Как найти периметр прямоугольной трапеции. Периметр равнобедренной трапеции

Трапеция - четырехугольник с двумя параллельными основаниями и не параллельными боковыми сторонами. Прямоугольная трапеция имеет прямой угол при одной боковой стороне.

Инструкция

Периметр прямоугольной трапеции равен сумме длин сторон двух оснований и двух боковых сторон. Задача 1. трапеции , если известны длины всех его сторон. Для этого сложите все четыре значения: P (периметр) = a + b + c + d.Это самый простой вариант нахождения периметра, задачи с другими начальными данными, в конечном итоге, сводятся к ней. Рассмотрим варианты.

Задача 2.Найдите периметр прямоугольной трапеции , если известно нижнее основание AD = a, не перпендикулярная ему боковая сторона CD = d, а угол при этой боковой стороне ADC равен Альфа.Решение.Проведите высоту трапеции из вершины C на большее основание, получим отрезок CE, трапеция разделилась на две фигуры - прямоугольник ABCE и прямоугольный треугольник ECD. Гипотенуза треугольника - это известная нам боковая сторона трапеции CD, один из катетов равен перпендикулярной боковой стороне трапеции (по правилу прямоугольника две параллельные стороны равны - AB = CE), а другой - отрезок, длина которого равна разности оснований трапеции ED = AD - BC.

Найдите катеты треугольника: по существующим формулам CE = CD*sin(ADC) и ED = CD*cos(ADC).Теперь вычислите верхнее основание - BC = AD - ED = a - CD*cos(ADC) = a - d*cos(Альфа).Узнайте длину перпендикулярной боковой стороны - AB = CE = d*sin(Альфа).Итак, вы получили длины всех сторон прямоугольной трапеции .

Сложите полученные значения, это и будет периметр прямоугольной трапеции :P = AB + BC + CD + AD = d*sin(Альфа) + (a - d*cos(Альфа)) + d + a = 2*a + d*(sin(Альфа) - cos(Альфа) + 1).

Задача 3.Найдите периметр прямоугольной трапеции , если известны длины его оснований AD = a, BC = c, длина перпендикулярной боковой стороны AB = b и острый угол при другой боковой стороне ADC = Альфа.Решение.Проведите перпендикуляр CE, получите прямоугольник ABCE и треугольник CED.Теперь найдите длину гипотенузы треугольника CD = AB/sin(ADC) = b/sin(Альфа).Итак, вы получили длины всех сторон.

Сложите полученные значения:P = AB + BC + CD + AD = b + c + b/sin(Альфа) + a = a + b*(1+1/sin(Альфа) + с.

О том, что такое периметр, каждый из нас узнал еще в младших классах. нахождением сторон квадрата при известном периметре проблем обычно не возникает даже у тех, кто закончил школу давно и успел забыть курс математики. Однако решить аналогичную задачу в отношении прямоугольника или прямоугольного треугольника удается без подсказки не всем.

Инструкция

Как решить задачу по геометрии, в условии которой приведены только периметр и углы? Конечно, если речь идет о остроугольном треугольнике или многоугольнике, то такую задачу без знания длины одной из сторон решить невозможно. Однако, если речь идет о прямоугольном треугольнике или прямоугольнике, то по заданному периметру можно найти его стороны. Прямоугольник имеет длину и ширину . Если провести диагональ прямоугольника, можно обнаружить, что она разбивает прямоугольник на два прямоугольных треугольника. Диагональ является гипотенузой, а длина и ширина - катетами этих треугольников. У квадрата, являющегося частным случаем прямоугольника, диагональ является гипотенузой прямоугольного равнобедренного треугольника.

Предположим, что имеется прямоугольный треугольник со сторонами a, b и c, у которого один из углов равен 30 , а второй 60. На рисунке видно, что a = c*sin?, а b = c*cos?. Зная, что периметр любой фигуры, в том числе и треугольника, равен сумме всех его сторон, получаем:a+b+c=c*sin ?+c*cos+c=pИз этого выражения можно найти неизвестную сторону c, которая является гипотенузой для треугольника. Так как угол? = 30, после преобразования получим:c*sin ?+c*cos ?+c=c/2+c*sqrt(3)/2+c=pОтсюда следует, что с=2p/Соответственно a = c*sin ?=p/,b=c*cos ?=p*sqrt(3)/

