Образовательный портал. Образование / Среднее образование и школа / Как доказать что параллелограмм прямоугольник. Как доказать, что параллелограмм - прямоугольник

Как доказать что параллелограмм прямоугольник. Как доказать, что параллелограмм - прямоугольник

01.03.2019

Четырехугольник - это фигура, состоящая из четырех точек, которые последовательно соединены четырьмя отрезками. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Данные точки называются вершинами четырехугольника, а соединяющие их отрезки - сторонами четырехугольника.

Однако параллелограммы имеют еще одно опрятное свойство: вы можете получить две конгруэнтные формы, рисуя диагональную линию между любым из двух противоположных углов в параллелограмме. Например, два треугольника, образованные путем рисования пунктирной линии в этом параллелограмме, являются конгруэнтными формами.

Четырехугольник представляет собой замкнутую форму, состоящую из четырех сегментов прямой линии. Внутренние углы четырехугольника складываются до \\ °. Параллелограмм представляет собой четырехугольник с параллельными парами противоположных сторон. \\ является параллелограммом с \\ и \\.

Параллелограмм.

Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны (рис.1).

Теорема:

Свойства параллелограмма:

Прямоугольник.

Прямоугольник - это параллелограмм, у которого все углы прямые (рис.2.1).

Подключите \\ к форме \\ и \\

\\ и и \\. . Перерисовать диаграмму и нарисовать линию \\.

Используйте свойства параллельных линий для указания всех равных углов на диаграмме

На вашей диаграмме отметьте все равные углы. Докажите \\. В и \\. \\ Противоположные стороны параллелограмма имеют одинаковую длину.

Найдите связь между \\ и \\

Мы уже показали \\ и \\. Поэтому противоположные углы параллелограмма равны. Сводка свойств параллелограмма.

Докажите, что если обе пары противоположных углов в четырехугольника равны, четырехугольник является параллелограммом.

Но они являются внутренними углами между прямыми \\ и \\.

Свойства прямоугольника:

1) Стороны прямоугольника являются одновременно его высотами (рис.2.2).

2) Диагонали прямоугольника равны (рис.2.3).

3) Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам (рис.2.3).

3) Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его смежных сторон (по теореме Пифагора, рис.2.4):

Доказательство четырехугольника - параллелограмм

По аналогии \\. Это углы между внутренностями между прямыми \\ и \\. Обе пары противоположных сторон четырехугольника параллельны, поэтому \\ является параллелограммом. Докажите, что если обе пары противоположных сторон четырехугольника равны, то четырехугольник является параллелограммом. Докажите, что если диагонали четырехугольника делят пополам друг друга, то четырехугольник является параллелограммом. Докажите, что если одна пара противоположных сторон четырехугольника одинакова и параллельна, то четырехугольник является параллелограммом. Четырехугольник является параллелограммом, если.

c 2 = a 2 + b 2

4) Около любого прямоугольника можно описать окружность, причем диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности (радиус равен полудиагонали).

Ромб.

Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны (рис.3.1).

Обе пары противоположных сторон параллельны.
Обе пары противоположных сторон равны.
Обе пары противоположных углов равны.
Одна пара противоположных сторон одинакова и параллельна.

\\ является параллелограммом. \\ а также \\. \\ а также \\.

Найдите по причинам, еще два угла равны \\.

Докажите, что диагонали параллелограмма \\ делят друг друга в \\.

Первое число каждого угла на данной диаграмме.

Следовательно \\. Теперь мы знаем, что \\ и, следовательно, \\ является серединой точки \\. Аналогично, в \\ и \\. Поэтому диагонали параллелограмма делят друг друга пополам.

Свойства ромба:

Квадрат.

Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны (рис.4.1).

Другое определение:

Квадрат - это ромб, у которого все углы прямые.

Квадрат обладает свойствами прямоугольника и ромба.

Прямоугольник представляет собой параллелограмм, который имеет все четыре угла, равные \\. Прямоугольник имеет все свойства параллелограмма.

Обе пары противоположных сторон равны по длине.
Обе диагонали делят друг друга пополам.

Он также обладает следующим специальным свойством.

Специальное свойство прямоугольника

Докажите, что диагонали имеют одинаковую длину.

