Образовательный портал. Образование / Среднее образование и школа / Если проекции наклонных перпендикулярны то наклонные. Математика. полный курс повторювальний. Перпендикуляр и наклонные

Если проекции наклонных перпендикулярны то наклонные. Математика. полный курс повторювальний. Перпендикуляр и наклонные

04.05.2019

§ 1. Перпендикулярные и параллельные прямые

169. Перпендикуляр и наклонные.

Рассмотрим прямую АВ и точку М, не лежащую на ней (рис. 181).

Теорема. Через точку М можно провести прямую, перпендикулярную к данной, и притом только одну.

Здесь следует различать два отдельных утверждения: 1) перпендикуляр (хотя бы один!) существует; 2) существует не более одного перпендикуляра.

Чтобы определить типы линий, мы должны учитывать понятие точки: место в пространстве без измерений, то есть без длины, широты или высоты, только в одной позиции. Полупроводник или луч - это линия, начинающаяся с определенной точки, даже если она не имеет определенной конечной точки. Если точка фиксирована на неопределенной строке, она делит линию на две противоположные части, называемые лучами.

Прямолинейный сегмент переходит от одной точки к другой, имеет начало и конец. Он наиболее часто используется при изучении геометрии, является частью бесконечной линии и является его подмножеством, поскольку он является частью между двумя точками, закрепленными на этой линии.

Доказательство. 1. Существование перпендикуляра. Перегнем рис. 181 по прямой АВ так, чтобы точка

М совместилась с точкой М, лежащей по сравнению с I по другую сторону от прямой АВ. Расположенные так точки М и М называются симметричными относительно прямой АВ. Соединим и симметричную с ней точку М. Отрезок ММ пересечет АВ в некоторой точке . Покажем, что прямая АВ перпендикулярна к ММ. Действительно, углы смежные и при наложении «верхней» полуплоскости на «нижнюю» путем сгибания по прямой совпадут по построению и, значит, равны, т. е. каждый из них прямой.

Медиана - это линия, проходящая через вершину угла и разрезающая противоположную сторону в двух равных частях, то есть она делит ее пополам. Перпендикулярные линии представляют собой горизонтальную линию и вертикальную линию, которые связаны или вырезаются, образуя угол 90 градусов.

Перпендикуляр и наклонные

Параллельные линии - это две линии, которые разделены одним и тем же расстоянием во всем их расширении и никогда не соединяются, это также справедливо для кривых линий. Вертикальная линия - это та, которая объединяет точку земной поверхности с центром Земли.

2. Единственность. Теперь докажем единственность перпендикуляра. Двух перпендикуляров к АВ из точки М провести нельзя. Действительно, перпендикуляр к АВ при сгибе плоскости по АВ совместится со своим продолжением ввиду равенства смежных углов; если бы через М проходило два таких перпендикуляра, то они оба прошли бы через но точки М и М могут быть соединены только одной прямой. Итак, прямая ММ - единственный перпендикуляр, который можно опустить из на прямую АВ. Точка называется основанием перпендикуляра.

Трансверсальная линия - это та, которая пересекает или разрезает две параллельные линии, образующие восемь углов, которые отличаются от прямого угла (90 °). Прямая - это та, чьи точки находятся в одном направлении, указывающем на кратчайший путь между двумя точками.

Сломанная или многоугольная линия состоит из нескольких прямых сегментов, которые следуют по разным направлениям, соединенным вместе. Если сформирована замкнутая фигура, состоящая из нескольких сегментов прямых линий или сторон, это называется многоугольником.

Наклонная линия является наклонной относительно трех основных плоскостей. Он не параллелен или не перпендикулярен. Смешанная линия, имеющая общую точку с кривой. Он состоит из прямых и изогнутых деталей. Горизонтальная линия представляет собой направление, принимаемое жидкостью в контейнере.

Через точку, лежащую на прямой, также можно провести лишь один перпендикуляр к прямой. Для его построения достаточно приложить к данной прямой одну сторону прямого угла, тогда вторая его сторона дает искомый перпендикуляр. Таким образом, доказано, что через данную точку плоскости можно провести один и только один перпендикуляр к данной прямой (говорят: «опустить перпендикуляр», если точка не лежит на прямой, и «восставить перпендикуляр», если точка принадлежит прямой).

Закрытая изогнутая линия - это та, в которой все ее точки одинаково удалены от центральной точки, называемой центром, ее называют окружностью. Он состоит из: Радио: любая линия, соединяющая центр с любой точкой в окружности. Дуга: ограниченная часть окружности двумя точками в ней, которые соединяются.

