Образовательный портал. Образование / Среднее образование и школа / Диагональ ac и bd четыре. Что называется четырехугольником

Диагональ ac и bd четыре. Что называется четырехугольником

12.05.2019

Страница 1 из 2

§6. Контрольные вопросы
Вопрос 1. Какая фигура называется четырёхугольником?
Ответ. Четырёхугольником называется фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырёхугольника, а соединяющие их отрезки - сторонами четырёхугольника.

Мы переходим с параллелограммами. Это все основные четырехугольники, верно? Есть еще несколько семейств четырехугольников, которые на самом деле не вписываются ни в какую красивую коробку. У них нет хороших прямых углов квадратов и прямоугольников или равносторонних сторон ромби. У них даже нет параллельных сторон, подобных параллелограммам. Они выросли четырехугольники. В принципе, они спустились в анархию.

Ну, может быть, это не так уж плохо. Они не сумасшедшие, но они, конечно же, не играют по тем же правилам, что и квадраты и параллелограммы. Воздушные змеи - это свободные гонщики, одинокие волки, которые делают все, что хотят, когда захотят. Кайт формируется так же, как и то, что приходит на ум, когда вы слышите слово «кайт». Возможно, у него не было линии с яркими луками, прикрепленными к флаеру на земле, но у этого есть знакомая форма летания в ветре.

Вопрос 2. Какие вершины четырёхугольника называются соседними, какие - противолежащими?
Ответ. Вершины четырёхугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон. Вершины, не являющиеся соседними, называются противолежащими.

Вопрос 3. Что такое диагонали четырёхугольника?
Ответ. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины четырёхугольника, называются диагоналями.
У четырёхугольника на рисунке 117 диагоналями являются отрезки AC и BD.

Что делает кайт отличным от остальной части четырехстороннего королевства? Кайт - это тип четырехугольника с двумя парами последовательных конгруэнтных сторон. Обратите внимание, что мы больше не находимся в Стране параллелограмм, поэтому эти последовательные конгруэнтные стороны не означают, что все стороны конгруэнтны.

А как насчет двух других углов? Если вы знаете, углы, соединяющие две неконгруэнтные стороны в кайте, являются конгруэнтными. Они не должны быть симметричными относительно другой диагонали. Из-за этого особого типа свойства с диагоналями каждая из диагоналей получает свое собственное имя. Мы будем называть их главной диагональю и диагональю поперек.

Вопрос 4. Какие стороны четырёхугольника называются соседними? Какие называются противолежащими?
Ответ. Стороны четырёхугольника, исходящие из одной вершины, называются соседними сторонами. Стороны, не имеющие общего конца, называются противолежащими сторонами.
У четырёхугольника на рисунке 117 противолежащими являются стороны AB и CD, BC и AD.

Основная диагональ - это большая из двух диагоналей. Это диагональ, которая также является линией симметрии кайта. Диагональ поперечника - это меньшая из двух диагоналей, и она не обязательно связана с какой-либо симметрией. Но эти диагонали могут делать больше, чем петь убийственный дуэт «Я получил тебя, детка». У них действительно есть некоторые довольно элегантные свойства.

Например, диагонали кайта всегда перпендикулярны. Таким образом, даже с их свободными духами и отсутствием порядка, просто невозможно избежать этих прямых углов. Так как основная диагональ - это линия симметрии, поперечная диагональ должна быть разрезана пополам по главной диагонали. Другими словами, главная диагональ - это перпендикулярная биссектриса поперечной диагонали. Конечно, то, где различаются геометрия и знаменитости: Шер не разрезал Сонни пополам, несмотря на то, что любая теория заговора может потребовать.

Вопрос 5. Как обозначается четырёхугольник?
Ответ. Четырёхугольник обозначается указанием его вершин. Например, четырёхугольник на рисунке 117 обозначается так: ABCD. В обозначении четырёхугольника рядом стоящие вершины должны быть соседними. Четырёхугольник ABCD на рисунке 117 можно также обозначить BCDA или DCBA. Но нельзя обозначить ABDC (B и D - не соседние вершины).

Докажите, что главной диагонали змея является перпендикулярная биссектриса поперечной диагонали кайта. Седло, потому что это доказательство может быть немного утомительным. Разумеется, все еще доходит до сути того, что практически все четырехуровневые доказательства: найти много конгруэнтных треугольников.

Если вы до сих пор не догадались об этом, там больше главной диагонали, чем перпендикулярной биссектрисы. Это также биссектриса внутренних углов с обоих концов. Имеет смысл только видеть, как главная диагональ - это линия симметрии, а два треугольника конгруэнтны. Были повсюду знаки, поэтому, надеюсь, вы видели, что кто-то идет.

Вопрос 6. Что такое параллелограмм?
Ответ. Параллелограмм - это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых (рис. 118).

Вопрос 7. Докажите, что если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то он является параллелограммом.
Ответ. Теорема 6.1. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник - параллелограмм.
Доказательство. Пусть ABCD - данный четырёхугольник и O - точка пересечения его диагоналей (рис. 119).
Треугольники AOD и COB равны. У них углы при вершине O равны как вертикальные, а OD = OB и OA = OC по условию теоремы.

Да, основная диагональ делит пополам поперечную диагональ, но поперечная диагональ обычно не делит пополам основную диагональ. Мы уверены, что вы опустошены, поэтому просто представьте, что вы находитесь в прекрасном солнечном дне. Это жарко и влажно, и вы решили побаловать себя мороженым. После оплаты вендора вы едите первые несколько ложки быстро.

