Основные построения с помощью циркуля линейки. Геометрические построения циркулем и линейкой Конспект лекции: Основные построения Дисциплина: - презентация

Выполнил: Цун Иосиф Менделевич, профессор кафедры алгебры и геометрии МаГУ, кандидат технических наук

Основное построение 2 Отложить от данного луча в данную полуплоскость угол, равный данному углу. Построение: Дано: С центром в точке О проводим дугу произвольного радиуса, пересекающую стороны угла в точках М и N. A BN M FN M O S С центром в точке S тем же радиусом проводим дугу в заданной полуплоскости. Пусть она пересекает SF в точке N. Циркулем измеряем MN и откладываем от N на построенной ранее дуге с центром в точке S. Получаем M. Проводим луч SM. Угол MSN – искомый.

Основное построение 3 Построить треугольник по трём сторонам. На произвольной прямой откладываем отрезок АВ = c. Построение: Дано: a b c AB C c b a С центром в точке А строим дугу радиусом b. С центром в точке В – дугу радиусом а. Пересечение дуг дает точку С – вершину искомого треугольника. Проводим отрезки b = AC и a = BC. Треугольник ABC – искомый.

Основное построение 4 Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними. На произвольной прямой откладываем отрезок АВ = a. Построение: Дано: a b AB C b a Используя основное построение 2, строим угол с вершиной в А. На второй построенной стороне этого угла откладываем отрезок АC = b и получаем третью вершину искомого треугольника ABC.

Основное построение 5 Построить треугольник по стороне и двум прилежащим углам. На произвольной прямой откладываем отрезок AB = a. Дано: a AB C a Построение: Используя основное построение 2, строим угол при точке A. Затем строим угол при точке В. Построенные лучи пересекутся в вершине в точке С искомого треугольника АВС.

Основное построение 6 Построить биссектрису данного неразвернутого угла (разделить данный угол пополам). Построение: С центром в вершине О данного угла произвольным радиусом проводим дугу, пересекающую стороны угла в точках А и В. B A E Дано: Не изменяя радиуса, строим еще две дуги с центрами в точках А и В, которые пересекаются в точке Е. О ОЕ – искомая биссектриса

Основное построение 7 Построить серединный перпендикуляр данного отрезка (аналогично выполняется построение середины данного отрезка). С центрами в точках А и В и радиусом, большим половины отрезка АВ, строим две дуги, пересекающиеся в точках С и D. Построение: AB C D O Дано: AB CD – искомый серединный перпендикуляр. О – середина данного отрезка АВ.

Основное построение 8 Построить прямую, проходящую через данную точку Р и перпендикулярную данной прямой. Случай 1. Данная точка P лежит вне прямой. С центром в точке Р радиусом, большим расстояния от Р до прямой АВ, проводим дугу, пересекающую прямую в точках М и N. AB MN P Q Построение: P Дано: Тем же радиусом PM = PN с центрами в точках М и N строим еще две дуги, пересекающиеся в точке Q. PQ – искомый перпендикуляр к прямой АВ.

Основное построение 8 Построить прямую, проходящую через данную точку Р и перпендикулярную данной прямой. Случай 2. Данная точка P лежит на прямой. С центром в точке Р произвольным радиусом проводим дугу, пересекающую прямую в точках М и N. NM C D P A B Построение: Дано: С центрами в точках М и N строим ещё две дуги равного радиуса и большего, чем расстояние до точки P. Через точки C и D пересечения этих дуг проводим прямую. CD – искомый перпендикуляр к прямой АВ в точке Р. P

Основное построение 9 Построить прямую, проходящую через данную точку Р и параллельную данной прямой АВ. Способ 1 Построение: С центром в точке Р и радиусом, большим расстояния от Р до прямой АВ, проводим дугу, пересекающую АВ точках М и N. P MN Q P АВ Дано: Из M тем же радиусом описываем вторую дугу, проходящую через Р. Она пересечет вторую дугу в точке Q. PQ – искомая прямая, параллельная AB. AB С центром в Р строим третью дугу радиусом МN.

Основное построение 9 Построить прямую, проходящую через данную точку Р и параллельную данной прямой АВ. Способ 2 С центром в точке Р и радиусом, большим расстояния от Р до прямой АВ, проводим дугу, пересекающую АВ точке М. Построение: P M N Q P АВ Дано: А В С центром в точке М тем же радиусом проводим дугу, пересекающую прямую АВ в точке N. С центром в N с тем же радиусом проводим дугу, пересекающую первую дугу в точке Q. PQ – искомая прямая, параллельная AB.

Основное построение 10 Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу. На произвольной прямой от произвольно взятой на ней точки А откладываем отрезок AB = a. Дано: a Построение: AB C a Далее строим угол, равный данному углу, с вершиной в А. На другую сторону угла опускаем перпендикуляр из второго конца гипотенузы – точки В. Получаем вершину С прямого угла искомого треугольника АВС.

