Разные виды чисел. Научный форум dxdy

*Привыкшие к требовательности мисс Дэвис ученики, появились в классе за несколько минут до конца перемены. Никто не спешил доставать пергаменты и перья, зная, что с началом лекции те сами появятся на партах. Вместо этого студенты принялись наблюдать за тем, как мисс Дэвис при помощи магии развешивает на доске многочисленные графики, таблицы и диаграммы, один вид которых мог нагнать уныние и тоску*
- Вижу, многие из вас уже успели ознакомиться с материалом лекции - *коротко поприветствовав собравшихся, продолжила чародейка* - Наша с вами задача на сегодня – сделать так, чтобы этот материал был вами не только увиден, но и понят - *звон школьного колокола прервал Эйн и та досадливо поморщилась*
//Материала, как обычно, много, а времени, как всегда, не хватает. И на Нумерологию в школьной программе отведено так мало часов//
- Не будем терять время и начнем прямо сейчас.
*Ужас, застывший на лицах некоторых студентов, явственно намекал на то, что они сейчас с удовольствием занялись бы не громоздкими и сложными вычислениями, а чем-нибудь другим. Но профессор была неумолима*
- На прошлых занятиях мы познакомились с различными алфавитными нумерациями. А с сегодняшнего дня начнем знакомиться с их применением в нумерологических вычислениях. И начнем с тех из них, которые были разработаны нумерологами Древней Греции.
- Например, с психоматрицы Пифагора? - *уточнила рыжеволосая старшекурсница за первой партой*
- Не путайте, мисс Гаррет - *предупредила ее профессор* - Психоматрица и квадрат Пифагора – это совершенно разные вещи. В основе психоматрицы лежит квадрат Пифагора, а не наоборот. Она появилась гораздо позже и была разработана русскими нумерологами вдали от территории современной Греции. Методики расчета и анализа результатов в обоих случаях различаются так сильно, что говорить о слиянии психоматрицы и квадрата Пифагора не приходится. И, раз уж мы заговорили о Пифагоре, то с него, пожалуй, и начнем. Для тех, кто не помнит, как выглядит этот древний ученый муж, напомню – именно так - *повинуясь легкому взмаху палочки волшебницы, на доску отправился довольно большой портрет*

Он родился в 570 году до нашей эры на острове Самос, в семье Мнесарха и Партениды. О том, чем же на самом деле занимались родители Пифагора, точных сведений нет. Одни называют Мнесарха самосским камнерезом, другие – финикийским купцом из Тира, переехавшим на Самос и женившимся на знатной гречанке. Рождение Пифагора было предсказано дельфийской прорицательницей Пифией. Волшебница сказала, что сын Мнесарха «принесет столько пользы и добра людям, сколько не приносил и не принесет в будущем никто другой». Счастливый отец решил назвать новорожденного Пифагором, и даже жене дать имя Пифаида. Мальчик и впрямь оказался очень одаренным – в 18 лет он отправился в Египет, имея при себе рекомендательное письмо от самого Поликрата. Там Пифагор постигал знания, недоступные простым чужеземцам, и потратил на это 22 года. Еще 12 лет обучения прошли в Вавилоне, куда ученый попал после завоевания Египта царем Камбизом. Именно во время изучения египетских и вавилонских трактатов, Пифагор увлекся Нумерологией. Возвратившись на родной Самос 56-летним стариком, он задумался, почему его учителя, изучая влияние чисел на судьбы людей, оставляли без внимания влияние имен. Ведь любое имя может быть записано в виде определенной последовательности цифр. Да и знакомая всем нам ионийская нумерация была хорошим подспорьем для проверки ученым его гипотезы. Думал Пифагор и о несовершенстве существующей на тот момент классификации чисел. А точнее, о практически полном ее отсутствии. Идеи Пифагора людям того времени казались смелыми и необычными, но все же он сумел найти единомышленников. Ученики и последователи Пифагора позже объединились в некое подобие ордена и стали называться пифагорейцами. Именно пифагорейцами была создана принципиально новая классификация чисел, которая используется многими нумерологами и в наши дни - *девушка указала палочкой на один из плакатов, и изображение стало чуточку ярче, давая возможность даже студентам с галерки без труда прочитать написанное*

Четные	Нечетные
Четно-четные	Составные
Четно-нечетные	Несоставные
Нечетно-четные (Нечетно-нечетные)	Несоставные-составные
Совершенные
Сверхсовершенные
Несовершенные

