Образовательный портал. Образование / Среднее образование и школа / Вывод формулы площади трапеции доказательство. Урок по геометрии на тему "площадь трапеции"

Вывод формулы площади трапеции доказательство. Урок по геометрии на тему "площадь трапеции"

29.04.2019

Задачи к зачёту по теме «Площади».

НА « 3 »

1. Сторона треугольника равна 12 см, а высота, проведённая к ней, в три раза меньше высоты. Найдите площадь треугольника.

2.Один из катетов прямоугольного треугольника равен 12 см, а гипотенуза 13 см.

Найдите второй катет и площадь треугольника.

3. Диагонали ромба равны 16 и 12 см. Найдите его площадь и периметр.

При любом треугольнике, если равносторонние треугольники построены рядом с их сторонами, их центры образуют вершины равностороннего треугольника.

Это одна из самых красивых теорем в геометрии, хотя вполне возможно, что демонстрация связана с математиком Маскеронни, который также посвятил свою математическую работу Наполеону, и это, очарованное, сделало публикацию и немедленно перевести на французский язык.

Фелипе Анхелес, советник мексиканской генеральной и военной стратегии для Северной дивизии генерала Франциско Вилла, также был связан с математикой. Ангелы оставили некоторые трактаты, написанные об этом, и опубликовали несколько статей по баллистике и геометрии.

4.Сторона треугольника равна 5 см, а высота, проведённая к ней, в 2 раза больше стороны. Найдите площадь треугольника.

5.Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8 см. Найдите гипотенузу и площадь треугольника.

6.Найдите площадь и периметр ромба, если его диагонали равны 8 и 6 см.

7.Одна сторона параллелограмма равна 5,4 см и составляет 40% его площади. Найдите площадь параллелограмма.

Точно так же геометрия была одной из самых дорогих страстей Джеймса Абрама Гарфилда, в отличие от других американских президентов: верховная невежественная красота, которая скрыта в математической сфере, и влияет на вторжение и уничтожение слабых. Неизвестно, когда-либо поощрял Гарфилда изучать математику. Он, всегда верный своей привязанности, посвятил свои минуты утешения им. Геометрические фигуры дали большой покой в моменты напряженности или усталости. И судьба вознаградила его, он был выбран так, что, как некоторые, как любил говорить венгерский математик Поль Эрдеш, Бог дал бы ему доказательство одной из теорем его трансфинитной книги.

8.Стороны параллелограмма равны 5 см и 11 см. Найдите его площадь,

если один из его углов равен 30 градусов.

9.Сторона параллелограмма равна 21 см, а высота, проведённая к ней 15 см. Найдите площадь параллелограмма.

10. Сторона треугольника равна 18 см, а высота, проведённая к ней, в 3 раза меньше стороны. Найдите площадь треугольника.

Существуют сотни демонстраций теоремы Пифагора, которые, как известно, читаются следующим образом. Для каждого правильного треугольника сумма квадратов ног равна квадрату гипотенузы. Считается, что Пифагор продемонстрировал эту теорему, пожалуй, самую известную из математики, используя треугольные рассуждения. Греческое мастерство заключалось в том, что, в отличие от своих египетских, вавилонских или персидских современников, он и его ученики продемонстрировали это не для нескольких случаев, а для многих, но для всех возможных треугольников.

11.Одна из диагоналей параллелограмма является его высотой и равна 9см. Найдите стороны этого параллелограмма, если его площадь равна 108см 2 .

НА « 4 »

1.Смежные стороны параллелограмма равны 52 и 30 см, а острый угол равен 30 0 . Найдите площадь параллелограмма.

2 . Вычислите площадь трапеции АВС D с основаниями А D и ВС, если А D =24 см,

Это то, что делает теорему достоинством, которое она несет. Элементы Евклида провозглашают еще одну демонстрацию сложнее, чем у Пифагора, на которую философ Шопенгауэр никогда не переставал называть это демонстрацией мышеловки, поскольку это было слишком искусственно, хотя это, безусловно, правильно. Демонстрация президента Гарфилда является одной из самых известных и похвальных за ее оригинальность.

