В равнобедренной трапеции длина боковой стороны. Как найти высоту трапеции: формулы на все случаи жизни. Принятые в формулах обозначения

На простой вопрос «Как найти высоту трапеции?» существует несколько ответов, и все потому, что могут быть даны разные исходные величины. Поэтому и формулы будут различаться.

Эти формулы можно запомнить, но они несложно выводятся. Нужно только применять ранее изученные теоремы.

Принятые в формулах обозначения

Во всех приведенных ниже математических записях верны такие прочтения букв.

В исходных данных: все стороны

Для того чтобы найти высоту трапеции в общем случае потребуется воспользоваться такой формулой:

н = √(с 2 - (((а - в) 2 + с 2 - d 2)/(2(а - в))) 2). Номер 1.

Не самая короткая, но и встречается в задачах достаточно редко. Обычно можно воспользоваться другими данными.

Формула, которая подскажет, как найти высоту равнобедренной трапеции в той же ситуации, гораздо короче:

н = √(с 2 - (а - в) 2 /4). Номер 2.

В задаче даны: боковые стороны и углы при нижнем основании

Принимают, что угол α прилежит к боковой стороне с обозначением «с», соответственно угол β к стороне d. Тогда формула для того, как найти высоту трапеции, в общем виде будет такой:

н = с * sin α= d * sin β. Номер 3.

Если фигура равнобедренная, то можно воспользоваться таким вариантом:

н = с * sin α= ((а - в) / 2) * tg α. Номер 4.

Известны: диагонали и углы между ними

Обычно к этим данным присоединяются еще известные величины. Например, основания или средняя линия. Если даны основания, то для ответа на вопрос, как найти высоту трапеции, пригодится такая формула:

н = (d 1 * d 2 * sin γ) / (а + в) или н = (d 1 * d 2 * sin δ) / (а + в). Номер 5.

Это для общего вида фигуры. Если дана равнобедренная, то запись преобразится так:

н = (d 1 2 * sin γ) / (а + в) или н = (d 1 2 * sin δ) / (а + в). Номер 6.

Когда в задаче идет речь о средней линии трапеции, то формулы для поиска ее высоты становятся такими:

н = (d 1 * d 2 * sin γ) / 2m или н = (d 1 * d 2 * sin δ) / 2m. Номер 5а.

н = (d 1 2 * sin γ) / 2m или н = (d 1 2 * sin δ) / 2m. Номер 6а.

Среди известных величин: площадь с основаниями или средней линией

Это, пожалуй, самые короткие и простые формулы того, как найти высоту трапеции. Для произвольной фигуры она будет такой:

н = 2S / (а + в). Номер 7.

Она же, но с известной средней линией:

н = S / m. Номер 7а.

Как ни странно, но для равнобедренной трапеции формулы будут выглядеть так же.

Задачи

№1. На определение углов при нижнем основании трапеции.

Условие. Дана равнобедренная трапеция, боковая сторона которой 5 см. Ее основания равны 6 и 12 см. Требуется найти синус острого угла.

Решение. Для удобства следует ввести обозначение. Пусть левая нижняя вершина будет А, все остальные по часовой стрелке: В, С, Д. Таким образом, нижнее основание будет обозначено АД, верхнее — ВС.

Нужно провести высоты из вершин В и С. Точки, которые укажут концы высот будут обозначены Н 1 и Н 2 , соответственно. Поскольку в фигуре ВСН 1 Н 2 все углы прямые, то она является прямоугольником. Это означает, что отрезок Н 1 Н 2 равен 6 см.

Теперь нужно рассмотреть два треугольника. Они равны, так как являются прямоугольными с одинаковыми гипотенузами и вертикальными катетами. Отсюда следует, что и меньшие катеты у них равны. Поэтому их можно определить как частное от разности. Последняя получится от вычитания из нижнего основания верхнего. Делиться оно будет на 2. То есть 12 - 6 нужно поделить на 2. АН 1 = Н 2 Д = 3 (см).