- Нечетные числа – это числа, состоящие из двух частей, одна из которых четная, а вторая – нечетная. Например: 4 (четная часть) + 3 (нечетная часть) = 7. Нечетное число также можно записать в виде m=2k+1, где k € Z. То есть, k принадлежит множеству целых чисел, и дробные мы в этом случае не рассматриваем.
Четные числа – это числа, состоящие из двух частей, обе из которых либо четные, либо нечетные. Например: 4 (четная часть) + 4 (четная часть) = 8 = 5 (нечетная часть) + 3 (нечетная часть). Четное число также можно записать в виде m=2k, где k € Z. И здесь k тоже является частью множества целых чисел.
Магглы дали бы несколько иное, отличное от пифагорового, определение четности чисел. С их точки зрения четность – это характеристика целого числа. А четные числа – это такие целые числа, которые способны делиться на 2 без остатка. Нечетные числа, соответственно, нацело на 2 не делятся.
*Эйн указала палочкой на нижнюю часть плаката*
(6 + 6) = 12 = (7 + 5) – четное по Пифагору
12:2 = 6 – четное
12 = 2*6, где m=12, k=6
(10 + 5) = 15 – нечетное по Пифагору
15:2 = 7,5 - нечетное
15 = (2*7) + 1, где m=15, k=7
- В нумерологии гораздо чаще используется именно то определение четных и нечетных чисел, которое дал Пифагор.
Составные числа – это числа, которые делятся без остатка на самих себя, единицу и некоторые другие делители. Например: 9 (1; 3; 9), 15 (1; 3; 5; 15) 27 (1; 3; 9; 27), 33 (1; 3; 11; 33) и так далее.
Несоставные числа - это числа, которые делятся без остатка на самих себя и единицу. Например: 3 (1 и 3), 5 (1 и 5), 7 (1 и 7), 11 (1 и 11), 13 (1 и 13) и так далее. Такие числа некоторые нумерологи еще называют линейными. С точки зрения пифагорейцев, их можно изобразить в виде линии, состоящей из последовательно стоящих друг за другом точек.
Несоставные-составные числа – это числа, которые не имеют общего делителя, но каждое из них само по себе делимо. Например: 9 (1; 3; 9) и 25 (1; 5; 25). Как видим, такого общего числа, на которое и 9, и 25 делились бы без остатка, действительно нет. Эти числа всегда рассматриваются в паре.
С четными числами все немного сложнее.
Четно-четные числа - это числа, которые получаются путем удвоения, начиная с единицы. Например: 1, 2, 4, 8 и так далее. Пифагор считал эти числа совершенными, ведь каждое из них можно было поделить на 2 один или несколько раз, и так вплоть до получения 1. У четно-четных чисел есть ряд уникальных свойств. Так, сумма любого числа терминов 1, кроме последнего, всегда равна последнему за вычетом единицы. Страшно? - *спросила студентов Эйн* - Вовсе нет. Рассмотрим пример: (1+2+4+8)=(16-1). Ранее мы с вами уже говорили о том, что же такое четно-четные числа. И если бы нам захотелось записать последовательность этих чисел, мы бы получили вот такие результаты: 1, 2, 4, 8, 16, 32... Значит, следом за 8 должно идти число 16. Но, в соответствии со свойствами четно-четных чисел, при сложении первых четырех чисел мы получим не 16, а 15. Число, на один меньше того, которое могли бы ожидать, глядя на последовательность четно-четных чисел. Числовой ряд, состоящий из таких чисел, тоже имеет одно интересное свойство: первый член, умноженный на последний, дает последний до тех пор, пока в ряду с нечетным числом терминов не останется одно число. И если это число умножить на само себя, получится последнее число в ряду.
Четно-нечетные числа - это числа, которые можно разделить на 2 без остатка всего один раз. Например: 2, 6, 10, 14 и так далее. Если мы попробуем разделить на 2, к примеру, 10, то получим 5. Но если мы попробуем разделить на два 5, то целое число уже не получим. Точно так же все остальные четно-нечетные числа в ряду можно нацело разделить на 2 только один раз. Четно-нечетные числа получаются путем умножения нечетных чисел на 2. Например: 2 (1*2), 6 (3*2), 10 (5*2), 14 (7*2). У четно-нечетных чисел тоже есть свои уникальные свойства. Так, если такое число разделить на нечетный делитель, частное в любом случае будет четным. А если делитель такого числа четный, нечетным будет частное. Например:
14:7 (нечетный делитель)=2 (четное частное)
14:2 (четный делитель) = 7 (нечетное частное)
Числовой ряд таких числе тоже обладает своими собственными свойствами. Так, любое число в ряду является половиной суммы терминов по обе его стороны в ряду. Давайте разбираться в этой премудрости. Возьмем, к примеру, числа 10, 14 и 18. В нашем числовом ряду четно-нечетных чисел 10 и 18 будут стоять по обе стороны от числа 14: 2, 6, 10 , 14, 18 , 22. При этом 10+18=28. А 28:2=14. То есть, 14 действительно является половиной суммы своих соседей по ряду.
С третьим пунктом пифагоровой классификации дела обстоят несколько хуже. Ученые до сих пор спорят о том, как же именно называть эту группу чисел: нечетно-четными или нечетно-нечетными. В разной литературе вы можете встретить и то, и другое название. Поэтому лучше запомните оба, но знайте, что по сути это одно и то же. Нечетно-четные числа занимают промежуточную позицию между четно-четными и четно-нечетными числами. При их последовательном делении на 2 нельзя получить единицу, да, но зато их можно нацело делить на 2 больше одного раза. Нечетно-четные числа получаются путем умножения четно-четных чисел больше 2 на нечетные числа. Некоторые нечетно-четные числа образуются путем умножения ряда нечетных чисел на 4 и далее на весь ряд четно-четных чисел.
Чтобы понять, к какому виду относится то или иное четное число, его нужно разложить на составляющие. При этом количество частей, на которые будет разложено число, должно соответствовать количеству его делителей. Например, число 6. Оно делится на 2, 3, 1 и на само себя. Следовательно, 2+3+1=6; 6/6=1. Из этого мы можем сделать ввод о том, что:
Совершенные числа – это числа, сумма частей которых равна целому.
Но бывают и другие числа. Такие, например, как 18. Оно делится на 2, 9, 6, 3, 1 и на само себя. Следовательно, 2+9+3+6+1= 21; 18/18 =1. Сумма частей явно больше целого. В таком случае, число считается сверхсовершенным.
Сверхсовершенные числа - это числа, сумма частей которых превышает целое.
Рассмотрим еще один пример. Число 8. Оно делится на 2, 4, 1 и на само себя. Следовательно, 2+4+1=7; 8/8=1. Сумма частей меньше целого. А это значит, что мы подошли к понятию несовершенных чисел.
Несовершенные числа - это числа, сумма частей которых меньше целого.
- Профессор, а нечетные числа могут быть совершенными? - *уточнила серьезная девушка с гербом Хаффлпаффа на мантии*
*В классе раздались сдавленные смешки*
- Зря смеетесь - *одернула весельчаков волшебница* - Мисс Тайлер задала очень правильный вопрос. Действительно, нечетное число может быть совершенным. Правда, пока только в теории - *вздохнула девушка* - Ученым-нумерологам точно известно, что такое число должно иметь 9 простых делителей и 75 простых делителей с учетом кратности. Само число пока обнаружено не было, но никем не доказано, что оно не существует. Сейчас некоторые нумерологи занимаются поисками такого числа. Быть может, кому-нибудь из вас в будущем повезет стать его первооткрывателем.
- В зависимости от того, к какой группе относится то или иное число, оно обладает определенными свойствами - *продолжила лекцию чародейка* - И именно эти свойства влияют на судьбу человека. Четные числа пифагорейцы связывали с пассивным женским началом. Эти числа - отображение замкнутых процессов в природе и самом человеке, цикличных изменений в рамках единого целого. Четные числа могут влиять на что-то количественно, но не качественно. Нечетные числа, наоборот, обычно связывают с активным мужским началом. Они - отображение открытых систем и переходных процессов. Нечетные числа изменяют что-либо качественно, а не количественно.
- Совершенные числа самые лучшие - *крикнул вихрастый второкурсник с красной нашивкой на мантии*
*Профессор Дэвис нахмурилась: этого студента она не помнила, он был на лекции впервые*
- Верно, мистер… Уолтон - *сверяясь с журналом, ответила она* - Но впредь, не сочтите за труд, поднимайте руку. Действительно, Пифагор видел в совершенных числах символ добродетели, золотой середины между недостатком и излишеством. Чем больше совершенных чисел окружает человека, тем больше добродетелей в нем самом. Несовершенные же числа Пифагор называл символами порока. Соответственно, чем хуже человек, тем больше несовершенных чисел его окружает. Но об определенной степени влияния чисел на судьбу мы уже говорили на нашем первом занятии. Судьба поливариантна и выбор зачастую зависит только от нас самих. Числа являются нашими путеводными звездами, но сам путь выбираем мы. Поэтому говорить о том, что кто-то стал успешным только благодаря счастливой дате рождения, а кто-то родился под несчастливой звездой и потому вырос негодяем, нельзя. Но вернемся к нашей классификации. Впоследствии пифагорейцы существенно дополнили и расширили ее. Особенно отличились в этом деле Гиппас из Метапонта, Дамо, гипотетическая дочь Пифагора и Феано, Модерат из Кадиса, Тимей Локрийский, Феано, жена Пифагора, Филолай и Экфант из Сиракуз. Согласно работам этих пифагорейцев, числа бывают и вот такими - *профессор указала палочкой на очередной плакат, и тот сразу стал гораздо ярче и заметнее*

