Площадь прямоугольника: онлайн калькулятор, формулы, примеры решений

Задача на нахождение диагонали прямоугольника может быть сформулирована тремя разными способами. Рассмотрим подробнее каждый из них. Способы зависят от известных данных, итак как найти диагональ прямоугольника?

Если известны две его стороны

В случае, когда известны две стороны прямоугольника a и b, для нахождения диагонали необходимо воспользоваться теоремой Пифагора: a 2 +b 2 =c 2 , здесь a и b - катеты прямоугольного треугольника, с – гипотенуза прямоугольного треугольника. Когда в прямоугольнике прочерчена диагональ, он делится на два прямоугольных треугольника. Две стороны этого прямоугольного треугольника нам известны (a и b). То есть, чтобы найти диагональ прямоугольника, формула нужна следующая: c=√(a 2 +b 2), здесь с – длина диагонали прямоугольника.

По известной стороне и углу, между стороной и диагональю

Пусть известна сторона прямоугольника a и угол, который она образует с диагональю прямоугольника α. Для начала вспомним формулу косинуса: cos α = a/c,здесь с – диагональ прямоугольника. Как рассчитать диагональ прямоугольника из этой формулы: с = a/cos α.

По известной стороне, углу между прилегающей к ней стороне прямоугольника и диагональю.

Так как диагональ прямоугольника делит сам прямоугольник на два прямоугольных треугольника, логично обратиться к определению синуса. Синус - отношение катета, лежащего против этого угла, к гипотенузе.sin α = b/c. Отсюда выводим формулу для нахождения диагонали прямоугольника, которая также является и гипотенузой прямоугольного треугольника: с = b/sin α.

Теперь вы подкованы в этом вопросе. Можете порадовать учителя геометрии уже завтра!

Инструкция

Используйте теорему Пифагора для вычисления длины диагонали (D) прямоугольника, если из условий задачи известны ширина (W) и высота (H) фигуры. Диагональ и две стороны этого четырехугольника, образующие прямой угол напротив нее, создают прямоугольный треугольник, а теорема Пифагора гласит, что квадрат длины гипотенузы в таком треугольнике равен сумме квадратов длин его катетов. В данном случае гипотенузой является диагональ, а это значит, что для нахождения ее длины вам следует найти корень из суммы возведенных в квадрат длины и ширины прямоугольника: D=√(W²+H²).

Модифицируйте полученную формулу, если известна длина только одной стороны прямоугольника (например, H) и его площадь (S). Недостающую сторону в формуле, полученной на предыдущем шаге, можно заменить соотношением между площадью и длиной известной стороны. Подставьте это соотношение в формулу: D=√(H²+(S/H)²)=√(H²+S²)/H.

Аналогичным способом измените формулу из первого шага, если известны длина одной стороны (H) и длина периметра (P) прямоугольника. Периметр составляют по две длины каждой из сторон фигуры, а это значит, что вместо длины неизвестной стороны в формулу можно подставить выражение (P-2*H)/2 или P/2-H: D=√(H²+(P/2-H)²=√(H²+P²/4-P*H+H²)=√(2*H²+P²/4-P*H).

Если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольник является квадратом, а значит, длина любой его стороны равна диаметру этой окружности (d). Подставьте это значение в формулу из первого шага: D=√(d²+d²)=d*√2.

Без теоремы Пифагора можно обойтись в том случае, если известен диаметр описанной около прямоугольника окружности. Это самый простой вариант нахождения диагонали прямоугольника - длина диагонали совпадает с диаметром окружности.

Частный случай параллелограмма - прямоугольник – известен только в геометрии Евклида. У прямоугольника равны все углы, и каждый из них по отдельности составляет 90 градусов. Исходя из частных свойств прямоугольника , а также из свойств параллелограмма о параллельности противолежащих сторон можно найти стороны фигуры по заданным диагоналям и углу от их пересечения. Вычисление сторон прямоугольника основывается на дополнительных построениях и применении свойств получаемых фигур.

Инструкция

Постройте прямоугольник EFGH. Запишите известные данные: диагональ прямоугольника EG и угол α, полученный от пересечения двух равных диагоналей FH и EG. Постройте на рисунке диагонали и отметьте между ними угол α.

