Как определить среднюю линию. Средняя линия. Формулы площади трапеции

ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ.

§ 49. ТРАПЕЦИЯ.

Четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а другие две не параллельны, называется трапецией.

На чертеже 252 у четырёхугольника АВDС АВ || СD, AC || BD. АВDС - трапеция.

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями ; АВ и СD - основания трапеции. Остальные две стороны называются боковыми сторонами трапеции; АС и ВD - боковые стороны трапеции.

Если боковые стороны равны, то трапеция называется равнобедренной .

Трапеция АВОМ равнобедренная, так как АМ=ВО (черт. 253).

Трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна к основанию, называется прямоугольной (черт. 254).

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна каждому из ее оснований и равна их полусумме.

Дано: ОС - средняя линия трапеции АВDК, т. е. ОК = ОА и ВС = СD (черт. 255).

Надо доказать:

1) ОС || КD и ОС || АВ;
2)

Доказательство. Через точки А и С проведём прямую, пересекающую продолжение основания КD в некоторой точке Е.

В треугольниках АBС и DСЕ:
ВС = СD - по условию;
/ 1 = / 2, как вертикальные,
/ 4 = / 3, как внутренние накрест лежащие при параллельных АВ и KЕ и секущей ВD. Следовательно, /\ АBС = /\ DСЕ.

Отсюда АС = СЕ, т.е. ОС является средней линией треугольника КАЕ. Следовательно (§ 48):

1) ОС || КЕ и, значит, ОС || КD и ОС || AВ;
2) , но DЕ = АВ (из равенства треугольников АBС и DСЕ), поэтому отрезок DЕ можно заменить равным ему отрезком АВ. Тогда получим:

Теорема доказана.

Упражнения.

1. Доказать, что сумма внутренних углов трапеции, прилежащих к каждой боковой стороне, равна 2d .

2. Доказать, что углы при основании равнобедренной трапеции равны.

3. Доказать, что если углы при основании трапеции равны, то эта трапеция равнобедренная.

4. Доказать, что диагонали равнобедренной трапеции равны между собой.

5. Доказать, что если диагонали трапеции равны, то эта трапеция равнобедренная.

6. Доказать, что периметр фигуры, образованной отрезками, соединяющими середины сторон четырёхугольника, равен сумме диагоналей этого четырёхугольника.

7. Доказать, что прямая, проходящая через середину одной из боковых сторон трапеции параллельно её основаниям, делит другую боковую сторону трапеции пополам.

Первый признак

Если две стороны и угол двум сторонам и углу

Второй признак

Если

Третий признак

Две окружности являются концентрическими

Доказательство.

Пусть A 1 A 2... A n – данный выпуклый многоугольник, и n >

Параллелограмм

Параллелограммом

Свойства параллелограмма

• противолежащие стороны равны;
• противоположные углы равны;

d 1 2 +d 2 2 =2(a 2 +b 2).

Трапеция

Трапецией

основаниями, а непараллельные стороны - боковыми сторонами. средней линией.

Трапеция называется равнобедренной (или равнобокой

прямоугольной.

Свойства трапеции

Признаки трапеции

Прямоугольник

Прямоугольником

Свойства прямоугольника

• все свойства параллелограмма;
• диагонали равны.

Признаки прямоугольника

1. Один из его углов прямой.

2. Его диагонали равны.

Ромб

Ромбом

Свойства ромба

• все свойства параллелограмма;
• диагонали перпендикулярны;

Признаки ромба

Квадрат

Квадратом

Свойства квадрата

• все углы квадрата прямые;

Признаки квадрата

Признаки параллелограмма

Средней линией

Теорема.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Медиана

Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий верщину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника.

Формулы площади ромба

S = a 2 · sin α

Формулы площади трапеции

S = 1(a + b) · h

Формулы площади круга

Формула дуги окружности и ее длинны

L=2Пr L=Пr /180

Первый признак

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки.

Эта точка (О) называется центром окружности.

Расстояние (r) от точки окружности до ее центра называется радиусом окружности.

Радиусом называется также любой отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром.