Продолжатели дела великого ученого долго спорили о том, можно ли считать ноль числом, а также о том, каким именно образом его классифицировать и в какую группу определить. Немало споров вызвала и единица. В результате ей была отведена важная роль первичного четно-нечетного числа. Именно она легла в основу дополненной классификации, созданной талантливыми нумерологами древности. В соответствии с этой классификацией:
Квадратные числа – это числа, получающиеся при сложении чисел нечетных. Например: 1+3=4; 1+3+5+7=16; 1+3+5=9; 3+13=16. Эти числа пифагорейцы иногда изображали в виде квадратов.
Прямоугольные числа - это числа, получающиеся при сложении чисел четных. Например: 2+4=6; 2+4+6=12.
Треугольные числа - это числа, получающиеся при сложении четных и нечетных чисел по порядку. Например: 1+2=3; 1+2+3=6; 1+2+3+4=10. Эти числа, с точки зрения пифагорейцев, могут быть изображены треугольниками.
Пятиугольные числа - эти числа, по мнению пифагорейцев, могут быть изображены пятиугольниками. К пятиугольным числам относят 5, 12 и 22.
Практически любое число может относиться ко всем трем категориям. В зависимости от тех или иных расчетов, оно может быть и квадратным, и треугольным, а также прямоугольным и пятиугольным.
- Теперь поговорим о том, какими же именно свойствами наделяли числа первые исследователи - *волшебница указала палочкой на большой плакат, испещеренный цифрами и их трактовками*

