Прямоугольная трапеция расчет сторон. Прямоугольная трапеция: все формулы и примеры задач. Какой формулой можно воспользоваться для расчета площади

.
Существует несколько способов нахождения боковых сторон. Так например, если в задаче дана вторая боковая сторона BA и угол ABH=60, то первую высоту найдите наиболее простым из способов, проведя высоту BH:
BH=AB*sinα
Поскольку BH=CD, то СD=AB*sinα=√3AB/2

Если, наоборот, дана сторона трапеции, обозначенная, как CD, а требуется найти ее же сторону AB, такая задача решается несколько иным образом. Так как BH=CD, и при этом, BH представляет собой катет треугольника ABH, можно сделать вывод, что сторона AB равна:
AB=BH/sinα=2BH/√3

Задачу можно решить и в том случае, если значения углов неизвестны, при условии, что даны два основания и боковая сторона AB. Однако, в этом случае можно найти только сторону CD, которая является высотой трапеции. Первоначально, зная значения оснований, найдите длину отрезка AH. Он равен разности большего и меньшего оснований, поскольку известно, что BH=CD:
AH=AD-BC
Затем, используя теорему Пифагора, найдите высоту BH, равную стороне CD:
BH=√AB^2-AH^2

Если у прямоугольной трапеции есть диагональ BD и угол 2α, как показано на рисунке 2, то сторону AB можно найти также по теореме Пифагора. Для этого, сначала вычислите длину основания AD:
AD=BD*cos2α
Затем найдите сторону AB следующим образом:
AB=√BD^2-AD^2
После этого докажите подобие треугольников ABD и BCD. Так как у этих треугольников одна общая сторона - диагональ, и при этом, два угла равны, как видно из рисунка, то эти фигуры подобны . На основании этого доказательства найдите вторую боковую сторону. Если известно верхнее основание и диагональ , то сторону найдите обычным образом с использованием стандартной теоремы косинусов:
c^2=а^2+b^2-2ab cos α, где а, b, с - стороны треугольника, α - угол между сторонами а и b.

Трапеция представляет собой обычный четырехугольник, обладающий добавочным свойством параллельности двух своих сторон, которые называются основаниями. Поэтому этот вопрос, во-первых, следует понимать с точки зрения отыскания боковых сторон. Во-вторых, для задания трапеции требуется не менее четырех параметров.

Инструкция

В данном конкретном случае самым общим ее заданием (не избыточным) следует считать условие: даны длины верхнего и нижнего оснований, а также вектор одной из диагоналей. Индексы координат (дабы написание формул не было похоже на умножение) будут выделены курсивом).Для графического изображения процесса решения постройте рисунок 1.

Пусть в представленной задаче рассматривается трапеция AВCD. В ней даны длины оснований ВC=b и АD=a, а также диагональ АС, заданная вектором p(px, py). Его длина (модуль) |p|=p=sqrt(((px)^2 +(py)^2). Так как вектор задается еще и углом наклона к оси (в задаче - 0X), то обозначьте его через ф (угол CAD и параллельный ему угол ACB). Далее необходимо применить известную со школьной программы теорему косинусов. При этом искомую величину (длины CD или АВ при составлении уравнения обозначьте через х).

Теперь рассмотрите треугольник ABC. Длина стороны АС равна модулю вектора |p|=p. BC=a. По теореме косинусов x^2=p^2+ a^2-2pacosф. х=AB=sqrt(p^2+ a^2-2pacosф).

Хотя квадратное уравнение и имеет два корня, в данном случае необходимо выбрать лишь те, где перед корнем из дискриминанта стоит знак плюс, при этом заведомо исключив отрицательные решения. Это обусловлено тем, что длина стороны трапеции должна быть заведомо положительной.

Итак, искомые решения в виде алгоритмов решения данной задачи получены. Чтобы представить числовое решение остается подставить данные из условия. При этом cosф вычисляется, как направляющий вектор (орт) вектора p=px/sqrt(px^2+py^2).

Обратите внимание

Конечно, возможны и другие исходные данные, например задание двух диагоналей и высоты трапеции. Но в любом случае вам потребуется информация о расстоянии между основаниями трапеции.

Источники:

• стороны трапеции формула

Математическая фигура с четырьмя углами называется трапецией, если пара противоположных ее сторон параллельна, а другая пара - нет. Параллельные стороны называют основаниями трапеции , две другие - боковыми. В прямоугольной трапеции один из углов при боковой стороне - прямой.

