Самые часто задаваемые вопросы

Возможно ли, изготовить печать на документе по предоставленному образцу? Ответ Да, возможно. Отправьте на наш электронный адрес скан-копию или фото хорошего качества, и мы изготовим необходимый дубликат.

Какие виды оплаты вы принимаете? Ответ Вы можете оплатить документ во время получения на руки у курьера, после того, как проверите правильность заполнения и качество исполнения диплома. Также это можно сделать в офисе почтовых компаний, предлагающих услуги наложенного платежа.
Все условия доставки и оплаты документов расписаны в разделе «Оплата и доставка». Также готовы выслушать Ваши предложения по условиям доставки и оплаты за документ.

Могу ли я быть уверена, что после оформления заказа вы не исчезнете с моими деньгами? Ответ В сфере изготовления дипломов у нас достаточно длительный опыт работы. У нас есть несколько сайтов, который постоянно обновляются. Наши специалисты работают в разных уголках страны, изготавливая свыше 10 документов день. За годы работы наши документы помогли многим людям решить проблемы трудоустройства или перейти на более высокооплачиваемую работу. Мы заработали доверие и признание среди клиентов, поэтому у нас совершенно нет причин поступать подобным образом. Тем более, что это просто невозможно сделать физически: Вы оплачиваете свой заказ в момент получения его на руки, предоплаты нет.

Могу я заказать диплом любого ВУЗа? Ответ В целом, да. Мы работаем в этой сфере почти 12 лет. За это время сформировалась практически полная база выдаваемых документов почти всех ВУЗов страны и за разные года выдачи. Все, что Вам нужно – выбрать ВУЗ, специальность, документ, и заполнить форму заказа.

Что делать при обнаружении в документе опечаток и ошибок? Ответ Получая документ у нашего курьера или в почтовой компании, мы рекомендуем тщательно проверить все детали. Если будет обнаружена опечатка, ошибка или неточность, Вы имеете право не забирать диплом, при этом нужно указать обнаруженные недочеты лично курьеру или в письменном виде, отправив письмо на электронную почту.
В кратчайшие сроки мы исправим документ и повторно отправим на указанный адрес. Разумеется, пересылка будет оплачена нашей компанией.
Чтобы избежать подобных недоразумений, перед тем, как заполнять оригинальный бланк, мы отправляем на почту заказчику макет будущего документа, для проверки и утверждения окончательного варианта. Перед отправкой документа курьером или почтой мы также делаем дополнительное фото и видео (в т. ч. в ультрафиолетовом свечении), чтобы Вы имели наглядное представление о том, что получите в итоге.

Что нужно сделать, чтобы заказать диплом в вашей компании? Ответ Для заказа документа (аттестата, диплома, академической справки и др.) необходимо заполнить онлайн-форму заказа на нашем сайте или сообщить свою электронную почту, чтобы мы выслали вам бланк анкеты, который нужно заполнить и отправить обратно нам.
Если вы не знаете, что указать в каком-либо поле формы заказа/анкеты, оставьте их незаполненными. Всю недостающую информацию мы потому уточним в телефонном режиме.

Последние отзывы

Виктор:

Очень доволен своим дипломом. Спасибо. Если бы Вы еще паспорта научились делать, это было бы идеально.

Карина:

Сегодня получила свой диплом. Спасибо за качественную работу. Все сроки тоже соблюдены. Обязательно буду рекомендовать Вас всем своим знакомым.

1)
; 2)
; 3)
;

3)
; 5)
; 6)
;

7)
; 8)
; 9)
;

10)
; 11)
; 12)
;

13)
.

Кроме этих формул используются еще такие:

14) многочлен на
эквивалентен старшему члену, а в нулемладшему;

15)
при
, если только
и
;

16)
,
при
(
,
);

17)
при
.

Часть этих формул была получена в §10. Выведем еще несколько других:

5)
;

10)
;

15) Пусть , Тогда
, т.е.

(в широком смысле).

IV Использование эквивалентностей для вычисления пределов

Теорема. Пусть
, а
при
. Если
, то и
.

Доказательство.