Число	Название	Изображение	Свойства
			Первичное четно-нечетное число, основа всего сущего. Число начинаний, положительной динамики и силы. Диоген Лаэртский отмечал, что из монады проистекает весь числовой ряд. Из монады исходит диада, из диады – все остальные числа, а из них - точки, линии, «двумерные» и «трехмерные сущности» и тела. Символизирует прямолинейность, независимость, лидерство и смелость, в несовершенном виде может символизировать агрессию и эгоизм.
			Вторичное число, выражающее принцип двойственности всего сущего. Самое «мягкое» число, символ сотрудничества и дипломатичности. Обычно диада встречается в дате рождения или имени будущего наставника и советника. Придает дополнительную жизненную силу, многие долгожители и здоровяки даже не подозревают о том, что этим они обязаны не только здоровому образу жизни и регулярным физическим нагрузкам.
			Самое прекрасное, с точки зрения пифагорейцев, число. Единственное из всех натуральных чисел представляет собой сумму своих предшественников. Единственное число, у которого сумма предшественников равна их же произведению. Триада – одно из чисел магии. Традиционно числами магической силы считаются 3, 7 и 11. Очень мощное созидательное и мотивационное число. Символизирует оптимизм, самовыражение и удачу.
			Еще одно любимое число пифагорейцев. Первое число, полученное путем сложения и умножения равных чисел. Символ справедливости, упорядоченности, точности и надежности. Человеку прививает любовь к порядку и правилам, анализу и систематизации, усиливает упорство в достижении цели, четность и искренность.
			Этот символ носили при себе все пифагорейцы. Благодаря ему они узнавали единомышленников. Число жизни, власти и неуязвимости. В своих трудах Никомах писал: «Правосудие – это пентада». Пифагорейцы считали пентаду священным числом, символом объединения мужского и женского начал, любви и брака.
			Число равновесия мироздания. Символ здоровья и неиссякаемой жизненной энергии.
			Пифагорейцы называли эннеаду «числом-горизонтом», разграничивающим числа первого и всех последующих десятков. Символ завершения, таланта, артистизма, идеализма и альтруизма.
			Число схождения, пифагорейцы видели в нем символ соединения земли и неба. Декаду было принято изображать в виде священного символа тетраксиса.

*Волшебница перевела палочку с таблицы на одно из изображений*

Очень часто вместо того изображения декады, которое дано в таблице, пифагорейцы писали вот такой священный знак тетраксис, символ гармонии и Вселенной. Конечно, их трактовку нельзя рассматривать как единственно правильную и верную. У нумерологов других стран этим числам могут быть даны совершенно иные характеристики. И все же пифагорейские характеристики пользуются большим уважением среди нумерологов. В ряде случае они очень полно и точно отражают истинную сущность большинства чисел. И…
*Но школьный колокол вновь самым наглым и беззастенчивым образом прервал профессора*
//Уже?//
*Девушка вытащила из кармана мантии серебряные часы на тонкой цепочке и убедилась в том, что время вышло и лекцию действительно пора завершать*
- На сегодня все. О квадрате Пифагора и других не менее интересных вещах поговорим на следующей лекции. Домашнее задание на доске - *Эйн раздвинула несколько плакатов и освободила немного места. Коснувшись доски волшебной палочкой, она дала студентам возможность переписать появившееся там задание*

Задания

1. Один из студентов на лекции поддался лени и не стал подробно записывать выдаваемую мисс Дэвис информацию. А теперь и сам запутался в собственных записях. Как вы думаете, о каких пифагорейских числах здесь идет речь? Аргументируйте.
   - Первичное всевидящее око
   - Два кольца здоровья
   - Тетрадка порядка
   - Вызови демона правосудия
   - Звезда равновесия
   - Многауглофф в голове мудреца
   - Первая кубическая штуковина
   - Лотос идеалиста
   - Три небесно-земных пламбоба в круге
2. Приведите минимум по одному примеру замкнутых количественных процессов в человеческом организме и открытых качественных в окружающей человека среде. Например, ежегодное взросление/старение человека на 1 год – это цикличный замкнутый количественный процесс.

Дополнительные задания

1. 1. Сочинение. Вам предстоит сложный экзамен, к которому вы не очень хорошо готовы. Услышав от однокурсников о том, что изображение одного из пифагорейских чисел на пергаменте приносит удачу при тестировании. Вы решаете попробовать. Какой именно знак вы нанесете на свой экзаменационный пергамент и почему?
2. 1. Доклад «Не так страшен знак, как его малюют». Пентаграмма не всегда была отрицательным символом – ее изображал на своих печатях Александр Македонский, а легендарный сэр Гавейн носил на своем щите. Расскажите о том, какой сложный историко-культурный путь прошел этот амбивалентный символ. (1000 символов)
3. 1. Ролевой отыгрыш «Семейная мелодрама». Вам крупно не повезло - ваша младшая сестра родилась сквибом. Пока родители не сообразили, что к чему, вы решили взять ситуацию в свои руки и исправить ее. Вам известно, что 3 с точки зрения пифагорейцев – это число магии. А значит, если окружить несчастную тройками, теоретически, в ней должна проснуться полноценная магия. Отыграйте свои попытки помочь и постарайтесь не попасться на глаза родителям, чтобы все тайное не стало явным.
4. 1. Задание на фантазию. Вам крупно повезло – вы являетесь личным нумерологом Волдеморта/Гарри Поттера (выбор персонажа на ваше усмотрение). Вы посоветовали своему патрону всегда иметь при себе знак тетраксиса – он должен обеспечить успех в любых делах. Однако ожидаемого успеха почему-то нет как нет, ваш патрон недоволен и намерен уволить вас на бумаге или посредством Авады. Постарайтесь сохранить не только свое место, но и жизнь. Задание можно оформить в виде ролевого отыгрыша.
5. (Эта лекция только для 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 курсов)

Цифровые устройства могут быть классифицированы по различным признакам. Так, в общем случае на входе цифрового устройства действуют п, а на выходе – т переменных, то есть присутствуют соответственно п- и m -разрядные коды. Поэтому цифровые устройства могут быть классифицированы по способу ввода-вывода переменных (информации). С этой точки зрения они подразделяются на последовательные, параллельные и последовательно-параллельные (смешанные).