Соблюдайте следующую диаграмму. Гарфилд хорошо рассуждал в своей демонстрации. Приравниваем оба результата и упрощаем алгебраические выражения. . Таким образом, была завершена его демонстрация теоремы Пифагора. Но обратите внимание на простоту и экономичность, используемые в его рассуждениях, продуктах его крыс математического развлечения, как он это выражал. Давайте предположим немного, только с краткости, и попытаемся войти в разум генерала. Мы рискнем, как он мог задумать такое испытание. Для этого давайте вспомним одну из диаграмм, предложенную индусским математиком Бахшарой, чтобы проиллюстрировать теорему, из которой одно из наиболее известных доказательств найдено в современных текстах.

ВС=16 см, угол А=45 0 , угол D =90 0 .

3.В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АК и СЕ, СЕ=12 см,

4.Высота ВК, проведённая к стороне AD параллелограмма ABCD , делит эту сторону на два отрезка АК= 7см, KD =15 см. Найдите площадь параллелограмма, если угол А равен 45 0 .

5. Вычислите площадь трапеции АВСD с основаниями АD и ВС, если АD =27 см, ВС=13см, CD =10 см, угол D =30 0 .

Если нет, проанализируйте фигуру в два, а именно. Ну, две части, вытекающие из рисунка, похожи на трапецию, которую Гарфилд помог себе для своей знаменитой демонстрации. Можно сказать, что идея его математического доказательства очень проста. Но также и с достаточной справедливостью нужно ответить, что никто никогда не думал об этом раньше. Простые вещи только до тех пор, пока кто-то их не сделает. Очень немногие достигли математической славы благодаря такой «простой» демонстрации. Многие, однако, искали годы, чтобы экономика, друг красоты в математике, продемонстрировала теорему.

6.В треугольнике АВС угол А тупой, ВК и СD - высоты, ВК=12 см, АК= 9 см,

СD = 10 см. Найдите АD .

7.Сторона параллелограмма равна 17 см, а его площадь 187 см 2 . Найдите высоту, проведённую к данной стороне.

8.В прямоугольной трапеции боковые стороны равны 7см и 25см, а меньшее основание равно 2 см. Найдите площадь трапеции.

9.В прямоугольной трапеции основания равны 22см и 6см, а большая боковая сторона – 20см. Найдите площадь трапеции.

Набросок демонстрации президента Соединенных Штатов Джеймса Абрама Гарфилда, ясный и красивый, должен быть выгравирован в его могиле, поскольку Архимед попросил его для своего любимого геометрического открытия или Лудоффа, который точно вычислил несколько цифр числа π, задолго до появления компьютеров. Не всегда боги предоставляют такую привилегию, и камень должен засвидетельствовать, что это проблеск в мир славных и совершенных.

Содержание Трапеции Путешественника. Давайте сначала повторим основные функции. Сумма углов одной руки всегда равна 180 °. Сумма всех внутренних углов составляет 360 градусов.     = 360 °. Высота трапеции - это перпендикулярное расстояние параллельных сторон. Мы можем построить траншею бесконечно, но все они будут одинакового размера. До сих пор мы повторяли все на трапеции, называемой общей трапецией. Однако также была ссылка на сходство с равнобедренным треугольником, что относится к обозначению страниц.

10.В выпуклом четырёхугольнике АВСD диагонали перпендикулярны и равны 4 см и 11 см. Найдите его площадь.

11.Найдите площадь ромба со стороной 24 см и углом 120 градусов.

12.Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями AD и ВС , если AВ =12см, ВС =14см, AD =30см, ∠ В =150 0 .

НА « 5 »

Однако сходство может быть еще большим. Какой треугольник мы называем равнобедренными? Для того, кто имеет две стороны одинаковой длины, которые имеют одинаковые плечи. И этот случай может также произойти с трапецией. Равнобедренная трапеция не только имеет одинаковые руки, но и две пары углов на обеих основаниях. И когда мы находимся под углами, давайте вспомним еще один тип треугольника - треугольник с одним прямым внутренним углом, который мы называем прямоугольным. Даже трапеция может иметь один из внутренних углов.