длину и ширину периметра " class="lightbx" data-lightbox="article-image">

Как уже сказано выше, диагональ прямоугольника делит его на два прямоугольных треугольника с углами 30 и 60 градусов. Поскольку периметр прямоугольника равен p=2(a + b), ширину a и длину b прямоугольника можно найти, исходя из того, что диагональ является гипотенузой прямоугольных треугольников:a = p-2b/2=p/2
b= p-2a/2=p/2Эти два уравнения выражены через периметр прямоугольника. По ним вычисляются длина и ширина этого прямоугольника с учетом получившихся углов при проведении его диагонали.

Обратите внимание

Как найти длину прямоугольника,если известен периметр и ширина? Вычесть из периметра удвоенную ширину, тогда получим удвоенную длину. Потом делим её пополам, чтобы найти длину.

Полезный совет

Еще из начальной школы многие помнят, как найти периметр любой геометрической фигуры: достаточно узнать длину всех ее сторон и найти их сумму. Известно, что в такой фигуре, как прямоугольник, длины сторон равны попарно. Если ширина и высота прямоугольника имеют одинаковую длину, то он называется квадратом. Обычно длиной прямоугольника называют наибольшую из сторон, а шириной – наименьшую.

Основание, получим отрезок CE, трапеция разделилась на две фигуры - прямоугольник ABCE и прямоугольный треугольник ECD. Гипотенуза треугольника - это известная нам боковая сторона трапеции CD, один из катетов равен перпендикулярной боковой стороне трапеции (по правилу прямоугольника две параллельные стороны равны - AB = CE), а другой - отрезок, длина которого равна разности оснований трапеции ED = AD - BC.

Найдите катеты треугольника: по существующим формулам CE = CD*sin(ADC) и ED = CD*cos(ADC).Теперь вычислите верхнее основание - BC = AD - ED = a - CD*cos(ADC) = a - d*cos(Альфа).Узнайте длину перпендикулярной боковой стороны - AB = CE = d*sin(Альфа).Итак, вы получили длины всех сторон прямоугольной трапеции .

Сложите полученные значения, это и будет периметр прямоугольной трапеции :P = AB + BC + CD + AD = d*sin(Альфа) + (a - d*cos(Альфа)) + d + a = 2*a + d*(sin(Альфа) - cos(Альфа) + 1).

Задача 3.Найдите периметр прямоугольной трапеции , если известны длины его оснований AD = a, BC = c, длина перпендикулярной боковой стороны AB = b и острый угол при другой боковой стороне ADC = Альфа.Решение.Проведите перпендикуляр CE, получите прямоугольник ABCE и треугольник CED.Теперь найдите длину гипотенузы треугольника CD = AB/sin(ADC) = b/sin(Альфа).Итак, вы получили длины всех сторон.

Сложите полученные значения:P = AB + BC + CD + AD = b + c + b/sin(Альфа) + a = a + b*(1+1/sin(Альфа) + с.

О том, что такое периметр, каждый из нас узнал еще в младших классах. нахождением сторон квадрата при известном периметре проблем обычно не возникает даже у тех, кто закончил школу давно и успел забыть курс математики. Однако решить аналогичную задачу в отношении прямоугольника или прямоугольного треугольника удается без подсказки не всем.

Инструкция

Предположим, что имеется прямоугольный треугольник со сторонами a, b и c, у которого один из углов равен 30 , а второй 60. На рисунке видно, что a = c*sin?, а b = c*cos?. Зная, что периметр любой фигуры, в том числе и треугольника, равен сумме всех его сторон, получаем:a+b+c=c*sin ?+c*cos+c=pИз этого выражения можно найти неизвестную сторону c, которая является гипотенузой для треугольника. Так как угол? = 30, после преобразования получим:c*sin ?+c*cos ?+c=c/2+c*sqrt(3)/2+c=pОтсюда следует, что с=2p/Соответственно a = c*sin ?=p/,b=c*cos ?=p*sqrt(3)/

Как уже сказано выше, диагональ прямоугольника делит его на два прямоугольных треугольника с углами 30 и 60 градусов. Поскольку периметр прямоугольника равен p=2(a + b), ширину a и длину b прямоугольника можно найти, исходя из того, что диагональ является гипотенузой прямоугольных треугольников:a = p-2b/2=p/2
b= p-2a/2=p/2Эти два уравнения выражены через периметр прямоугольника. По ним вычисляются длина и ширина этого прямоугольника с учетом получившихся углов при проведении его диагонали.