Последовательным называется устройство, в котором входные переменные подаются на вход, а выходные переменные снимаются с выхода не одновременно, а последовательно, разряд за разрядом.

Параллельным называется устройство, в котором все разряды входных переменных подаются на вход и все разряды выходных переменных снимаются с выхода одновременно.

В последовательно-параллельных устройствах входные и вы­ходные переменные представлены в различных формах. Либо на вход переменные подаются последовательно символ за символом, а с выхода они снимаются одновременно либо наоборот.

По принципу действия все цифровые устройства делятся на два класса: комбинационные и последовательностные.

Комбинационными устройствами, или автоматами без памяти, называют цифровые устройства, выходные сигналы которых однозначно определяются только действующей в настоящий момент на входе комбинацией переменных и не зависят от значений переменных, действовавших на входе ранее.

Последовательностными устройствами, или автоматами с па­мятью, называют цифровые устройства, выходные сигналы которых определяются не только действующей в настоящий момент на входе комбинацией переменных, но и всей последовательностью входных переменных, действовавших в предыдущие моменты времени. Этот тип устройств часто называют цифровыми автоматами.

26.2 Кцу, реализующие элементарные логические функции

Как правило, в таких микросхемах содержится несколько однотипных элементов. Соответствие между логическими функциями, выполняемыми микросхемами, и буквами, которыми они кодируются, приведено в таблице 26.1.

Таблица 26.1 – Обозначения логических элементов

Наименование функции	Буквы кодировки
Буфер и инвертор
Логическое И
Логическое И-НЕ
Логическое ИЛИ-НЕ
Логическое ИЛИ
Логическое ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ

Самый простой логический элемент – это инвертор (логический элемент НЕ, «inverter»), уже упоминавшийся в таблице 24.2. Инвертор выполняет простейшую логическую функцию – инвертирование, то есть изменение уровня входного сигнала на противоположный. Он имеет всего один вход и один выход. Выход инвертора может быть типа 2С или типа ОК. В таблице 24.2 показаны условные обозначения инвертора, принятые в России, и его таблица истинности.

Две основные области применения инверторов – это изменение полярности сигнала и изменение полярности фронта сигнала (рисунок 26.1). То есть из положительного входного сигнала инвертор делает отрицательный выходной сигнал, и наоборот, а из положительного фронта входного сигнала – отрицательный фронт выходного сигнала, и наоборот. Еще одно важное применение инвертора – буферирование сигнала (с инверсией), то есть увеличение нагрузочной способности сигнала. Это бывает нужно в том случае, когда какой-то сигнал надо подать на много входов, а выходной ток источника сигнала недостаточен.

Рисунок 26.1 – Инверсия полярности сигнала (а)

и инверсия полярности фронта сигнала (б)

Следующим логическим элементом является буфер. Повторители и буферы отличаются от инверторов прежде всего тем, что они не инвертируют сигнал (правда, встречаются и инвертирующие буферы). Зачем же тогда они нужны? Во-первых, они выполняют функцию увеличения нагрузочной способности сигнала, то есть позволяют подавать один сигнал на много входов. Для этого имеются буферы с повышенным выходным током и выходом 2С. Во-вторых, большинство буферов имеют выход ОК или Z, что позволяет использовать их для получения двунаправленных линий или для мультиплексирования сигналов. Поясним подробнее эти термины.

Под двунаправленными линиями понимаются такие линии (провода), сигналы по которым могут распространяться в двух противоположных направлениях. В отличие от однонаправленных линий, которые идут от одного выхода к одному или нескольким входам, к двунаправленной линии могут одновременно подключаться несколько выходов и несколько входов (рисунок 26.2). Понятно, что двунаправленные линии могут организовываться только на основе выходов ОК или Z. Поэтому почти все буферы имеют именно такие выходы.

Рисунок 26.2 – Двунаправленная линия

Мультиплексированием называется передача разных сигналов по одним и тем же линиям в разные моменты времени. Основная цель мультиплексирования состоит в сокращении общего количества соединительных линий. Двунаправленная линия обязательно является мультиплексированной, а мультиплексированная линия может быть как однонаправленной, так и двунаправленной. Но в любом случае к ней присоединяются несколько выходов, только один из которых в каждый момент времени находится в активном состоянии. Остальные выходы в это время отключаются (переводятся в пассивное состояние). В отличие от двунаправленной линии, к мультиплексированной линии, построенной на основе буферов, может быть подключен всего лишь один вход, но обязательно несколько выходов с ОК или Z (рисунок 26.3).

Мультиплексированные линии могут строиться не только на буферах, но и на микросхемах мультиплексоров, которые будут рассмотрены в следующей лекции.