Хорда - отрезок, соединяющий две точки окружности.

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром (d=2r).

Касательная - прямая (а), проходящая через точку (А) окружности перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку, называется.

При этом данная точка (А) окружности называется точкой касания.

Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.

Круговой сектор - часть круга, лежащая внутри соответствующего центрального угла.

Круговой сегмент - общая часть круга и полуплоскости, граница которой содержит хорду этого круга.

Две окружности являются концентрическими (то есть имеющими общий центр) в том и только в том случае, когда и

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Теорема 1: если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Теорема 2: если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Теорема 3: если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны:

Две прямые, параллельные третьей, параллельны.

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то соответствующие углы равны.

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Теорема о сумме углов выпуклого многоугольника

Для выпуклого n-угольника сумма углов равна 180°(n-2).

Доказательство.

Для доказательства теоремы о сумме углов выпуклого многоугольника воспользуемся уже доказанной теоремой о том, что сумма углов треугольника равна 180 градусам.

Пусть A 1 A 2... A n – данный выпуклый многоугольник, и n > 3. Проведем все диагонали многоугольника из вершины A 1. Они разбивают его на n – 2 треугольника: Δ A 1 A 2 A 3, Δ A 1 A 3 A 4, ... , Δ A 1 A n – 1 A n . Сумма углов многоугольника совпадает с суммой углов всех этих треугольников. Сумма углов каждого треугольника равна 180°, а число треугольников – (n – 2). Поэтому сумма углов выпуклого n -угольника A 1 A 2... A n равна 180° (n – 2).

Сумма углов в любом треугольнике равна 180°.

Доказательство. Рассмотрим треугольник ABC и проведем через вершину B прямую, параллельную AC (см рис). Имеем ÐKBM = ÐBAC, поскольку эти углы являются соответственными, образованными при пересечении параллельных CA и BM секущей AB. Равными являются также углы ACB и CBM, так как угол, вертикальный к ÐCBM, является соответственным для Ð ACB (здесь секущей является CB). Таким образом, Ð CAB + Ð ACB + Ð ABC = Ð MBK + ÐMBC + Ð ABC = 180°.

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы

Теорема. Внешний угол всякого треугольника больше каждого внутреннего угла треугольника, не смежного с ним.

Параллелограмм

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма

• противолежащие стороны равны;
• противоположные углы равны;
• диагонали точкой пересечения делятся пополам;
• сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;
• сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:

d 1 2 +d 2 2 =2(a 2 +b 2).

Трапеция

Трапецией называется четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие непараллельны.

Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а непараллельные стороны - боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией.

Трапеция называется равнобедренной (или равнобокой ), если ее боковые стороны равны.

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

Свойства трапеции

• ее средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме;
• если трапеция равнобокая, то ее диагонали равны и углы при основании равны;
• если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность;
• если сумма оснований равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.

Признаки трапеции

Четырехугольник является трапецией, если его параллельные стороны не равны

Прямоугольник

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольника

• все свойства параллелограмма;
• диагонали равны.

Признаки прямоугольника

Параллелограмм является прямоугольником, если:

1. Один из его углов прямой.

2. Его диагонали равны.

Ромб

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба

• все свойства параллелограмма;
• диагонали перпендикулярны;
• диагонали являются биссектрисами его углов.

Признаки ромба

1. Параллелограмм является ромбом, если:

2. Две его смежные стороны равны.

3. Его диагонали перпендикулярны.

4. Одна из диагоналей является биссектрисой его угла.

Квадрат

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата

• все углы квадрата прямые;
• диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Признаки квадрата

Прямоугольник является квадратом, если он обладает каким-нибудь признаком ромба.

Признаки параллелограмма

Четырехугольник является параллелограммом, если:

1. Две его противоположные стороны равны и параллельны.

2. Противоположные стороны попарно равны.

3. Противоположные углы попарно равны.

4. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий средины двух его сторон.

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединящий середины боковых сторон трапеции.

Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.

Геометрическим местом точек, обладающих определенным свойством, называется множество всех точек, которые обладают этим свойством.