Практический вывод. При вычислении пределов частных и произведений функций каждую из них можно заменить эквивалентной.

Примеры.

4.

.

Здесь были использованы эквивалентности для синуса, логарифма, арктангенса, степенной функции и выражения типа многочлена (алгебраической суммы степеней переменной с неотрицательными показателями, а не только натуральными, как в обычном многочлене).

5. Вычислим предел
. Используя основное логариф-мическое тождество, свойство логарифма степени и непрерывность функции
, получим:

Выведем нужную здесь формулу эквивалентности при
:

Итак,
.

6. Приведем ряд примеров «подгонки» под табличную форму эквивалент-ности:

при
;

при
;

при
.

Замечание-предостережение. Использовать эквивалентности (в указанной форме
) в суммах, разностях функций и под знаками функций, вообще говоря, нельзя. Исключение составляет степенная функция, т.е., если
, то
,
.

Однако, существует другая форма эквивалентностей, которую можно использовать везде. Эту форму рассмотрим в следующей части параграфа.

V Асимптотические формулы

В силу второго определения эквивалентности соотношения
равносильно
или
. Таким образом, таблицу эквивалентностей можно записать в форме т.н. асимптотических формул. Приведем лишь некоторые из них. Все остальные студенты должны уметь выводить самостоятельно.

Итак, при
:

,
,

,
,

Эти асимптотические формулы можно применять в суммах, разностях и под знаками функций. Однако, не всегда они дают ответ на поставленный вопрос.

Примеры.

7.

.

Здесь использован тот факт, что по определению символа
имеем:
.

8. = – частное бесконечно малых может быть любым. Такая ситуация означает, что соответствующая асимптотическая формула недостаточно точная. В теме «Формулы Тейлора и Маклорена» будут даны уточнения:

,
.

Задача. Вычислить пределы:

а)
; б)
.

Лекция 7

§12. Понятие непрерывности функции

Рассмотрим функцию y = f (x ), определенную в точкеx 0 и в некоторой ее окрестности.

Определение 1. Функцияf (x x 0 , если

. (1)

Так как
, то соотношение (1) можно записать в следующем виде:

,

т.е. для непрерывной функции можно знак предела вносить под знак функции.

Дадим еще одно определение непрерывности равносильное определению 1. Для этого в равенстве (1) перенесем f (x 0) в левую часть и внесем под знак преде-

ла. Так как условия x
x 0 и (x – x 0)
0 равносильны, то получаем:

(2)

Разность x – x 0 называется приращением аргументаx в точкеx 0 и обозначаетсяΔx , а разностьf (x )– f (x 0) – приращением функции и обозначаетсяΔy . В этих обозначениях равенство (2) принимает вид:

. (3)

Это соотношение и есть еще одно определение непрерывности, которое можно сформулировать так:

Определение 2. Функцияf (x )называется непрерывной в точкеx 0 , если ее приращениеΔy = o (1)приΔx
0.

Пример. Докажем непрерывностьy = sinx в произвольной точкеx 0 .

Полученное выражение есть произведение ограниченной функции
на бесконечно малую (в силу леммы 2 §10
приΔx
0 ). По одному из свойств б.м. функций получаемΔy = o (1)приΔx
0, что и доказывает непрерывностьy = sinx в произвольной точкеx 0 .

Определение 3. Функцияf (x ) называется непрерывной в точкеx 0 слева (справа), если

.

Например, функция y = [x ]непрерывна справа в любой целой точке, т.к.[k + 0]= [k ]= k , в то же время слева она не является непрерывной[k – 0]= k – 1≠ [k ].

Из общих теорем о пределах функций легко получить такие результаты.

Теорема 1. Функцияf (x ) непрерывна в точкеx 0 тогда и только тогда, когда она непрерывна в этой точке, как справа, так и слева, т.е.

f (x 0 + 0)= f (x 0 – 0)= f (x 0)

Теорема 2. Пусть функцииf (x )иg(x )непрерывны в точкеx 0 , а функцияF (u )непрерывна в точкеu 0 = f (x 0).Тогда и функцииf (x )±g(x ), f (x )·g(x ), f (x ):g(x ) (при условииg(x 0)≠0 ) иF (f (x )) непрерывны в точкеx 0 .