Основное построение 11 Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету. На произвольной прямой от произвольной точки А откладываем отрезок АС = b. Дано: a b Построение: A b C B a В точке А восстанавливаем перпендикуляр к АС по основному построению 8. С центром в точке С проводим дугу радиусом а, пересекающую построенный перпендикуляр в точке В. Построенный треугольник АВС – искомый.

Основное построение 12 Для окружности построить касательную, проходящую через данную точку Р. Случай 1. Точка Р лежит на окружности. Проводим луч СР, где С – центр окружности. С P A B Построение: P Дано: В точке Р восстанавливаем перпендикуляр АВ к лучу СР по основному построению 8. Прямая АВ – искомая касательная.

Основное построение 12 Для окружности построить касательную, проходящую через данную точку Р. Случай 2. Точка Р лежит вне данной окружности. С P Строим отрезок СР, С – центр окружности. Построение: M N E Делим СР пополам по основному построению 7, получаем Е. Проводим искомые касательные к окружности прямые PM и PN. Дано: P С центром в Е и с радиусом ЕС = ЕР строим дугу, пересекающую окружность в М и N.

Основное построение 13 Построение четвертого пропорционального отрезка x. Строим произвольный угол, на сторонах которого от вершины О откладываем заданные отрезки длиной OA = а и OB = b, входящие в левую часть пропорции. Проводим прямую АB. O B AC X Дано: a b c Построение: ca b x На той же стороне угла, что и a, откладываем AС = с. Через точку C проводим прямую, параллельную АB, которая пересекает на луче ОB искомый отрезок х. Отрезок BХ = х – искомый.

Видеоурок «Построение циркулем и линейкой» содержит учебный материал, являющийся основой для решения задач на построение. Геометрические построения являются важной частью решения многих практических заданий. Без умения корректно отразить условия на рисунке не обходится практически ни одна геометрическая задача. Основная задача данного видеоурока - углубить знания ученика о применении чертежных инструментов для построения геометрических фигур, продемонстрировать возможности данных инструментов, научить решать простейшие задачи на построение.

Обучение при помощи видеоурока имеет много преимуществ, среди которых наглядность, понятность производимых построений, так как материал демонстрируется при помощи электронных средств приближенно к реальному построению на доске. Построения хорошо видны с любого места в классе, важные моменты выделяются цветом. А сопровождение голосом заменяет подачу учителем стандартного блока учебного материала.

Видеоурок начинается с объявления названия темы. Ученикам напоминается, что они уже имеют определенные навыки в построении геометрических фигур. На предыдущих уроках, когда ученики изучали основы геометрии и осваивали понятия прямой, точки, угла, отрезка, треугольника, чертили отрезки, равные данным, они выполняли построения простейших геометрических фигур. Подобные построения не требуют сложных навыков, но корректное выполнение заданий важно для дальнейшей работы с геометрическими объектами и решения более сложных геометрических задач.

Ученикам перечисляется перечень основных инструментов, которые используются для выполнения построений при решении геометрических задач. На изображениях продемонстрированы масштабная линейка, циркуль, треугольник с прямым углом, транспортир.

Расширяя понятие учеников о том, как выполняются различные виды построений, им рекомендуется обратить внимание на построения, которые осуществляются без масштабной линейки, а для них могут использоваться только циркуль и линейка без делений. Отмечается, что такая группа задач на построение, в которой используются только линейка и циркуль, в геометрии выделяется отдельно.

Для того чтобы определить, какие геометрические задачи могут быть решены, используя линейку и циркуль, предлагается рассмотреть возможности данных чертежных инструментов. Линейка помогает начертить произвольную прямую, построить прямую, которая проходит через определенные точки. Циркуль предназначен для проведения окружностей. Только при помощи циркуля проводится построение произвольной окружности. При помощи циркуля проводится также отрезок, равный данному. Указанные возможности чертежных инструментов дают возможность выполнить ряд задач на построение. Среди подобных задач на построение:

1. построение угла, который равен данному;
2. проведение прямой, перпендикулярную данной, проходящей через указанную точку;
3. деление отрезка на две равные части;
4. ряд других задач на построение.

Далее предлагается решить задание на построение, используя линейку и циркуль. На экране демонстрируется условие задачи, которая состоит в том, чтобы на некотором луче отложить отрезок, равный некоторому отрезку, от начала луча. Решение данной задачи начинается с построения произвольного отрезка АВ и луча ОС. В качестве решения данной задачи предлагается построить окружность радиусом АВ и центром в точке О. После построения образуется пересечение построенной окружности с лучом ОС в некоторой точке D. При этом часть луча, представленная отрезком OD, и является отрезком, равным отрезку АВ. Задача решена.

Видеоурок «Построение циркулем и линейкой» может быть использован при объяснении учителем основ решения практических задач на построение. Также данный метод можно освоить, самостоятельно изучая данный материал. Может помочь учителю данный видеоурок и при дистанционной подаче материала по данной теме.