).

Поэтому длина всей диагонали будет: АС = 2а*cos (α / 2).

Площадь ромба

Зная длину диагоналей ромба, очень легко можно найти его площадь. Чаще всего для этого и вычисляют длину диагоналей.

Площадь ромба условно обозначим буквой S. Формула площади: S = (АС * ВD)/2.

Во и найдено искомое значение - диагональ ромба, а кроме того, еще и площадь этой геометрической фигуры.

Нахождение:

1. Сумма 4-х внутренних углов ромба равняется 360°, точно так же как и у всякого четырехугольника. Противоположные углы ромба имеют одинаковую величину, причем, всегда в 1-ой паре равных углов — углы острые, во второй - тупые. 2 угла, которые прилегают к 1-ной стороне в сумме составляют развернутый угол .

Ромбы с равным размером стороны могут внешне довольно сильно отличаться друг от друга. Это разница объясняется различной величиной внутренних углов. То есть, для определения угла ромба не хватит знать лишь длину его стороны.

2. Для вычисления величины углов ромба хватит знать длины диагоналей ромба . После построения диагоналей ромб разбивается на 4 треугольника . Диагонали ромба располагаются под прямым углом, то есть, треугольники, которые образовались, оказываются прямоугольными.

Ромб — симметричная фигура, его диагонали есть в одно время и осями симметрии, вот почему каждый внутренний треугольник равен остальным. Острые углы треугольников, которые образованы диагоналями ромба, равняются ½ искомых углов ромба.