Рисунок 26.3 – Однонаправленная мультиплексированная линия на основе буферов

Точно так же, как и в случае инверторов с ОК, выходы нескольких буферов с ОК могут объединяться для получения функции «Монтажное И», то есть на выходе будет сигнал логической единицы только при единицах на всех входах (рисунок 26.4). То есть реализуется многовходовой элемент И.

Рисунок 26.4 – Объединение выходов буферов с ОК

Буферы с выходом Z представлены гораздо большим количеством микросхем. Эти буферы обязательно имеют управляющий вход EZ (или OE), переводящий выходы в третье, пассивное состояние. Как правило, третьему состоянию соответствует единица на этом входе, а активному состоянию выходов – нуль, то есть сигнал EZ имеет отрицательную полярность.

Буферы бывают однонаправленные или двунаправленные, с инверсией или без инверсии сигналов, с управлением всеми выходами одновременно или с управлением группами выходов. Всем этим и определяется большое разнообразие микросхем буферов.

Таблица истинности (таблица 26.2) буфера с Z-состоянием на выходе несколько отличается от стандартной таблицы истинности буфера (см. таблицу 24.2).

Таблица 26.2 – Таблица истинности буфера без инверсии

Таким образом, при нулевом сигнале на входе управления выход повторяет вход, а при единичном – выход отключен. УГО буфера с Z-состоянием показано на рисунке 26.5.

Рисунок 26.5 – УГО буфера с управляющим входом и Z-

состоянием на выходе

Следующий шаг на пути усложнения компонентов цифровой электроники – это элементы, выполняющие простейшие логические функции. Объединяет все эти элементы то, что у них есть несколько равноправных входов (от 2 до 12) и один выход, сигнал на котором определяется комбинацией входных сигналов.

Самые распространенные логические функции – это И (в отечественной системе обозначений – ЛИ), И-НЕ (обозначается ЛА), ИЛИ (обозначается ЛЛ) и ИЛИ-НЕ (обозначается ЛЕ). Присутствие слова НЕ в названии элемента обозначает только одно – встроенную инверсию сигнала.

Название самих функций И и ИЛИ говорит о том, при каком условии на входах появляется сигнал на выходе. При этом важно помнить, что речь в данном случае идет о положительной логике, о положительных, единичных сигналах на входах и на выходе.

Элемент И формирует на выходе единицу тогда и только тогда, если на всех его входах (и на первом, и на втором, и на третьем и т.д.) присутствуют единицы. Если речь идет об элементе И-НЕ, то на выходе формируется нуль, когда на всех входах – единицы (см. таблицу 24.2). Цифра перед названием функции говорит о количестве входов элемента. Например, 8И-НЕ – это восьмивходовой элемент И с инверсией на выходе.

Любой из логических элементов рассматриваемой группы можно рассматривать как управляемый пропускатель входного сигнала (с инверсией или без нее).

Например, в случае элемента 2И-НЕ один из входов можно считать информационным, а другой – управляющим. В этом случае при единице на управляющем входе выходной сигнал будет равен проинвертированному входному сигналу, а при нуле на управляющем входе выходной сигнал будет постоянно равен единице, то есть прохождение входного сигнала будет запрещено. Элементы 2И-НЕ с выходом ОК часто используют именно в качестве управляемых буферов для работы на мультиплексированную или двунаправленную линию.

Точно так же в качестве элемента разрешения/запрещения могут применяться элементы И, ИЛИ, ИЛИ-НЕ (рисунок 26.6). Разница между элементами состоит только в полярности управляющего сигнала, в инверсии (или ее отсутствии) входного сигнала, а также в уровне выходного сигнала (нуль или единица) при запрещении прохождения входного сигнала.

Рисунок 26.6 – Разрешение/запрещение прохождения сигналов

на элементах И, И-НЕ, ИЛИ, ИЛИ-НЕ

При использовании элементов разрешения/запрещения могут возникнуть дополнительные проблемы в случае, когда сигнал с выхода элемента идет на вход, реагирующий на фронт сигнала. В момент перехода из состояния разрешения в состояние запрещения и из состояния запрещения в состояние разрешения в выходном сигнале может появиться дополнительный фронт, никак не связанный с входным сигналом (рисунок 26.7). Чтобы этого не произошло, надо придерживаться следующего простого правила: если вход реагирует на положительный фронт, то в состоянии запрещения на выходе элемента должен быть нуль, и наоборот.

Рисунок 26.7 – Появление лишнего фронта при запрещении

входного сигнала

Элементы И, И-НЕ, ИЛИ, ИЛИ-НЕ могут использоваться также в качестве инверторов или повторителей (рисунок 26.8), для чего необходимо объединить входы или на неиспользуемые входы подать сигнал нужного уровня. Второе предпочтительнее, так как объединение входов не только увеличивает входной ток, но и несколько снижает быстродействие элементов.

Рисунок 26.8 – Инверторы и повторители

Элементы Исключающее ИЛИ также можно было бы отнести к простейшим элементам, но функция, выполняемая ими, несколько сложнее, чем в случае элемента И или элемента ИЛИ. Все входы элементов Исключающее ИЛИ равноправны, однако ни один из входов не может заблокировать другие входы, установив выходной сигнал в уровень единицы или нуля.