В этом случае мы также называем его прямоугольной трапецией. И, как показано на рисунке, прямоугольная трапеция имеет прямые углы даже два. Окружность означает определение области, это граничная кривая планарной формации или ее длина. Содержание трапецеидального содержимого - это физическое количество, которое выражает размер области. Другие имена - это область, область, область. Содержание - мера двумерной части пространства.

1.В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АК и СЕ, СЕ=12 см,

ВЕ= 9 см, АК= 10 см. Найдите АС.

2.На стороне АD параллелограмма ABCD взята точка Е так, что АЕ=4 см, ЕD =5 см, ВЕ= 12см, BD =13 см. Найдите площадь параллелограмма.

3.Высота равностороннего треугольника равна 6 см. Найдите сумму расстояний от произвольной точки, взятой внутри этого треугольника, до его сторон.

4.В треугольнике АВС угол А тупой, ВК и СD - высоты, ВК=12 см, АК= 9 см,

СD = 10 см. Найдите АD .

5.В трапеции ABCD AD - большее основание, СК – высота, АВ= 5см. На отрезке АК взята точка Е так, что АЕ= 3 см, ЕК = 6 см, KD =1 см, ВЕ = 4 см. Найдите площадь трапеции.

6.Высота равностороннего треугольника равна 5 см. Найдите сумму расстояний от произвольной точки, взятой внутри этого треугольника, до его сторон.

7. Площадь прямоугольника равна 520 м 2 , а отношение его сторон равно

2: 5. Найдите периметр данного прямоугольника.

8.Диагональ АС прямоугольной трапеции ABCD перпендикулярна боковой стороне CD и составляет угол в 60° с основанием AD . Найдите площадь трапеции, если AD =24см.

9.Диагонали ромба относятся как 2:3, а их сумма равна 25 см. Найдите площадь ромба.

10.Площадь трапеции равна 320 см 2 , а высота трапеции равна 8 см. найдите основания трапеции, если длина одного из оснований составляет 60% длины другого.

11.Стороны параллелограмма равны 12см и 8см, а угол между высотами, проведенными из вершины тупого угла, равен 30°. Найдите площадь параллелограмма.

12.Середина М боковой стороны CD трапеции ABCD соединена отрезками с вершинами А и В . Докажите, что площадь треугольника АВМ в два раза меньше площади данной трапеции.

Геометрия. Дополнительные вопросы.

Многоуго́льник - это геометрическая фигура, представляющая собой замкнутую ломаную линию.

Многоугольник называется выпуклым,если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседие вершины.

Сумма внутренних углов n-угольника равна (n − 2)*180. (п. 39-40)

Параллелограмм - четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.

Свойства параллелограмма:

Противоположные стороны параллелограмма равны. -Противоположные углы параллелограмма равны. -Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Признаки параллелограмма: -Противоположные стороны попарно равны и параллельны.

Противоположные углы попарно равны.

Диагонали делятся в точке их пересечения пополам.

4.Треуго́льник (в евклидовом пространстве) - этогеометрическаяфигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на однойпрямой

Средняя линия треугольника - отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника.

Теорема :

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине. Дано: DE - средняя линия треугольника ABC. Доказательство. Проведем через точку D прямую, параллельную стороне АВ. По теореме Фалеса она пересекает отрезок АС в его середине, т. е. содержит среднюю линию DE. Значит, средняя линия DE параллельна стороне АВ (рис. 53). Проведем теперь среднюю линию DF. Она параллельна стороне АС. Четырехугольник AEDF - параллелограмм. По свойству параллелограмма ED = - AF, а так как AF = FB по теореме Фалеса, то ED = АВ. Теорема доказана.(п62)

5. Трапеция- это четырехугольник у которого две стороны параллельны, а другие нет.

Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой или равнобедренной .

Трапеция, имеющая прямыеуглы при боковой стороне, называетсяпрямоугольной .