Теперь из теоремы Пифагора нужно найти высоту трапеции. Она необходима для нахождения синуса угла. ВН 1 = √(5 2 - 3 2) = 4 (см).

Воспользовавшись знанием о том, как находится синус острого угла в треугольнике с прямым углом, можно записать такое выражение: sin α= ВН 1 / АВ = 0,8.

Ответ. Искомый синус равен 0,8.

№2. На нахождение высоты трапеции по известному тангенсу.

Условие. У равнобедренной трапеции нужно вычислить высоту. Известно, что ее основания равны 15 и 28 см. Дан тангенс острого угла: 11/13.

Решение. Обозначение вершин такое же, как в предыдущей задаче. Снова нужно провести две высоты из верхних углов. По аналогии с решением первой задачи нужно найти АН 1 = Н 2 Д, которые определятся как разность 28 и 15, деленная на два. После подсчетов получается: 6,5 см.

Поскольку тангенс — это отношение двух катетов, то можно записать такое равенство: tg α= АН 1 / ВН 1 . Причем это отношение равно 11/13 (по условию). Так как АН 1 известен, то можно вычислить высоту: ВН 1 = (11 * 6,5) / 13. Простые расчеты дают результат в 5,5 см.

Ответ. Искомая высота равна 5,5 см.

№3. На вычисление высоты по известным диагоналям.

Условие. О трапеции известно, что ее диагонали равны 13 и 3 см. Нужно узнать ее высоту, если сумма оснований составляет 14 см.

Решение. Пусть обозначение фигуры будет таким же, как раньше. Предположим, что АС — меньшая диагональ. Из вершины С нужно провести искомую высоту и обозначить ее СН.

Теперь потребуется выполнить дополнительное построение. Из угла С нужно провести прямую, параллельную большей диагонали и найти точку ее пересечения с продолжением стороны АД. Это будет Д 1 . Получилась новая трапеция, внутри которой начерчен треугольник АСД 1 . Он-то и нужен для дальнейшего решения задачи.

Искомая высота окажется еще и ей же в треугольнике. Поэтому можно воспользоваться формулами, изученными в другой теме. Высота треугольника определяется как произведение числа 2 и площади, деленное на сторону, к которой она проведена. А сторона оказывается равна сумме оснований исходной трапеции. Это исходит из правила, по которому выполнено дополнительное построение.

В рассматриваемом треугольнике все стороны известны. Для удобства введем обозначения х = 3 см, у = 13 см, z = 14 см.

Теперь можно сосчитать площадь, воспользовавшись теоремой Герона. Полупериметр будет равен р = (х + у + z)/ 2 = (3 + 13 + 14) / 2 = 15 (см). Тогда формула для площади после подстановки значений будет выглядеть так: S = √(15 * (15 - 3) * (15 - 13) * (15 - 14)) = 6 √10 (см 2).

Ответ. Высота равна 6√10 / 7 см.

№4. Для поиска высоты по сторонам.

Условие. Дана трапеция, три стороны которой равны 10 см, а четвертая 24 см. Нужно узнать ее высоту.

Решение. Поскольку фигура равнобедренная, то потребуется формула под номером 2. В нее нужно просто подставить все значения и сосчитать. Это будет выглядеть так:

н = √(10 2 - (10 - 24) 2 /4) = √51 (см).

Ответ. н = √51 см.

Применение геометрии на практике, особенно в строительстве очевидно. Трапеция одна из наиболее часто встречающихся геометрических фигур, точность расчета элементов которой - залог красоты строящегося объекта.