Если бы мы могли доказать непрерывность всех основных элементарных функций (как мы это сделали для синуса), то из теоремы 2 мы получили бы еще один важный результат.

Теорема 3. Всякая элементарная функция непрерывна в любой точке ее области определения (входящей в эту область с некоторой окрестностью).

Определение 4. Говорят, что функцияf (x ) непрерывна на промежутке
, если она непрерывна в любой точке промежутка (в граничных точках промежутка подразумевается одностороння непрерывность).

Бесконечно малые функции.

Продолжаем учебный цикл «пределы для чайников», который открылся статьями Пределы. Примеры решений и Замечательные пределы . Если вы впервые на сайте, рекомендую также ознакомиться с уроком Методы решения пределов , который значительно улучшит вашу студенческую карму. В третьем мануале мы рассмотрели бесконечно большие функции , их сравнение, и сейчас настало время вооружиться лупой, чтобы после Страны великанов заглянуть в Страну лилипутов. Я провёл новогодние каникулы в культурной столице и вернулся в очень хорошем настроении, поэтому чтение обещает быть особо интересным.

В данной статье будут подробно разобраны бесконечно малые функции , с которыми вы на самом деле уже неоднократно сталкивались, и их сравнение. С невидимыми событиями вблизи нуля тесно связаны многие замечательные пределы , замечательные эквивалентности , и практическая часть урока, в основном, посвящена как раз вычислению пределов с использованием замечательных эквивалентностей.

Бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых

Что тут сказать… Если существует предел , то функция называется бесконечно малой в точке .

Существенным моментом утверждения является тот факт, что функция может быть бесконечно малой лишь в конкретной точке .

Начертим знакомую линию :

Данная функция бесконечно малА в единственной точке:
Следует отметить что, в точках «плюс бесконечность» и «минус бесконечность» эта же функция будет уже бесконечно большой : . Или в более компактной записи:

Во всех других точках, предел функции будет равен конечному числу, отличному от нуля.

Таким образом, не существует такого понятия как «просто бесконечно малая функция» или «просто бесконечно большая функция». Функция может быть бесконечно малой или бесконечно большой только в конкретной точке .

! Примечание : для краткости я часто буду говорить «бесконечно малая функция», подразумевая, что она бесконечно малА в рассматриваемой точке.

Таких точек может быть несколько и даже бесконечно много. Изобразим какую-нибудь непуганую параболу:

Представленная квадратичная функция является бесконечно малой в двух точках – в «единице» и в «двойке»:

Как и в предыдущем примере, на бесконечности данная функция является бесконечно большой:

Смысл двойных знаков :

Запись обозначает, что при , а при .

Запись обозначает, что и при , и при .
Прокомментированный принцип «расшифровки» двойных знаков справедлив не только для бесконечностей, но и для любых конечных точек, функций и ряда других математических объектов.

А теперь синус . Это пример, когда функция бесконечно малА в бесконечном количестве точек:

Действительно, синусоида «прошивает» ось абсцисс через каждое «пи»:

Заметьте, что сверху/снизу функция ограничена, и не существует такой точки, в которой бы она была бесконечно большой , синусу остаётся разве что облизываться на бесконечность.

Отвечу ещё на пару простых вопросов:

Может ли функция быть бесконечно малой на бесконечности?

Конечно. Таких экземпляров воз и маленькая тележка.
Элементарный пример: . Геометрический смысл данного предела, к слову, проиллюстрирован в статье Графики и свойства функций .

Может ли функция НЕ БЫТЬ бесконечно малой?
(в любой точке области определения )

Да. Очевидный пример – квадратичная функция, график которой (парабола) не пересекает ось . Обратное утверждение, кстати, в общем случае неверно – гипербола из предыдущего вопроса, хоть и не пересекает ось абсцисс, но бесконечно малА на бесконечности.