Как уже упоминалось под функцией Исключающее ИЛИ понимается следующее: единица на выходе появляется тогда, когда только на одном входе присутствует единица. Если единиц на входах две или больше или если на всех входах нули, то на выходе будет нуль. Таблица истинности двухвходового элемента Исключающее ИЛИ приведена в таблице 24.2. Надпись в отечественном обозначении элемента Исключающее ИЛИ «=1» как раз и обозначает, что выделяется ситуация, когда на входах одна и только одна единица.

С точки зрения математики, элемент Исключающее ИЛИ выполняет операцию так называемого суммирования по модулю 2. Поэтому эти элементы также называются сумматорами по модулю два.

Основное применение элементов Исключающее ИЛИ, прямо следующее из таблицы истинности, состоит в сравнении двух входных сигналов. В случае, когда на входы приходят две единицы или два нуля (сигналы совпадают), на выходе формируется нуль (см. таблицу 24.2). Обычно при таком применении на один вход элемента подается постоянный уровень, с которым сравнивается изменяющийся во времени сигнал, приходящий на другой вход.

В качестве сумматора по модулю 2 элемент Исключающее ИЛИ используется также в параллельных и последовательных сумматорах по модулю 2, служащих для вычисления циклических контрольных сумм.

Важное применение элементов ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ – это управляемый инвертор (рисунок 26.9). В этом случае один из входов элемента используется в качестве управляющего, а на другой вход элемента поступает информационный сигнал. Если на управляющем входе единица, то входной сигнал инвертируется, если же нуль – не инвертируется. Чаще всего управляющий сигнал задается постоянным уровнем, определяя режим работы элемента, а информационный сигнал является импульсным. То есть элемент ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ может изменять полярность входного сигнала или фронта, а может и не изменять в зависимости от управляющего сигнала.

Рисунок 26.9 – Элемент ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ как

управляемый инвертор

Еще одно важнейшее применение элемента ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ – формирование коротких импульсов по любому фронту входного сигнала (рисунок 26.10).

Рисунок 26.10 – Выделение фронтов входного сигнала

с помощью элемента ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ

В данном случае не важно, положительный фронт входного сигнала или отрицательный, на выходе все равно формируется положительный импульс. Входной сигнал задерживается с помощью конденсатора или цепочки элементов, а затем исходный сигнал и его задержанная копия поступают на входы элемента ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ. В обеих схемах в качестве элементов задержки используются также двувходовые элементы ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ в неинвертирующем включении (на неиспользуемый вход подается нуль). В результате такого преобразования можно говорить об удвоении частоты входного сигнала, так как выходные импульсы следуют вдвое чаще, чем входные.

Числа можно разбить на множества, в следующем порядке возрастания мощности -

1. Множество - множество простых чисел (не имеет простых делителей, кроме самого себя).
2. Множество - множество натуральных чисел.
3. Множество - множество целых чисел (это натуральные, ноль, и целые отрицательные).
4. Множество - множество рациональных чисел (это целые числа, либо числа, которые представимы в виде дроби, в числителе и знаменателе которой целые числа. Десятичная запись рациональных либо конечна, либо представима в виде дроби, в которой обязательно есть периодическое повторение).

5. Множество - подмножество действительных чисел, которые представимы в виде радикалов над полем действительных чисел. Сюда включаются все рациональные (Q), а также некоторые иррациональные, например, . Более точно - в этом множестве числа, которые можно представить в виде записи с возведением в степень, где в степени будет рациональное число, а любое число которое возводится в степень - рациональное положительное.

6. Множество - подмножество действительных чисел, которые представимы в виде радикалов над полем комплексных чисел. Сюда включаются все рациональные (Q), а также некоторые иррациональные, например, , которое окажется действительным в итоге. Более точно - в этом множестве числа, которые можно представить в виде записи с возведением в степень, где в степени будет рациональное число, а число которое возводится в степень - рациональное, и может быть отрицательным.

Отличие множества 6 от множества 5. Например, корни уравнения,
, равны .
Вместе с тем, известно, что кубические уравнения разрешимы в радикалах . Это значит, что эти же корни можно представить в виде записи с числами, мат.операциями, и степенями.

Вопрос. У меня предположение, что части этой записи - будут комплексными числами, т.е. там не обойтись без . Будут корни из отрицательных чисел обязательно. Верно ли предположение?

Если предположение верно, то всегда действительные корни кубических уравнений -- принадлежат множеству , но они могут не принадлежать множеству . А вот корни квадратного уравнения всегда принадлежат маломощному множеству .

Вопрос. Всегда ли синус от аргумента (в градусах) представленного в виде рационального числа - принадлежит множеству (или даже ), т.е. всегда ли его можно выразить в радикалах?

Но перейдем к еще более мощному множеству чисел. Действительные корни уравнения 5-й степени, вообще не всегда могут быть выражены в радикалах, т.е. они могут не входить даже в , но есть такое множество, куда они входят -

7. Множество - множество алгебраических чисел, (подмножество действительных чисел) . В это множество входят все возможные действительные корни всех возможных алгебраических уравнений, любых степеней, и с любыми рациональными коэффициентами.