Боль поднимается до глубины вашего мозга, и страх потребляет вас. Ваше восхитительное мороженое тает в жару, и у вас не хватает времени, чтобы дождаться, когда боль ослабеет. Вы бросаете мороженое и спешите, чтобы получить стакан воды, надеясь, что некоторое увлажнение уберет боль. Но как только вы вернитесь, вы видите четырехугольник, который ел ваше мороженое.

Рис. 119
Значит,углы OBC и ODA равны. А они являются внутренними накрест лежащими для прямых AD и BC и секущей BD. По признаку параллельности прямых прямые AD и BC параллельны. Так же доказывается параллельность прямых AB и CD с помощью равенства треугольников AOB и COD.
Так как противолежащие стороны четырёхугольника параллельны, то по определению этот четырёхугольник - параллелограмм. Теорема доказана.

Вопрос 8. Докажите, что диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Ответ. Теорема 6.2. (обратная теореме 6.1). Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Доказательство. Пусть ABCD - данный параллелограмм (рис. 120). Проведём его диагональ BD. Отметим на ней середину O и на продолжении отрезка AO отложим отрезок OC 1 , равный AO.

Рис. 120
По теореме 6.1 четырёхугольник ABC 1 D есть параллелограмм. Следовательно, прямая BC 1 параллельна AD. Но через точку B можно провести только одну прямую, параллельную AB. Значит, прямая BC 1 совпадает с прямой BC.
Точно так же доказывается, что прямая DC 1 совпадает с прямой DC.
Значит, точка C 1 совпадает с точкой C. Параллелограмм ABCD совпадает с ABC 1 D. Поэтому его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Теорема доказана.

Вопрос 9. Докажите, что у параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.
Ответ. Теорема 6.3. У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.
Доказательство. Пусть ABCD - данный параллелограмм (рис. 122). Проведём диагонали параллелограмма. Пусть O - точка их пересечения.
Равенство противолежащих сторон AB и CD следует из равенства треугольников AOB и COD. У них углы при вершине O равны как вертикальные, а OA = OC и OB = OD по свойству диагоналей параллелограмма. Точно так же из равенства треугольников AOD и COB следует равенство другой пары противолежащих сторон - AB и BC.

Рис. 122
Равенство противолежащих углов ABC и CDA следует из равенства треугольников ABC и CDA (по трём сторонам). У них AB = CD и BC = DA по доказанному, а сторона AC общая. Точно так же равенство противолежащих углов BCD и DAB следует из равенства треугольников BCD и DAB. Теорема доказана полностью.

Вопрос 10. Что такое прямоугольник?
Ответ. Прямоугольник - это параллелограмм, у которого все углы прямые (рис. 124).

Четырехугольник - это многоугольник, у которого четыре стороны и, соответственно, четыре вершины.

Как и все многоугольники, четырехугольник представляет собой замкнутую простую ломаную. Такая ломаная ограничивает внутреннюю область образованного ей многоугольника. Как известно, ломаная - это фигура, состоящая из последовательно соединенных своими концами отрезков, при этом соседние (смежные) отрезки не лежат на одной прямой. Ломаная замкнута, когда ее первый и последний отрезки соединены между собой свободными концами. Ломаная простая, если никакой ее отрезок не имеет общих точек с несмежным отрезком (т.е не пересекает его).

Также как многоугольники, четырехугольники бывают выпуклыми и невыпуклыми. У выпуклых многоугольников если любую сторону продлить до прямой, то весь многоугольник окажется по одну сторону от нее. У невыпуклых есть стороны лежащие на прямой, которая делит многоугольник на две части.

На рисунке слева изображен невыпуклый четырехугольник, а справа - выпуклый. Если стороны AB или BC первого четырехугольника продлить до прямых, то полученные прямые разделят плоскость на две части, в каждой из которых будет находиться часть четырехугольника. На рисунке показана такая прямая a, проходящая по стороне BC.

Диагоналями многоугольника называют отрезки соединяющие несмежные (несоседние) вершины. В четырехугольнике у каждой вершины есть две смежные и одна несмежная. Таким образом, существует две пары несмежных вершин. Несмежные вершины четырехугольника называют противоположными. Противоположными сторонами четырехугольника называют несмежные стороны.

Поскольку пар противоположных вершин в четырехугольнике две, то в нем можно провести только две диагонали. При этом у невыпуклого четырехугольника они не будут пересекаться, а у выпуклого будут.

Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются, а невыпуклого - нет. Каждая диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два треугольника. А пересекаясь, диагонали делят его на четыре треугольника. У невыпуклого четырехугольника одна диагональ делит его на два треугольника, а вторая - нет, т. к. она проходит за пределами внутренней области четырехугольника.

Известно, что каждый треугольник можно вписать в окружность и каждый треугольник можно описать около окружности. С четырехугольниками это не так. Вписать и описать четырехугольник можно лишь, если он обладает определенными признаками. При этом четырехугольник всегда должен быть выпуклым.

Выпуклый четырехугольник можно описать около окружности, если суммы его противоположных сторон равны. Например, на рисунке выше для правого четырехугольника, если AB + CD = BC + DA, то в этот четырехугольник можно вписать окружность. Если это не так, то нельзя.

Выпуклый четырехугольник можно вписать в окружность, если сумма его противоположных углов составляет 180º. В этом случае сумма второй пары противоположных углов также будет равна 180º, т. к. сумма всех углов четырехугольника равна 360º (это следует из того, что четырехугольник состоит из двух треугольников, а сумма углов каждого треугольника составляет 180º). Например, на рисунке выше для правого четырехугольника, если ∠A + ∠C = 180º или ∠B + ∠D = 180º, то его можно вписать в окружность.

Материалы по теме:

Карта сайта