Сравнение бесконечно малых функций

Построим последовательность , которая стремится к нулю, и вычислим несколько значений трёхчлена :

Очевидно, что с уменьшением значений «икс», функция убегает к нулю быстрее всех остальных (её значения обведены красным цветом). Говорят, что функция , чем функции , а также более высокого порядка малости , чем . Но быстро бегать в Стране лилипутов – не есть доблесть, «тон задаёт» самый нерасторопный карлик , который, как и полагается боссу, идёт к нулю медленнее всех. Именно от него зависит, насколько быстро сумма приблизится к нулю:

Образно говоря, бесконечно малая функция «поглощает» всё остальное, что особенно хорошо видно по итоговому результату третьей строки. Иногда говорят, что более низкого порядка малости , чем и их сумма.

В рассмотренном пределе, всё это, конечно, не имеет особого значения, ведь в результате всё равно получается ноль. Однако «лилипуты-тяжеловесы» начинают играть принципиально важную роль в пределах с дробями. Начнём с примеров, которые, пусть редко, но встречаются в реальных практических работах:

Пример 1

Вычислить предел

Здесь неопределённость , и из вводного урока о пределах функций вспоминаем общий принцип раскрытия данной неопределённости: нужно разложить числитель и знаменатель на множители, а потом что-нибудь сократить:

На первом шаге в числителе выносим за скобки , а в знаменателе «икс». На втором шаге сокращаем числитель и знаменатель на «икс», устраняя тем самым неопределённость. Указываем, что оставшиеся «иксы» стремятся к нулю, и получаем ответ.

В пределе получилась баранка, следовательно, функция числителя более высокого порядка малости , чем функция знаменателя. Или короче: . Что это значит? Числитель стремится к нулю быстрее , чем знаменатель, именно поэтому в итоге и получился ноль.

Как и в случае с бесконечно большими функциями , ответ можно узнать заранее. Приём аналогичен, но отличается тем, что в числителе и в знаменателе нужно МЫСЛЕННО отбросить все слагаемые со СТАРШИМИ степенями, поскольку, как отмечалось выше, определяющее значение имеют медленные карлики:

Пример 2

Вычислить предел

Ноль на ноль…. Давайте сразу узнаем ответ: МЫСЛЕННО отбросим все старшие слагаемые (быстрых карликов) числителя и знаменателя:

Алгоритм решения, точно такой же, как и в предыдущем примере:

В данном примере знаменатель более высокого порядка малости, чем числитель . При уменьшении значений «икс», самый медленный карлик числителя (и всего предела) становится настоящим монстром по отношению к своему более быстрому оппоненту . Например, если , то – уже в 40 раз больше…. не монстр ещё, конечно, при данном значении «икс», но такой уже субъект с большим пивным животом.

И совсем простой демонстрационный предел:

Пример 3

Вычислить предел

Узнаем ответ, МЫСЛЕННО отбросив все старшие слагаемые числителя и знаменателя:

Решаем:

В результате получено конечное число. Хозяин числителя ровно в два раза толще начальника знаменателя. Это ситуация, когда числитель и знаменатель одного порядка малости .

На самом деле сравнение бесконечно малых функций давно фигурировало на предыдущих уроках:
(Пример №4 урока Пределы. Примеры решений );
(Пример №17 урока Методы решения пределов ) и т.д.

Напоминаю заодно, что «икс» может стремиться не только к нулю, но и к произвольному числу, а также к бесконечности.

Что принципиально важно во всех рассмотренных примерах?

Во-первых , предел должен вообще существовать в данной точке . Например, предела не существует. Если , то функция числителя не определена в точке «плюс бесконечность» (под корнем получается бесконечно большое отрицательное число). Подобные, казалось бы, вычурные примеры встречаются на практике: , как ни неожиданно, здесь тоже сравнение бесконечно малых функций и неопределённость «ноль на ноль». Действительно, если , то . …Решение? Избавляемся от четырёхэтажности дроби, получаем неопределённость и раскрываем её стандартным методом.

Возможно, начинающих изучать пределы сверлит вопрос: «Как так? Вот есть неопределённость 0:0, но на ноль же делить нельзя!». Совершенно верно, нельзя. Рассмотрим тот же предел . Функция не определена в точке «ноль». Но этого, вообще говоря, и не требуется, важно чтобы функция существовала В ЛЮБОЙ бесконечно близкой к нулю точке (или более строго – в любой бесконечно малой окрестности нуля).