Св-ва р/б трапеции :

Высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой - полуразности оснований.

В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

Если трапецию можно вписать в окружность, то она равнобедренная.

Около равнобедренной трапеции можно описатьокружность.

Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

6. Трапеция - это четырехугольник у которого две стороны параллельны, а другие нет.

Средняя линия фигур в планиметрии - отрезок, соединяющий середины двух сторон этой фигуры.

Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме. Пример.

7. Теорема Вариньона:

Середины сторон произвольного четырёхугольника - вершины параллелограмма

8. Прямоугольник- параллелограмм у которого все углы прямые.

Особое св-во:

Диогонали прямоугольника равны.

Признак:

Если в параллелограмме диагонали равны, то этот парралелограмм- прямоугольник.

9. Ромб – это параллелограмм у которого все стороны равны.

C в-во:

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, и делят его углы пополам.

Квадрат – это прямоугольник у которого все стороны равны .

10. Св-ва площадей мн-ков:

Теорема о площади прямоугольника.

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

11. Св-ва площадей мн-ков:

-Равные мн-ки имеют равные площади

-Если мн-ник составлен из нескольких мн-ков, то его полщадь будет равна сумме площадей этих мн-ков.

-Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Теорема о площади параллелограмма:

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Теорема о площади треугольника:

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Следствие 1:

Следствие 2:

Теорема о площади трапеции:

12. Следствие 1:

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Следствие 2:

Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

13. Теорема:

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Теорема:

Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

Теорема.

Если основания двух треугольников равны, то их площади относятся как высоты.

14. . Св-ва площадей мн-ков:

-Равные мн-ки имеют равные площади

-Если мн-ник составлен из нескольких мн-ков, то его полщадь будет равна сумме площадей этих мн-ков.

-Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Теорема:

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.

Геометрия. Основные вопросы.

15. Теорема Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Д-во:

Обратная теорема Пифагора:

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

16.

Дк-во:

Доказательство

Пусть ABC – данный треугольник. Дополним его до параллелограмма ABCD , как показано на рисунке.

Площадь параллелограмма равна сумме площадей треугольников ABC и CDA . Так как эти треугольники равны, то площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника ABC . Высота параллелограмма, соответствующая стороне CB , равна высоте треугольника, проведенной к стороне CB . Отсюда следует утверждение теоремы, и Теорема доказана.

17. Пропорциональные отрезки - отрезки, для длин которых выполняется пропорция .

Подобные треугольники - треугольники , у которых углы соответственно равны, и стороны одного пропорциональны

Первый признак подобия треугольников:

То есть ∆ABC ~ ∆A 1 B 1 C 1 <=> ∠ A= ∠ A 1 , ∠ B= ∠ B 1 .

Дк-во:

18. . Пропорциональные отрезки - отрезки, для длин которых выполняется пропорция .

Отношением отрезков AB и CD называется отношение их длин, то есть

Подобные треугольники - треугольники , у которых углы соответственно равны, и стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.

Второй признак подобия треугольников:

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

Дк-во:

Доказательство

Пусть у треугольников ABC и иДокажем, чтоПереведем треугольник A 1 B 1 C 1 гомотетией f с любым центром и коэффициентом k в треугольник A 2 B 2 C 2 . Δ A 2 B 2 C 2 = Δ ABC . Действительно, Треугольникии ABC равны по первому признаку равенства треугольников (теорема 4.1). По теореме 12.6 существует движение g , переводящее Δ A 2 B 2 C 2 в Δ ABC . Выполнив сначала гомотетию f , а затем движение g , получим подобие g ○ f , которое переводит Δ A 1 B 1 C 1 в Δ ABC . Следовательно, Теорема доказана.

19. . Пропорциональные отрезки - отрезки, для длин которых выполняется пропорция .

Отношением отрезков AB и CD называется отношение их длин, то есть

Третий признак подобия треугольников:

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Дк-во:

20. Подобные треугольники - треугольники , у которых углы соответственно равны, и стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.