Видео по теме

Обратите внимание

Как найти длину прямоугольника,если известен периметр и ширина? Вычесть из периметра удвоенную ширину, тогда получим удвоенную длину. Потом делим её пополам, чтобы найти длину.

Полезный совет

Еще из начальной школы многие помнят, как найти периметр любой геометрической фигуры: достаточно узнать длину всех ее сторон и найти их сумму. Известно, что в такой фигуре, как прямоугольник, длины сторон равны попарно. Если ширина и высота прямоугольника имеют одинаковую длину, то он называется квадратом. Обычно длиной прямоугольника называют наибольшую из сторон, а шириной – наименьшую.

Источники:

• что такое ширина периметра в 2017

Периметр (Р) – сумма длин всех сторон фигуры, а у четырехугольника их четыре. Значит, чтобы найти периметр четырехугольника, нужно просто сложить длины всех его сторон. Но известны такие фигуры, как прямоугольник, квадрат, ромб, то есть правильные четырехугольники. Их периметры определяются особыми способами.

Инструкция

Если данная фигура - прямоугольник (или параллелограмм) АВСД, то он обладает следующими свойствами: параллельные стороны попарно равны (см. рисунок). АВ = СД и АС = ВД. Зная такое отношение сторон в этой фигуре, можно вывести периметр прямоугольника (и параллелограмма): Р = АВ + СД + АС+ ВД. Пусть одни стороны будут равны числу а, другие – числу в, тогда Р = а + а + в + в = 2*а = 2* в = 2*(а + в). Пример 1. В прямоугольнике АВСД стороны равны АВ = СД = 7 см и АС = ВД = 3 см. Найти периметр такого прямоугольника. Решение: Р = 2*(а + в). Р = 2*(7 +3) = 20 см.

Решая задачи на сумму длин сторон с фигурой, называемой квадрат или ромб, следует применять несколько видоизмененную формулу периметра. Квадрат и ромб – фигуры, имеющие одинаковые четыре стороны. Исходя из определения периметра, Р = АВ + СД + АС+ ВД и допуская обозначение длины буквой а, то Р = а + а + а + а = 4*а. Пример 2. Ромб имеет длину стороны 2 см. Найти его периметр. Решение: 4*2 см = 8 см.

Если данный четырехугольник является трапецией, то в этом случае просто нужно сложить длины четырех ее сторон. Р = АВ + СД + АС+ ВД. Пример 3. Найти периметр трапеции АВСД, если ее стороны равны: АВ = 1 см, СД = 3 см, АС = 4 см, ВД = 2 см. Решение: Р = АВ + СД + АС+ ВД = 1 см + 3 см + 4 см + 2 см = 10 см. Может случиться такое, что трапеция окажется равнобокой (у нее две боковые стороны равны), тогда ее периметр может свестись к формуле: Р = АВ + СД + АС+ ВД = а + в +а + с = 2*а + в + с. Пример 4. Найти периметр равнобокой трапеции , если ее боковые грани равны 4 см, а основания - 2 см и 6 см. Решение: Р = 2*а + в + с = 2 *4см + 2 см + 6 см = 16 см.

Видео по теме

Полезный совет

Никто не мешает находить периметр четырехугольника (и любой другой фигуры), как сумму длин сторон, не используя выведенные формулы. Они даны для удобства и упрощения вычисления. Не является ошибкой метод решения, важен правильный ответ и знание математической терминологии.

Источники:

• как находить периметр прямоугольника

Математическая фигура с четырьмя углами называется трапецией, если пара противоположных ее сторон параллельна, а другая пара - нет. Параллельные стороны называют основаниями трапеции , две другие - боковыми. В прямоугольной трапеции один из углов при боковой стороне - прямой.

Инструкция

Задача 1.Найдите основания BC и AD прямоугольной трапеции , если известна длина диагонали AC = f; длина боковой стороны CD = c и угол при ней ADC = α.Решение:Рассмотрите прямоугольный треугольник CED. Известны гипотенуза c и угол между гипотенузой и катетом EDC. Найдите длины сторон CE и ED: по формуле угла CE = CD*sin(ADC); ED = CD*cos(ADC). Итак: CE = c*sinα; ED=c*cosα.