ВАЖНЕЙШАЯ ОСОБЕННОСТЬ ПРЕДЕЛА, КАК ПОНЯТИЯ

состоит в том, что «икс» бесконечно близко приближается к некоторой точке , но «заходить туда» он «не обязан»! То есть для существования предела функции в точке не имеет значения , определена ли там сама функция или нет. Более подробно об этом можно прочитать в статье Пределы по Коши , ну а пока что вернёмся к теме сегодняшнего урока:

Во-вторых , функции числителя и знаменателя должны быть бесконечно малЫ в данной точке . Так, например, предел совсем из другой команды, здесь функция числителя не стремится к нулю: .

Систематизируем информацию о сравнении бесконечно малых функций:

Пусть – бесконечно малые функции в точке (т.е. при ) и существует предел их отношений . Тогда:

1) Если , то функция более высокого порядка малости , чем .
Простейший пример: , то есть кубическая функция более высокого порядка малости, чем квадратичная.

2) Если , то функция более высокого порядка малости , чем .
Простейший пример: , то есть квадратичная функция более высокого порядка малости, чем линейная.

3) Если , где – ненулевая константа, то функции имеют одинаковый порядок малости .
Простейший пример: , иными словами, карлик бежит к нулю строго в два раза медленнее, чем , и «дистанция» между ними сохраняется постоянной.

Наиболее интересен частный случай, когда . Такие функции называют бесконечно малыми эквивалентными функциями .

Перед тем как привести элементарный пример, поговорим о самом термине. Эквивалентность. Данное слово уже встречалось на уроке Методы решения пределов , в других статьях и встретится ещё неоднократно. Что такое эквивалентность? Существует математическое определение эквивалентности, логическое, физическое и т.д., но попытаемся понять саму сущность.

Эквивалентность – это равнозначность (или равноценность) в каком-нибудь отношении . Самое время размять мышцы и немного отдохнуть от высшей математики. Сейчас на улице хороший январский морозец, поэтому очень важно хорошо утеплиться. Пожалуйста, пройдите в прихожую и откройте шкаф с одеждой. Представьте, что там висят два одинаковых тулупа, которые отличаются только цветом. Один оранжевый, другой фиолетовый. С точки зрения своих согревающих качеств, данные тулупы являются эквивалентными. И в первом, и во втором тулупе вам будет одинаково тепло, то есть выбор равноценен, что оранжевый надеть, что фиолетовый – без выигрыша: «один к одному равно одному». Но вот с точки зрения безопасности на дороге тулупы уже не эквивалентны – оранжевый цвет лучше заметен водителям транспорта, …да и патруль не остановит, потому что с обладателем такой одежды и так всё понятно. В этом отношении можно считать, что тулупы «одного порядка малости», условно говоря, «оранжевый тулуп» в два раза «безопаснее» «фиолетового тулупа» («который хуже, но тоже заметен в темноте»). А если выйти на мороз в одном пиджаке и носках, то разница будет уже колоссальной, таким образом, пиджак и тулуп – «разного порядка малости».

…зашибись, нужно запостить в Википедии со ссылкой на данный урок =) =) =)

Напрашивающийся пример бесконечно малых эквивалентных функций вам хорошо знаком – это функции первого замечательного предела .

Дадим геометрическое истолкование 1-го замечательного предела. Выполним чертёж:

Ну вот, крепкая мужская дружба графиков виднА даже невооруженным взглядом. А их и мама родная не отличит. Таким образом, если , то функции бесконечно малЫ и эквивалентны. А если разница ничтожно мала? Тогда в пределе синус вверху можно заменить «иксом»: , или «икс» внизу синусом: . По сути, получилось геометрическое доказательство первого замечательного предела =)

Аналогично, кстати, можно проиллюстрировать любой замечательный предел , который равен единице.

! Внимание! Эквивалентность объектов не подразумевает совпадение объектов! Оранжевый и фиолетовый тулупы эквивалентно теплЫ, но это разные тулупы. Функции практически неотличИмы вблизи нуля, но это две разные функции.