Вам понадобится

калькулятор

Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Как найти высоту равнобедренной трапеции" Как найти высоту в трапеции, если известны все стороны Как найти высоту трапеции, если известны диагонали Как найти площадь осевого сечения усеченного конуса

Инструкция

Трапеция представляет собой четырехугольник, две стороны которого параллельны - основания, а две другие не параллельны – боковые стороны. Трапеция, боковые стороны которой равны, называется равнобедренной или равнобочной. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований, мы рассмотрим случай, когда диагонали не перпендикулярны.

Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD и опишем ее свойства, но лишь те из них, знание которых поможет нам решить поставленную задачу. Из определения равнобедренной трапеции основание AD = a параллельно BC = b, а боковая сторона AB = CD = c из этого следует, что углы при основаниях равны, то есть угол BAQ = CDS = ?, таким же образом угол ABC = BCD = ?. Обобщив вышесказанное, справедливо утверждать, что треугольник ABQ равен треугольнику SCD, а значит, отрезок AQ = SD = (AD – BC)/2 = (a – b)/2.

Если в условии задачи нам даны длины оснований a и b, а также длина боковой стороны с, то высота трапеции h, равная отрезку BQ, находится следующим образом. Рассмотрим треугольник ABQ, так как по определению высота трапеции есть перпендикуляр к основанию, то можно утверждать, что треугольник ABQ прямоугольный. Сторона AQ треугольника ABQ, исходя из свойств равнобедренной трапеции, находится по формуле AQ = (a – b)/2. Теперь зная две стороны AQ и c, по теореме Пифагора находим высоту h. Теорема Пифагора гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Запишем эту теорему применительно к нашей задаче: c^2=AQ^2+ h^2. Отсюда следует, что h = v(c^2-AQ^2).

Для примера рассмотрим трапецию ABCD, в которой основания AD = a = 10см BC = b = 4см, боковая сторона AB = c = 12см. Найти высоту трапеции h. Находим сторону AQ треугольника ABQ. AQ = (a – b)/2 = (10-4)/2=3см. Далее подставляем значения сторон треугольника в теорему Пифагора. h = v(c^2-AQ^2) = v(12^2-3^2) =v135=11.6см.

Другие новости по теме:

Трапеция представляет собой четырехугольник с двумя параллельными сторонами. Эти стороны называются основаниями. Их конечные точки соединены отрезками, которые называются боковыми сторонами. У равнобедренной трапеции боковые стороны равны. Вам понадобится - равнобедренная трапеция; - длины

Трапеция - геометрическая фигура с четырьмя углами, две стороны которой параллельны друг другу и называются основаниями, а две другие - не параллельны и называются боковыми. Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Как найти сторону трапеции, если известно основание" Как найти площадь

Четырехугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна, называют трапецией. В трапеции определяют основания, стороны, диагонали, высоту, среднюю линию. Зная различные элементы трапеции, можно найти ее площадь. Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Как узнать площадь трапеции" Как

Трапеция, в которой длины боковых сторон равны, а основания параллельны, называется равнобедренной или равнобокой. Обе диагонали в такой геометрической фигуре имеют одинаковую длину, которую в зависимости от известных параметров трапеции можно рассчитать разными способами. Спонсор размещения P&G

Равнобедренная трапеция - это трапеция, у которой противолежащие непараллельные стороны равны. Ряд формул позволяют найти площадь трапеции через ее стороны, углы, высоту и.т.д. Для случая равнобедренных трапеций эти формулы могут несколько упрощаться. Вам понадобится Формулы для площади обычной

Трапеция представляет собой четырехугольник, у которого пара сторон параллельна между собой. Эти стороны являются основаниями трапеции. Диагональ - это отрезок, соединяющий пару противоположных вершин углов трапеции между собой. Зная ее длину, можно найти высоту трапеции. Вам понадобится

Трапеция - это двухмерная геометрическая фигура, имеющая четыре вершины и лишь две параллельные стороны. Если длина двух ее непараллельных сторон одинакова, то трапеция называется равнобедренной или равнобокой. Границу такого многоугольника, составленную из его сторон, принято обозначать греческим