Буквой А отметьте точку пересечения диагоналей. Рассмотрите образованный построениями треугольник EFА. Согласно свойству прямоугольника его диагонали равны и делятся пополам точкой пересечения А. Вычислите значения FА и EА. Так как треугольник EFА является равнобедренным и его стороны EА и FА равны между собой и соответственно равны половине диагонали EG.

Далее вычислите первую сторону EF прямоугольника . Данная сторона является третьей неизвестной стороной рассматриваемого треугольника EFА. Согласно теореме косинусов по соответствующей формуле найдите сторону EF. Для этого подставьте в формулу косинусов полученные ранее значения сторон FА равна EА и косинус известного угла между ними α. Вычислите и запишите полученное значение EF.

Найдите вторую сторону прямоугольника FG. Для этого рассмотрите другой треугольник EFG. Он является прямоугольным, где известны гипотенуза EG и катет EF. Согласно теореме Пифагора найдите второй катет FG по соответствующей формуле.

В соответствии со свойствами прямоугольника его противолежащие ребра равны. Таким образом сторона GH равна найденной стороне EF, а HЕ = FG. Запишите в ответ все вычисленные стороны прямоугольника .

О том, что такое периметр, каждый из нас узнал еще в младших классах. нахождением сторон квадрата при известном периметре проблем обычно не возникает даже у тех, кто закончил школу давно и успел забыть курс математики. Однако решить аналогичную задачу в отношении прямоугольника или прямоугольного треугольника удается без подсказки не всем.

Инструкция

Как решить задачу по геометрии, в условии которой приведены только периметр и углы? Конечно, если речь идет о остроугольном треугольнике или многоугольнике, то такую задачу без знания длины одной из сторон решить невозможно. Однако, если речь идет о прямоугольном треугольнике или прямоугольнике, то по заданному периметру можно найти его стороны. Прямоугольник имеет длину и ширину . Если провести диагональ прямоугольника, можно обнаружить, что она разбивает прямоугольник на два прямоугольных треугольника. Диагональ является гипотенузой, а длина и ширина - катетами этих треугольников. У квадрата, являющегося частным случаем прямоугольника, диагональ является гипотенузой прямоугольного равнобедренного треугольника.

Предположим, что имеется прямоугольный треугольник со сторонами a, b и c, у которого один из углов равен 30 , а второй 60. На рисунке видно, что a = c*sin?, а b = c*cos?. Зная, что периметр любой фигуры, в том числе и треугольника, равен сумме всех его сторон, получаем:a+b+c=c*sin ?+c*cos+c=pИз этого выражения можно найти неизвестную сторону c, которая является гипотенузой для треугольника. Так как угол? = 30, после преобразования получим:c*sin ?+c*cos ?+c=c/2+c*sqrt(3)/2+c=pОтсюда следует, что с=2p/Соответственно a = c*sin ?=p/,b=c*cos ?=p*sqrt(3)/

Как уже сказано выше, диагональ прямоугольника делит его на два прямоугольных треугольника с углами 30 и 60 градусов. Поскольку периметр прямоугольника равен p=2(a + b), ширину a и длину b прямоугольника можно найти, исходя из того, что диагональ является гипотенузой прямоугольных треугольников:a = p-2b/2=p/2
b= p-2a/2=p/2Эти два уравнения выражены через периметр прямоугольника. По ним вычисляются длина и ширина этого прямоугольника с учетом получившихся углов при проведении его диагонали.

Используйте для нахождения диаметра одно из основных свойств окружности, которое заключается в том, что соотношение длины ее периметра к диаметру одинаково для абсолютно всех окружностей. Конечно, такое постоянство не осталось не отмеченным математиками, и эта пропорция давно уже получила собственное название - это число Пи (π - первая буква греческих слов «окружность » и «периметр»). Числовое выражение этой константы определяется длиной окружности, у которой диаметр равен единице.

Делите известную длину окружности на число Пи, чтобы вычислить ее диаметр. Так как это число является «иррациональным», то не имеет конечного значения - это бесконечная дробь. Округляйте число Пи в соответствии с точностью результата, которую вам необходимо получить.