Теорема об отношении площадей подобных треугольников:

Отношение площадей 2 подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Дк-во:

Пусть треугольники ABC и А 1 В 1 С 1 подобны, причем коэффициент подобия равен k O, обозначим буквами S и S 1 площади этих треугольников. Так как A=A 1 , то

S/S 1 = AB*AC/A 1 B 1 *A 1 C 1

(по тереме об отношении площадей треугольника). По формулам имеем: АВ/А 1 В 1 = k, AC/A 1 C 1 = k

поэтому

S/S 1 = k 2

Теорема доказана.

21 . Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий верщину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника.

Свойства медиан треугольника

-Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.

-Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.

-Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1 , считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника

22. Биссектриса угла - это луч с началом в вершине угла, делящий угол на две равные части

Теорема о биссектрисе угла:

Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон.

Обратная теорема:

Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

Следствие:

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Д-во:

1)Возьмем произвольную точку М на биссектрисе угла ВАС, проведем перпендикуляры MK и ML к прямым АВ и АС и докажем, что MK = ML . Рассмотрим прямоугольные треугольники АМК и AML . Они равны по гипотенузе и острому углу(АМ-общая гипотенуза, угол1=углу2 по условию). Следовательно MK = ML

2) Пусть точка М лежит внутри угла ВАС и равноудалена от его сторон АВ и АС. Докажем, что луч АМ- биссектриса угла ВАС. Проведем перпендикуляры МК и ML к прямым АВ и АС. Прямоугольные треугольники равны АМК и АМ L равны по гипотенузе и катету(АМ- общая гипотенуза, MK = ML по усовию). Следовательно, угол 1 = углу 2. Это и означает, то что луч АМ является биссектрисой угла ВАС. Теорема доказана.

Замечательная точка-

23. Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему.

Теорема:

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка

Обратная:

Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Дк-во:

Пусть прямая m - серединный перпендикуляр к отрезку АВБ точка О- середина этого отрезка.

1)Рассмотрим произвольную точку М прямой m и докажем, что АМ=ВМ. Если точка М совпадает с точкой О, то это равенство верно, так как О- середина отрезка АВ. Пусть М и О- различные точки. Прямоугольные треугольники ОАМ и ОВМ равны по двум катетам(ОА=ОВ, ОМ- общий катет), поэтому АМ=ВМ.

2) Рассмотри произвольную точку Р, равноудаленную от концов отрезка АВ, и докажем, что точка Р лежит на прямой m . Если Р- точка прямой АВ, то она совпадает с серединой О отрезка АВ и поэтому лежит на прямой m . Если же точка Р не лежит на прямой АВ, то треугольник АРВ равнобедренный, так как АР=ВР. Отрезок РО- медиана этого треугольника, а значит и высота. Следовательно: РО параллельно АВ, поэтому прямые ОР и m совпадают, т.е. Р- точка прямой m . Теорема доказана.

Замечательная точка- это точка пересечения биссектрис, высот и медиан.

24. Высота треугольника - перпендикуляр , проведённый из вершины треугольника к прямой , содержащей противоположную сторону

Теорема:

Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Дк-во:

Рассмотрим произвольный треугольник АВС и докажем, что прямые АА1, ВВ1 и СС1, содержащие его высоты, пересекаются в одной точке. Проведем через каждую вершину треугольника АВС прямую, параллельную противоположной стороне. Полчим треугольник А2В2С2. Точки А, В и С являются серединами сторон этого треугольника. Действительно, АВ=А2С и АВ=СВ2 как противоположные стороны параллелограммов АВА2С и АВСВ2, поэтому А2С =СВ2. Аналогично С2А=АВ2 и С2В=ВА2. Кроме того, как следует из построения, СС1перпендикулярноА2В2, АА1перпендикулярноВ2С2 и ВВ1перпендикулярноА2С2. Таким образом, прямые АА1, ВВ1 и СС1 являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника А2В2С2. Следовательно, они пересекаются в одной точке. Теорема доказана.

Замечательная точка- это точка пересечения биссектрис, высот и медиан.

Материалы по теме:

Карта сайта