Используйте определение прямоугольника для заполнения на диаграмме всех равных углов и сторон

Диагонали прямоугольника имеют одинаковую длину. Сводка свойств прямоугольника.

Обе пары противоположных сторон имеют одинаковую длину.
Все внутренние углы равны \\.

Диагонали \\ и \\ пересекаются в \\. \\, \\, \\.

Свойства квадрата:

Трапеция.

Трапеция - это четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны (рис.5).

Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми сторонами.

Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой или равнобедренной .

Специальные свойства ромба

Ромб - параллелограмм со всеми четырьмя сторонами равной длины. Ромб имеет все свойства параллелограмма. Он также имеет два специальных свойства. Диагонали делятся пополам друг друга перпендикулярно; диагонали делят пополам внутренние углы.

Используйте определение ромба для заполнения на диаграмме всех равных углов и сторон

Мы можем заключить далее, что \\.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

Высотой трапеции называется отрезок, соединяющий основания под прямым углом.

Общие свойства трапеции:

1) Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Поэтому диагоналы делят друг друга перпендикулярно друг другу. Использовать свойства конгруэнтных треугольников для доказательства диагоналей, разделяющих внутренние углы. Поэтому диагональ \\ бисекция \\. Аналогично, мы можем показать, что \\ также делит пополам \\; и что диагональ \\ бисекция \\ и \\.

Мы заключаем, что диагонали ромба делят пополам внутренние углы. Чтобы доказать параллелограмм, это ромб, нам нужно показать любое из следующего.

Диагонали пересекаются под прямым углом.
Диагонали разделяют внутренние углы.

Резюме свойств ромба. Диагонали делятся пополам друг с другом при \\.

Все стороны равны по длине. . Квадрат представляет собой ромб со всеми четырьмя внутренними углами, равными \\.

2) Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований.

3) Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на два отрезка, меньший из которых равен полуразности оснований, а больший - полусумме оснований.

4) У равнобокой трапеции углы при основании равны.

5) В трапецию можно вписать окружность только в том случае, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон.

Квадрат представляет собой прямоугольник со всеми четырьмя сторонами, равными по длине. Квадрат обладает всеми свойствами ромба. Диагонали делятся пополам друг с другом в \\ Диагоналы делят пополам обе пары противоположных углов. Он также обладает следующими специальными свойствами.

Диагонали равны по длине. . Чтобы доказать параллелограмм, это квадрат, нам нужно показать либо одно из следующего. Трапеция представляет собой четырехугольник с одной парой противоположных сторон. На британском английском трапеция используется для обозначения четырехугольника с одной парой противоположных сторон, параллельной, в то время как на американском английском трапеция представляет собой четырехугольник, не имеющий пары противоположных сторон. В этой книге мы будем использовать британское определение трапеции.

6) Радиус вписанной окружности равен квадратному корню отрезков боковой стороны, на которые делит эту сторону вписанная окружность точкой касания:

r = √a 1 a 2

7) Высота описанной трапеции равна диаметру вписанной окружности.

8) Диагонали трапеции разбивают ее на четыре треугольника, причем треугольники, прилежащие к основаниям, подобны, а треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики.

На британском английском трапеция используется для обозначения четырехугольника без пар противоположных сторон, параллельных, в то время как на американском английском трапеция представляет собой четырехугольник с одной парой противоположных сторон. Трапеция иногда называется трапецией.

Ниже приведены некоторые примеры трапеций.

Кайт представляет собой четырехугольник с равными двумя парами смежных сторон. \\ - змей с \\ и \\.

Поэтому одна пара противоположных углов равна в кайте \\. Поэтому диагональ \\ бисекция \\ и \\. Мы заключаем, что диагональ между равными сторонами кайта делит пополам два внутренних угла и является осью симметрии.

9) Свойство четырех точек: в трапеции точка пересечения диагоналей, точка пересечения продолжения боковых сторон, середины оснований трапеции лежат на одной линии.

10) Отрезок, разбивающий трапецию на две подобные трапеции, имеет длину, равную среднему геометрическому длин оснований.

11) Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Краткое описание свойств кайта.

Диагональ между равными сторонами делит пополам внутренние углы и является осью симметрии.

Диагональ между равными сторонами делит пополам другую диагональ.
Одна пара противоположных углов равна.
Диагонали пересекаются в \\.