Используйте какой-либо калькулятор, чтобы рассчитать длину диаметра, если сделать это в уме не получается. Например, можно воспользоваться тем, который встроен в поисковую систему Nigma или Google - он понимает математические операции, вводимые на «человеческом» языке. Например, если известная длина окружности составляет четыре метра, то для нахождения диаметра можно «по-человечески» попросить поисковик: «4 метра разделить на пи». Но если вы введете в поле поискового запроса, например, «4/пи», то поисковик поймет и такую постановку задачи. В любом случае ответом будет «1.27323954 метра».

Например, во время изготовления многих поделок из бумаги в технике оригами. Но далеко не всегда под рукой есть карандаш и линейка. Однако существуют способы, благодаря которым можно получить, можно воспользоваться линейкой и карандашом. Например, стороны прямоугольника равны 30 см (длина) и 20 см (ширина). Тогда квадрат будет иметь стороны с меньшим значением, то есть 20 см. Отмерьте на верхней длинной стороне прямоугольника 20 см. Выполните то же действие, но только с нижней стороной. Соедините полученные точки с помощью линейки. В случае надобности отрежьте излишек, в результате чего получится квадрат со сторонами 20 см.

Сделать квадрат из прямоугольника можно даже в том случае, если отсутствуют чертежные принадлежности. Положите перед собой прямоугольник и согните один из его прямых углов (это может быть любой угол) строго пополам. Если поставить полученную фигуру на длинную сторону, то будет прямоугольная трапеция, визуально состоящая из треугольника и другого прямоугольника . Загните полученный прямоугольник на треугольник (последний будет двойным за счет сложенной бумаги), загладьте пальцами и отрежьте или аккуратно его оторвите. Разверните бумагу, которая и будет собой представлять квадрат . Из маленького оставшегося прямоугольника можно снова получить квадрат , только меньшего размера. Способы допустимо использовать те же самые.

Прямоугольник может иметь и несколько иные размеры, например, 40х20 см, то есть длина ровно в 2 раза превышает ширину. В этом случае возьмите линейку и отмерьте на длинной стороне 20 см (сверху и снизу), соедините полученные точки и разделите пополам. Получится два одинаковых квадрат а. Если достоверно известно, что в прямоугольнике именно такое соотношении длины и ширины (2:1), то просто сложите геометрическую фигуру вдвое, после чего разрежьте. Кстати, чтобы без линейки убедиться, что соотношение действительно 2:1, для этого любой угол прямоугольника сложите пополам. Затем выполните то же действие, но только с другой стороны (симметрично первому углу). Если в результате всех этих манипуляций получился прямоугольный треугольник, значит соотношение сторон на самом деле 2:1.

Видео по теме

Источники:

• как из треугольника сделать прямоугольник

В памяти многих осталась математическая прибаутка: Пифагоровы штаны во все стороны равны. Воспользуйтесь ею, чтобы вычислить диагональ прямоугольника.

Вам понадобится

Лист бумаги, линейка, карандаш, калькулятор с функцией вычисления корней.

Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Как рассчитать диагональ прямоугольника" Как вычислить длину диагонали Как найти диагонали призмы Как найти площадь параллелограмма

Инструкция

Прямоугольник - это четырехугольник, все углы которого прямые. Диагональ прямоугольника – отрезок прямой, соединяющий две противоположные его вершины.

На листе бумаги с помощью линейки и карандаша нарисуйте произвольный прямоугольник АВСD. Лучше это сделать на тетрадном листе в клетку – так проще будет нарисовать прямые углы. Соедините отрезком вершины прямоугольника А и С. Полученный отрезок АС является диагональю прямоугольника АВСD. Обратите внимание, диагональ АС разделила прямоугольник АВСD на треугольники АВС и АСD. Полученные треугольники АВС и АСD – прямые треугольники, т.к. углы АВС и АDС равны 90 градусам (по определению прямоугольника). Вспомните теорему Пифагора – квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Гипотенуза – это сторона треугольника, противолежащая прямому углу. Катеты – стороны треугольника, прилежащие к прямому углу. Применительно к треугольникам АВС и АСD: АВ и ВС, АD и DC– катеты, АС – общая гипотенуза для обоих треугольников (искомая диагональ). Следовательно, АС в квадрате = квадрат АВ + квадрат ВС или АС в квадрате = квадрат АD + квадрат DС. Подставьте значения длин сторон прямоугольника в вышеприведенную формулу и вычислите длину гипотенузы (диагонали прямоугольника). Например, стороны прямоугольника АВСD равны следующим значениям: АВ = 5 см и ВС = 7см. Квадрат диагонали АС данного прямоугольника рассчитывается по теореме Пифагора: АС в квадрате = квадрат АВ + квадрат ВС = 52+72 = 25 + 49 = 74 кв.см. С помощью калькулятора вычислите значение квадратного корня 74. У вас должно получиться 8,6 см (округленное значение). Имейте в виду, что по одному из свойств прямоугольника, его диагонали равны. Значит длина второй диагонали BD прямоугольника АВСD равна длине диагонали АС. Для вышеприведенного примера эта величина составляет 8,6 см. Как просто