Инструкция

Задача 1.Найдите основания BC и AD прямоугольной трапеции , если известна длина диагонали AC = f; длина боковой стороны CD = c и угол при ней ADC = α.Решение:Рассмотрите прямоугольный треугольник CED. Известны гипотенуза c и угол между гипотенузой и катетом EDC. Найдите длины сторон CE и ED: по формуле угла CE = CD*sin(ADC); ED = CD*cos(ADC). Итак: CE = c*sinα; ED=c*cosα.

Рассмотрите прямоугольный треугольник ACE. Гипотенуза AC и катет CE вам известны, найдите сторону AE по правилу прямоугольного треугольника : сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Итак: AE(2) = AC(2) - CE(2) = f(2) - c*sinα. Вычислите квадратный корень из правой части равенства. Вы нашли верхнее основание прямоугольной трапеции .

Вообще, полезно рассматривать площадь трапеции как сумму площадей составляющих ее треугольников. Зачастую это является ключом к решению задачи.

Важные теоремы

Теоремы, которые могут понадобиться, если числовое значение угла между диагоналями не задано в явном виде:

1) Сумма всех углов треугольника равна 180°.

В общем случае, сумма всех углов выпуклого многоугольника равна 180° (n-2), где n - число сторон многоугольника (равное числу его углов).

2) Теорема синусов для треугольника со сторонами a, b и c:

a/sinA=b/sinB=c/sinC, где A, B, C - углы, лежащие напротив сторон a, b, c соответственно.

3) Теорема косинусов для треугольника со сторонами a, b и c:

c²=a²+b²-2 a b cosα, где α - угол треугольника, образованный сторонами a и b. Теорема косинусов имеет своим частным случаем знаменитую теорему Пифагора, т.к. cos90°=0.

Особые свойства трапеции - наличие прямого угла

Если дана прямоугольная трапеция (один из углов трапеции прямой), рассмотрите прямоугольные треугольники, находящиеся внутри трапеции. Вспомните, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его сторон, образующих прямой угол, т.к. sin90°=1.

Прямоугольная трапеция - имеет не только большое математическое, но и физическое распространение. Ведь все то, что дается в школьной программе, имеет смежное применение. Так, например, зная, чему равна площадь прямоугольной трапеции, можно легко найти путь тела при Как это сделать? Сейчас рассмотрим.

Площадь определенного рассчитывается по-разному. В нашем случае необходимо знать сумму двух оснований и высоту. Последней является одна из боковых сторон, лежащая при прямом угле. Итого, искомый результат рассчитывается следующим образом:

Безусловно, эта зависимость взята не с потолка. Возможно, что кто-то знает о средней линии, которую содержит как обычная, так и прямоугольная трапеция. Если ее обозначить буквой m, то значение можно найти так: m=(a+b)/2. Мысленно сдвиньте этот отрезок вниз. Получится что-то вроде длины известного прямоугольника. Именно на сведении к этой простейшей фигуре и строится первая приведенная зависимость. Вообще, формула площади прямоугольной трапеции предполагает возможность замены h (высоты) на длину стороны при угле в 90 градусов. Некоторые сразу должны понять, что это обосновывается равенством между этими величинами.

В начале мы уже упомянули о возможности применения значений фигуры в физике. В частности, школьникам должен быть хорошо известен принцип равноускоренного движения. Прямоугольная трапеция представляет собой случай, когда начальная скорость равна нулю, ускорение равно константе. Если поставленная задача требует подсчитать путь, пройденный в такой ситуации, то можно воспользоваться формулой для нахождения площади. Переменная "a" пусть будет обозначать все время пути. Сразу стоит сказать, что мы работаем в декартовой системе координат. Тогда "b" будет обозначать время, в течение которого была Соответственно, если до конца движения оно так и оставалось равноускоренным, то b=0. За h мы принимаем значение установившейся скорости. После подстановки значений вы получите путь, так как его можно посчитать по формуле S=V средняя * t. Теперь вы знаете, как вам может помочь прямоугольная трапеция.

Для решения задач следует знать лишь немного формул для рассматриваемой фигуры. Например, сумма углов при наклонной стороне равна 180 градусам. Диагональ относительно одной из сторон является гипотенузой с известными катетами. Помните, что далеко не в любой четырехугольник, тем более в прямоугольную трапецию, можно вписать окружность. В школьном курсе дается много определений, однако из них необходимо выловить главное. Например, то, что прямоугольная трапеция обладает всеми свойствами обычной, но и имеет некоторые дополнительные особенности. Предположим, что основание равно четырем, боковая сторона - трем, а диагональ, соединяющая их, - 5. По теореме Пифагора, 3*3+4*4=5*5. Из этого следует вывод, что перед нами прямоугольная трапеция.

Таким образом, вы познакомились еще с одной геометрической фигурой. Формулу нахождения ее площади необязательно заучивать, достаточно понять принцип расчета.