Рассмотрите прямоугольный треугольник ACE. Гипотенуза AC и катет CE вам известны, найдите сторону AE по правилу прямоугольного треугольника : сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Итак: AE(2) = AC(2) - CE(2) = f(2) - c*sinα. Вычислите квадратный корень из правой части равенства. Вы нашли верхнее основание прямоугольной трапеции .

Длина основания AD является суммой длин двух отрезков AE и ED. AE = квадратный корень(f(2) - c*sinα); ED = c*cosα).Итак: AD = квадратный корень(f(2) - c*sinα) + c*cosα.Вы нашли нижнее основание прямоугольной трапеции .

Задача 2.Найдите основания BC и AD прямоугольной трапеции , если известна длина диагонали BD = f; длина боковой стороны CD = c и угол при ней ADC = α.Решение:Рассмотрите прямоугольный треугольник CED. Найдите длины сторон CE и ED: CE = CD*sin(ADC) = c*sinα; ED = CD*cos(ADC) = c*cosα.

Рассмотрите прямоугольник ABCE. По свойству прямоугольника AB = CE = c*sinα.Рассмотрите прямоугольный треугольник ABD. По свойству прямоугольного треугольника квадрат гипотенузы Вам понадобится

• - калькулятор;
• - таблицы синусов, косинусов и тангенсов;
• - бумага;
• - чертежные принадлежности.

Инструкция

Самый простой вариант задачи – когда даны все стороны трапеции. В этом случае их нужно просто сложить. Можно воспользоваться следующей формулой: p=a+b+c+d, где p – периметр, а буквами a, b, c и d обозначены стороны, противолежащие углам, обозначенным соответствующими прописными буквами.

Есть дана равнобедренная трапеция, достаточно сложить два ее основания и прибавить к ним удвоенный размер стороны. То есть периметр в этом случае вычисляется по формуле: p=a+c+2b, где b – сторона трапеции, а и с – основания.

Расчеты будут несколько более длительными, если какую-то из сторон надо вычислить. Например, известно длинное основание, прилежащие к нему углы и высота. Вам нужно вычислить короткое основание и сторону. Для этого начертите трапецию ABCD, из верхнего угла B проведите высоту BE. У вас получится треугольник АВЕ. Вам известен угол А, соответственно, вы знаете его синус. В данных задачи указана также высота BE, которая одновременно является катетом прямоугольного треугольника, противолежащим известному вам углу. Чтобы найти гипотенузу АВ которая одновременно является стороной трапеции, достаточно BE разделить на sinA. Точно так же найдите длину второй стороны. Для этого нужно провести высоту из другого верхнего угла, то есть CF.

Теперь вам известны большее основание и стороны. Для вычисления периметра этого мало, нужен еще размер меньшего основания. Соответственно, в двух образовавшихся внутри трапеции треугольниках надо найти размеры отрезков AE и DF. Это можно сделать, например, через косинусы известных вам углов А и D. Косинус – это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Чтобы найти катет, нужно гипотенузу умножить на косинус. Дальше периметр вычислите по той же формуле, что и в первом шаге, то есть сложив все стороны.

Еще один вариант: даны два основания, высота и одна из сторон, нужно найти вторую сторону. Это также лучше делать с использованием тригонометрических функций. Для этого начертите трапецию. Допустим, вам известны основания АD и ВС, а также сторона АВ и высота BF. По этим данным вы можете найти угол A (через синус, то есть отношение высоты к известной стороне), отрезок АF (через косинус или тангенс, поскольку угол вам уже известен. Вспомните также свойства углов трапеции – сумма углов, прилежащих к одной стороне, составляет 180°.

Проведите высоту CF. У вас получился еще один прямоугольный треугольник, в котором вам нужно найти гипотенузу CD и катет DF. Начните с катета. Вычтите из длины нижнего основания длину верхнего, а из полученного результата – длину уже известного вам отрезка АF. Теперь в прямоугольном треугольнике СFD вам известны два катета, то есть вы можете найти тангенс угла D, а по нему – и сам угол. После этого останется через синус этого же угла вычислить сторону CD, как уже было описано выше.

Видео по теме