Другие новости по теме:

Прямоугольником называют частный случай четырехугольника - замкнутой геометрической фигуры, составленной из четырех не лежащих на одной прямой отрезков, попарно соединяющих четыре вершины этого многоугольника. Отличительной особенностью прямоугольника являются углы в 90°, лежащие в каждой его

Прямоугольник - одна из простейших геометрических фигур, которая, имея все углы одинаковыми и равными 90°, является частным случаем параллелограмма. Отрезок, соединяющий две вершины прямоугольника, не имеющие общей стороны, называется диагональю этого многоугольника. Вычислить длину диагонали можно

Прямоугольник - четыре точки, четыре попарно параллельных прямых, четыре прямых угла. Прямоугольник встречается в человеческой повседневности на каждом шагу, поэтому вопрос определения площади геометрической фигуры никогда не теряет своей актуальности.

Геометрия прямоугольника

В евклидовой геометрии прямоугольник - любой плоский четырехугольник, каждый угол которого равен 90 градусов. В геометриях Римана и Лобачевского невозможно получить четырехугольник, сумма углов которого будет равна 360 градусов - это значение всегда будет больше или меньше, следовательно, прямоугольник существует только на плоскости. Плоский параллелограмм считается прямоугольником, если выполняется хотя бы одно из перечисленных условий:

• равенство углов;
• равенство диагоналей;
• диагональ и стороны фигуры удовлетворяют условию теоремы Пифагора.

Последнее условие вытекает из того, что диагональ параллелограмма делит его на два треугольника. Если выполняется равенство d^2 = a^2 + b^2, то согласно теореме Пифагора треугольник является прямоугольным, следовательно, параллелограмм - прямоугольник.

Золотой прямоугольник

Золотым называется прямоугольник, ширина и длина которого соотносятся как 1:fi, где fi приблизительно равно 1,618. Главная особенность золотого полигона состоит в том, что после удаления любого квадрата из фигуры, соотношение сторон прямоугольника останется таким же. Золотой прямоугольник широко используется в архитектуре. Соотношение 1:fi очаровало архитекторов времен Ренессанса, однако еще античные зодчие интуитивно пользовались данным правилом. К примеру, древнегреческий Пантеон в Афинах построен с учетом золотого соотношения сторон как 1 к 1,618.

Прямоугольник в реальности

Прямоугольник - наиболее распространенная плоская фигура в реальности. Прямоугольную форму имеют грани огромного количества предметов: столов, мониторов, системных блоков, полов, стен, книг, футбольных полей, деталей машин - перечислять можно бесконечно. С расчетом площадей прямоугольников постоянно имеют дело инженеры, проектировщики, землемеры, архитекторы, столяры или слесари, ведь прямоугольные детали встречаются практически на каждом шагу.

Площадь прямоугольника

Площадь геометрической фигуры - это числовая характеристика, иллюстрирующая ее размер. Площадь прямоугольника находится по простой формуле:

где a - длина прямоугольника, b - ширина.

Программный код калькулятора использует зависимости, при помощи которых можно найти площадь прямоугольника, зная только одну сторону и дополнительный параметр на выбор. В школьных задачах вместо длины или ширины могут указываться углы пересечения диагоналей альфа и бета или длина диагонали. Для корректного расчета площади важно ввести значения в соответствующие ячейки. Так, угол альфа - это угол пересечения диагоналей, которому противолежит длина прямоугольника, а углу бета противолежит ширина фигуры. На практике же проще всего будет измерить одну из сторон. Рассмотрим пару примеров на определение площади прямоугольника.