Какие более мощные множества, чем , рассматриваются в математике (не считая самых широких множеств - действительных и комплексных)? Я более мощных не встречал, обычно, если число не входит в то его просто называют трансцендентным. А я бы ввел еще одно множество -

8. Множество - множество чисел, которые могут быть корнями любого математического уравнения (не обязательно алгебраического), с любыми известными функциями (типа синус, дзета-функция, интегральный логарифм и т.д.), которые могут быть разложены представлены в виде ряда или нескольких рядов. Назовем такие числа АНАЛИТИЧЕСКИМИ. Проще говоря - можно задать описание конечных размеров, такое что, по этому описанию можно найти любую цифру после запятой данного числа - до бесконечности.

До сих пор все рассматриваемые множества были подмножествами следующего, т.е. подмножество , и т.д. - подмножество . Следующее множество, - отдельное ( в него не входит), но самое мощное.

9. Множество - множество хаотических чисел. (хаотических - мое определение). Это множество всех действительных чисел, которые не входят в . Если число входит в , то никакими математическими описаниями конечных размеров (не важно - рядами, или функциями и т.п.), это число невозможно представить, т.е. если мы зададим описание конечных размеров, то мы не сможем по этому описанию найти любую цифру после запятой данного числа - до бесконечности.

10. Множество - множество ВСЕХ действительных чисел. Это объединение непересекающихся множеств и . Причем множество в множестве - имеет меру нуль. Т.е. в множестве действительных чисел - большинство чисел - хаотические, и меньшинство - аналитические.

11. Множество - множество всех комплексных чисел. Можно было разбить и его на аналогичные подмножества (алгебраические комплексные, аналитические, хаотические и др.) но уже думаю, необязательно.

Правильна моя классификация? Какие еще у математиков есть множества, являющиеся подмножествами трансцендентных, но не являющиеся алгебраическими числами?

Что такое число? ЧИСЛО - одно из основных понятий математики, зародилось в глубокой древности и постепенно расширялось и обобщалось. В связи со счётом отдельных предметов возникло понятие о целых положительных (натуральных) числах, а затем идея о безграничности натурального ряда чисел: 1, 2, 3, Натуральные числа – это числа, используемые при счёте предметов. 1

История. На раскопках стойбища древних людей нашли волчью кость, на которой 30 тысяч лет тому назад, какой – то древний охотник нанёс пятьдесят пять зарубок. Видно, что, делая эти зарубки, он считал по пальцам. Узор на кости состоял из одиннадцати групп, по пять зарубок в каждой. При этом первые пять групп он отделил от остальных длинной чертой. Также в Сибири и в других местах были найдены, сделанные в ту же далёкую эпоху каменные орудия и украшения, на которых тоже были чёрточки и точки, сгруппированные по 3, по 5 или по 7.Кельты - древний народ, живший в Европе 2500 лет тому назад, являющиеся предками французов и англичан, считали двадцатками (две руки и две ноги давали двадцать пальцев). Следы этого сохранились во французском языке, где слово «восемьдесят» звучит как «четыре раза двадцать». Двадцатками считали и другие народы – предки датчан и голландцев, осетин и грузин. 2

Чётные и нечётные числа. Чётное число целое число, которое делится без остатка на 2: …, 2, 4, 6, 8, … Нечётное число целое число, которое не делится без остатка на 2: …, 1, 3, 5, 7, 9, … Пифагор определяя число как энергию и считал, что через науку о числах раскрывается тайна Вселенной, ибо число заключает в себе тайну вещей. Чётные числа Пифагор считал женскими, а нечётные – мужскими: 2+3=5 5- это символ семьи, брака. Чётные и нечётные числа = женские и мужские числа. 4

Простые и составные. Простое число – это натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя. Последовательность простых чисел начинается так: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, … Составные числа- это числа имеющие 3 и больше делителей. Изучением свойств простых чисел занимается теория чисел. Таким образом, все натуральные числа больше единицы разбиваются на простые и составные. 5

Совершенные и несовершенные числа. Совершенные числа, целые положительные числа, равные сумме всех своих правильных (т. е. меньших этого числа) делителей. Например, числа 6 = и 28 = являются совершенными. До сих пор (1976) неизвестно ни одного нечётного Сов. ч. и вопрос о существовании их остаётся открытым. Исследования о Сов. ч. были начаты пифагорейцами, приписывавшими особый мистический смысл числам и их сочетаниям. Несовершенными Пифагор называл числа, сумма правильных делителей, которых меньше его самого. 6

Магические числа. Секреты чисел привлекают людей, заставляют вникать, разбираться, сравнивать свои выводы с реальным соотношением дел. К цифрам в древнем мире относились очень трепетно. Люди, познавшие их, считались великими, их приравнивали к божествам. Самый простой пример – это отсутствие во многих странах самолётов с бортовым номером 13, этажей и номеров в гостиницах с номером «13». 8

Магический ряд 2 – число равновесия и контраста, и поддерживающие устойчивость, смешивающие позитивные и негативные качества. 6 – Символ надёжности. Это идеальное число, которое делится как на чётное число(2), так и на нечётное(3), таким образом, объединяя элементы каждого. 8 – Число материального успеха. Оно означает надёжность, доведённую до совершенства, поскольку представлено двойным квадратом. Разделённое пополам, оно имеет равные части (4 и 4). Если его ещё разделить, то части будут тоже равными (2, 2, 2, 2), показывая четырёхкратное равновесие. 9 – Число всеобщего успеха, самое большое из всех цифр. Как трёхкратное числу 3, девятка превращает неустойчивость в стремление. 10