Используйте эскиз четырехугольника \\, чтобы доказать, что диагонали кайта перпендикулярны друг другу.

Отношения между различными четырехугольными

Поэтому диагонали кайта перпендикулярны друг другу. Объясните, почему четырехугольник - это змей. Запишите все свойства четырехугольника \\.

Четырехугольник \\ является кайтом, потому что имеет две пары смежных сторон, которые равны по длине. Хизер нарисовала следующую диаграмму, чтобы проиллюстрировать ее понимание взаимоотношений между различными четырехугольниками. Следующая диаграмма суммирует различные типы специальных четырехугольников.

Свойства равнобедренной (равнобокой) трапеции:

1) Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на два отрезка, меньший из которых равен полуразности оснований, а больший - полусумме оснований.

2) Прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции.

Создайте свою собственную диаграмму, чтобы показать отношения между различными четырьмя сторонами и написать краткое описание вашего дизайна. Объясните ее возможные причины для структурирования диаграммы, как показано. . Для масштабирования используется следующая форма.

Затем мы спрашиваем себя, все ли внутренние углы 90 °. Все внутренние углы 90 °, и поэтому это должен быть квадрат или прямоугольник. Наконец, мы проверяем, равны ли все стороны по длине. На этом рисунке стороны не равны по длине, и поэтому это прямоугольник.

3) В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

4) В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

5) Только равнобедренную трапецию можно вписать в окружность.

6) Вписанная окружность делит боковые стороны равнобедренной трапеции на два отрезка, корень произведения которых равен радиусу вписанной окружности:

r = √ab

7) Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

8) Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Другие свойства трапеции:

Прямоугольник представляет собой частный случай параллелограмма. Любой прямоугольник является параллелограммом, но не каждый параллелограмм – прямоугольник. Доказать, что параллелограмм является прямоугольником, можно, используя признаки равенства треугольников.

Инструкция

Вспомните определение параллелограмма. Это четырехугольник, противоположные стороны которого равны и параллельны. Кроме того, сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. Этим же свойством обладает и прямоугольник, только он должен соответствовать еще одному условию. Углы, прилежащие к одной стороне, у него равны и составляют каждый 90°. То есть в любом случае вам нужно будет доказать именно то, что у заданной фигуры не только стороны параллельны и равны, но все углы являются прямыми.

Начертите параллелограмм АВСD. Разделите сторону АВ пополам и поставьте точку М. Соедините ее с вершинами углов С и D. Вам нужно доказать, что углы МАС и МВD равны. Сумма их, согласно определению параллелограмма, составляет 180°. Для начала же вам надо доказать равенство треугольников МАС и МВD, то есть что отрезки МС и MD равны между собой.

Сделайте еще одно построение. Разделите сторону СD пополам и поставьте точку N. Рассмотрите внимательно, из каких геометрических фигур состоит теперь исходный параллелограмм. Он составлен из двух параллелограммов AMND и MBCN. Его можно представить и состоящим из треугольников DMB, МАС и МВD. То, что AMND и MBCN являются одинаковыми параллелепипедами, можно доказать, исходя из свойств параллелепипеда. Отрезки АМ и МВ равны, отрезки NC и ND равны тоже и представляют они собой половинки противоположных сторон параллелепипеда, которые по определению одинаковы. Соответственно, линия MN будет равна сторонам AD и ВС и параллельна им. А значит, у этих одинаковых параллелепипедов диагонали будут равны, то есть отрезок MD равен отрезку MC.

Сравните треугольники МАС и МВD. Вспомните признаки равенства треугольников. Их три, и в данном случае удобнее всего доказывать равенство по трем сторонам. Стороны МА и МB одинаковы, поскольку точка М находится как раз на середине отрезка AB. Стороны АD и BC равны по определению параллелограмма. Равенство сторон MD и MC вы доказали в предыдущем шаге. То есть треугольники равны, а это значит, что равны и все их элементы, то есть угол МАD равен углу МВС. Но эти углы прилежат к одной стороне, то есть сумма их составляет 180°. Разделив это число пополам, вы получите размер каждого угла - 90°. То есть все углы данного параллелограмма являются прямыми, а это значит, что он представляет собой прямоугольник.

Материалы по теме:

Карта сайта