Примеры из реальной жизни

Покраска пола

Определение расхода краски - наиболее типичная бытовая задача, с которой сталкиваются многие люди. Допустим, нам необходимо покрасить пол в комнате размером 3 на 5 метров. Известно, что на обработку одного квадратного метра деревянной поверхности требуется 160 грамм краски. Следовательно, для определения расхода лакокрасочных материалов потребуется узнать площадь комнаты и разделить ее на стандартный расход. Площадь прямоугольника в бытовом случае находится очень просто: достаточно перемножить ширину и длину комнаты. Мы получим:

Таким образом, для обработки пола нам понадобится 15 × 0,16 = 2,4 кг краски или одна стандартная банка.

Школьная задача

Допустим, в задаче по геометрии требуется найти площадь прямоугольника, зная, что длина диагонали составляет 29 см, а ширина фигуры равна 20 см. Решая эту задачу вручную, нам бы потребовалось применить теорему Пифагора для нахождения второй стороны, а затем перемножить ширину и длину прямоугольника. Мы можем упростить себе задачу и просто ввести эти переменные в калькулятор. Мы получим ответ:

Кроме площади калькулятор также определил длину прямоугольника, равную 21 см. Числа 20, 21 и 29 составляют пифагорову тройку - целые числа, которые удовлетворяют условию теоремы Пифагора.

Заключение

Прямоугольник - широко распространенная фигура, и расчет ее площади никогда не теряет актуальности. И хотя формула для расчета площади проста как валенок, наш калькулятор может быть полезен как школьникам и студентам, так и представителям самых разных профессий.

Задача на нахождение диагонали прямоугольника может быть сформулирована тремя разными способами. Рассмотрим подробнее каждый из них. Способы зависят от известных данных, итак как найти диагональ прямоугольника?

Если известны две его стороны

В случае, когда известны две стороны прямоугольника a и b, для нахождения диагонали необходимо воспользоваться теоремой Пифагора: a 2 +b 2 =c 2 , здесь a и b - катеты прямоугольного треугольника, с – гипотенуза прямоугольного треугольника. Когда в прямоугольнике прочерчена диагональ, он делится на два прямоугольных треугольника. Две стороны этого прямоугольного треугольника нам известны (a и b). То есть, чтобы найти диагональ прямоугольника, формула нужна следующая: c= (a 2 +b 2), здесь с – длина диагонали прямоугольника.

По известной стороне и углу, между стороной и диагональю

Пусть известна сторона прямоугольника a и угол, который она образует с диагональю прямоугольника. Для начала вспомним формулу косинуса: cos = a/c,здесь с – диагональ прямоугольника. Как рассчитать диагональ прямоугольника из этой формулы: с = a/cos .

По известной стороне, углу между прилегающей к ней стороне прямоугольника и диагональю.

Так как диагональ прямоугольника делит сам прямоугольник на два прямоугольных треугольника, логично обратиться к определению синуса. Синус - отношение катета, лежащего против этого угла, к гипотенузе.sin = b/c. Отсюда выводим формулу для нахождения диагонали прямоугольника, которая также является и гипотенузой прямоугольного треугольника: с = b/sin .

Теперь вы подкованы в этом вопросе. Можете порадовать учителя геометрии уже завтра!

Внимание, только СЕГОДНЯ!

ДРУГОЕ

Задача на нахождение длины прямоугольника может быть сформулирована по-разному. Разберемся, как найти длины сторон…

Одним из важнейших правил тригонометрии является вычисление площади различных фигур, поэтому многие задумываются над…

Как мы знаем, квадрат есть ни что иное, как прямоугольник с равными сторонами, либо ромб с прямыми углами. Диагональ…

Расскажем об одной из простейших и основных фигур в геометрии, о прямоугольнике. Что такое прямоугольник? Определение:…

Решение задач с четырехугольниками - один из наиболее обширных разделов геометрии, доставляющий школьникам немало…

Как найти периметр и площадь прямоугольника?Прямоугольник - это геометрическая фигура, у которой все углы прямые, а…

Диагональ имеет геометрический смысл в математике. Диагональ выделяют в различных многоугольниках, она помогает в…

Слово «геометрия» в переводе значит «землемерие»: «геос» по-гречески – земля, а…

Чтобы легко запомнить, как найти периметр прямоугольника, нужно ориентироваться в геометрических терминах, тогда все…

Прежде, чем разбираться, как найти диагональ трапеции, вспомним, что такое трапеция. В планиметрии трапецией называют…