Обозначение : эквивалентность обозначается значком «тильда».
Например: – «синус икса эквивалентен иксу», если .

Из вышесказанного следует очень важный вывод: если две бесконечно малые функции эквивалентны, то одну можно заменить другой . Данный приём широко применяется на практике, и прямо сейчас мы увидим, каким образом:

Замечательные эквивалентности в пределах

Для решения практических примеров потребуется таблица замечательных эквивалентностей . Не многочленом единым жив студент, поэтому поле дальнейшей деятельности будет очень широким. Сначала с помощью теории бесконечно малых эквивалентных функций перещёлкаем примеры первой части урока Замечательные пределы. Примеры решений , в которой были найдены следующие пределы:

1) Решим предел . Заменим бесконечно малую функцию числителя на эквивалентную бесконечно малую функцию :

Почему можно провести такую замену? Потому что бесконечно близко вблизи нуля график функции практически совпадает с графиком функции .

В этом примере мы использовали табличную эквивалентность , где . Удобно, что в качестве параметра «альфа» может выступать не только «икс», но и сложная функция, которая стремится к нулю .

2) Найдём предел . В знаменателе используем эту же эквивалентность , в данном случае :

Обратите внимание, что синус изначально находился под квадратом, поэтому на первом шаге тоже необходимо целиком поместить под квадрат.

Не забываем и про теорию: в первых двух примерах получены конечные числа, значит, числители и знаменатели одного порядка малости .

3) Найдём предел . Заменим бесконечно малую функцию числителя эквивалентной функцией , где :

Здесь числитель более высокого порядка малости, чем знаменатель . Лилипут (и эквивалентный ему лилипут ) достигает нуля быстрее, чем .

4) Найдём предел . Заменим бесконечно малую функцию числителя эквивалентной функцией , где :

А здесь, наоборот, знаменатель более высокого порядка малости , чем числитель, карлик убегает к нулю быстрее карлика (и эквивалентного ему карлика ).

Следует ли использовать замечательные эквивалентности на практике? Следует, но далеко не всегда. Так, решение не очень сложных пределов (наподобие только что рассмотренных) нежелательно решать через замечательные эквивалентности. Вас могут упрекнуть в халтуре и заставить прорешать их стандартным образом с помощью тригонометрических формул и первого замечательного предела. Однако с помощью рассматриваемого инструмента очень выгодно осуществлять проверку решения или даже сразу узнавать правильный ответ. Характерен Пример №14 урока Методы решения пределов :

На чистовике целесообразно оформить немаленькое полное решение с заменой переменной. Но готовый ответ лежит на поверхности – мысленно используем эквивалентность : .

И ещё раз геометрический смысл: почему в числителе функцию допустимо заменить функцией ? Бесконечно близко вблизи нуля их графики можно отличить разве что под мощным микроскопом.

Помимо проверки решения, замечательные эквивалентности используются ещё в двух случаях:

– когда пример достаточно сложен или вообще неразрешим обычным способом;
– когда замечательные эквивалентности требуется применить по условию.

Рассмотрим более содержательные задания:

Пример 4

Найти предел

На повестке дня неопределённость «ноль на ноль» и ситуация погранична: решение можно провести стандартно, но преобразований будет много. С моей точки зрения, здесь вполне уместно использовать замечательные эквивалентности:

Заменим бесконечно малые функции эквивалентными функциями. При :

Вот и всё!

Единственный технический нюанс: изначально тангенс находился в квадрате, поэтому после замены аргумент тоже необходимо возвести в квадрат.

Пример 5

Найти предел

Данный предел разрешим через тригонометрические формулы и замечательные пределы , но решение опять же будет не сильно приятным. Это пример для самостоятельного решения, будьте особенно внимательными в ходе преобразования числителя. Если возникнет путаница со степенями, представьте его в виде произведения:

Пример 6

Найти предел

А вот это уже тяжёлый случай, когда провести решение стандартным образом весьма непросто. Используем замечательные эквивалентности:

Заменим бесконечно малые эквивалентными. При :

Получена бесконечность, значит, знаменатель более высокого порядка малости, чем числитель.

Резво практика пошла без верхней одежды =)

Пример 7

Найти предел

Это пример для самостоятельного решения. Подумайте, как разобраться с логарифмом;-)

Не редкость, когда замечательные эквивалентности используются в комбинации с другими методами решения пределов:

Пример 8

Найти предел функции, используя эквивалентные бесконечно малые величины и другие преобразования

Заметьте, что здесь требуется применить замечательные эквивалентности по условию.

Решаем:

На первом шаге используем замечательные эквивалентности. При :

С синусом всё понятно: . Что делать с логарифмом? Представим логарифм в виде и применим эквивалентность . Как вы понимаете, в данном случае и

На втором шаге применим приём, рассмотренный ещё на уроке

Самые часто задаваемые вопросы

Возможно ли, изготовить печать на документе по предоставленному образцу? Ответ Да, возможно. Отправьте на наш электронный адрес скан-копию или фото хорошего качества, и мы изготовим необходимый дубликат.

Какие виды оплаты вы принимаете? Ответ Вы можете оплатить документ во время получения на руки у курьера, после того, как проверите правильность заполнения и качество исполнения диплома. Также это можно сделать в офисе почтовых компаний, предлагающих услуги наложенного платежа.
Все условия доставки и оплаты документов расписаны в разделе «Оплата и доставка». Также готовы выслушать Ваши предложения по условиям доставки и оплаты за документ.

Могу ли я быть уверена, что после оформления заказа вы не исчезнете с моими деньгами? Ответ В сфере изготовления дипломов у нас достаточно длительный опыт работы. У нас есть несколько сайтов, который постоянно обновляются. Наши специалисты работают в разных уголках страны, изготавливая свыше 10 документов день. За годы работы наши документы помогли многим людям решить проблемы трудоустройства или перейти на более высокооплачиваемую работу. Мы заработали доверие и признание среди клиентов, поэтому у нас совершенно нет причин поступать подобным образом. Тем более, что это просто невозможно сделать физически: Вы оплачиваете свой заказ в момент получения его на руки, предоплаты нет.

Могу я заказать диплом любого ВУЗа? Ответ В целом, да. Мы работаем в этой сфере почти 12 лет. За это время сформировалась практически полная база выдаваемых документов почти всех ВУЗов страны и за разные года выдачи. Все, что Вам нужно – выбрать ВУЗ, специальность, документ, и заполнить форму заказа.

Что делать при обнаружении в документе опечаток и ошибок? Ответ Получая документ у нашего курьера или в почтовой компании, мы рекомендуем тщательно проверить все детали. Если будет обнаружена опечатка, ошибка или неточность, Вы имеете право не забирать диплом, при этом нужно указать обнаруженные недочеты лично курьеру или в письменном виде, отправив письмо на электронную почту.
В кратчайшие сроки мы исправим документ и повторно отправим на указанный адрес. Разумеется, пересылка будет оплачена нашей компанией.
Чтобы избежать подобных недоразумений, перед тем, как заполнять оригинальный бланк, мы отправляем на почту заказчику макет будущего документа, для проверки и утверждения окончательного варианта. Перед отправкой документа курьером или почтой мы также делаем дополнительное фото и видео (в т. ч. в ультрафиолетовом свечении), чтобы Вы имели наглядное представление о том, что получите в итоге.

Что нужно сделать, чтобы заказать диплом в вашей компании? Ответ Для заказа документа (аттестата, диплома, академической справки и др.) необходимо заполнить онлайн-форму заказа на нашем сайте или сообщить свою электронную почту, чтобы мы выслали вам бланк анкеты, который нужно заполнить и отправить обратно нам.
Если вы не знаете, что указать в каком-либо поле формы заказа/анкеты, оставьте их незаполненными. Всю недостающую информацию мы потому уточним в телефонном режиме.

Последние отзывы

Виктор:

Очень доволен своим дипломом. Спасибо. Если бы Вы еще паспорта научились делать, это было бы идеально.

Карина:

Сегодня получила свой диплом. Спасибо за качественную работу. Все сроки тоже соблюдены. Обязательно буду рекомендовать Вас всем своим знакомым.