Выбор наиболее подходящего метода

Когда вы измеряете углы ландшафта, у вас есть возможность проверить точность ваших инструментов, применив это основное правило. В области не так много методов измерения горизонтальных углов. Выбранный метод будет зависеть от требуемой точности результата и доступного оборудования. Вы найдете в сравнении различные методы, которые помогут вам выбрать наиболее подходящий.

Пусть АВ - прямая, - основание перпендикуляра, опущенного на нее из точки М (рис. 182); возьмем на АВ произвольную точку С, отличную от и соединим с точкой М.

Примечание. Поскольку 90 топологических углов играют особенно важную роль в топографических съемках, их измерение будет изучаться более подробно. При необходимости исправьте его положение, стараясь не менять место расположения станции или горизонтальное положение пантометра.

Прочитайте градуировку над стрелкой на центральной линии движущегося алидада. Значение угла равно разности между этими двумя измерениями. Рассчитайте внутренние углы, сопоставив рассчитанные азимуты на два, используя следующую процедуру и используя небольшой эскиз.

Полученная прямая образует с АВ углы, отличные от прямого, и называется наклонной. Через точку М можно провести бесчисленное множество наклонных к АВ; в более узком смысле наклонной называется отрезок МС; С называется основанием наклонной, а отрезок между основаниями перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной точки М к прямой АВ, - проекцией наклонной.

Управление измерениями с помощью компаса

Поэтому эти вычисления являются правильными. . Действуйте так, как описано выше. Если вы используете компас для измерения горизонтальных углов, необходимо тщательно проверить следующее. Магнитный указатель должен иметь возможность свободно качаться на своем шарнире, удерживать компас горизонтально одной рукой и одновременно прикреплять металлический предмет к концу магнитной стрелки. приближение металлической массы; если вы отодвигаетесь от него, игла должна быстро осциллировать и постепенно возвращаться в исходное положение.

Отметим некоторые свойства наклонных.

1. Если из данной точки М к одной и той же прямой А В проведены перпендикуляр и наклонная, то наклонная длиннее перпендикуляра.

Доказательство. Перегнем рис. 182 по прямой АВ; тогда точка М займет положение М, симметричное исходному, наклонная МС перейдет в положение МС. Теперь ломаная МСМ длиннее прямолинейного отрезка ММ откуда МО , что и требовалось доказать.

Повторите движение в обратном порядке, чтобы дважды проверить. Избегайте присутствия металлических предметов рядом с компасом, потому что железо притягивает магнитную иглу, что исказит ваши измерения. Металлические измерительные приборы, такие как ленты, ленты и цепи, а также металлические вехи и маркеры, должны быть расположены на расстоянии не менее 4 - 5 м от компаса при измерении углов. Если вы носите очки из металлической рамы, вы также должны удалить их из компаса. Вы также должны знать, что бетонные работы содержат металлические стержни, которые могут отклонять иглу компаса.

2. Из двух наклонных, проведенных из одной точки, больше та, которая имеет большую проекцию, т. е. основание которой дальше отстоит от основания перпендикуляра.

Доказательство. Пусть МС и MD - две наклонные (рис. 183). Перегибая рис. 183 по прямой видим, что длина объемлющей ломаной больше длины объемлемой выпуклой ломаной MCM, т. е. или

Не используйте компас в штормовую погоду, так как шторм меняет движение иглы. Не используйте компас вблизи линии электропередач. Во время измерения удерживайте компас горизонтально. Магнитная стрелка компаса всегда зависит от близости металлических масс, очень важно контролировать измеренные азимуты. Если после повторных измерений ваши результаты не согласуются, то локальные магнитные возмущения, создаваемые наличием железо в почве может вызвать ошибки.

Затем вы должны использовать другой метод измерения. Использование графических методов для измерения горизонтальных углов сначала требует, чтобы вы нарисовали угол на бумаге. Затем вы должны измерить этот угол, используя транспортир, как вы видели с другими методами, вы можете повысить точность результатов, повторяя по крайней мере дважды, чтобы выявить любые ошибки.

Если наклонные расположены по разные стороны от перпендикуляра то мы придем к тому же результату, перегнув сначала рис. 183 по линии этого перпендикуляра.

3. Если две различные наклонные, проведенные к прямой АВ из одной и той же точки М, равны, то их основания лежат по разные стороны от основания перпендикуляра, опушенного на АВ из той же точки, на равных расстояниях от него.

Использование простого компаса и транспортира в поле

Этот метод позволяет вам. Держите свою доску горизонтально на ладони протянутой перед вами рукой и медленно вращайте ее, пока северный конец стрелки компаса не будет совпадать с нулевой градуировкой. Теперь ваш лист бумаги указывает на стрелку, указывающую на север.

Чтобы облегчить задачу, вы можете поставить плату на устойчивую опору, например деревянный колпак, выдвинутый вертикально в землю. Измерьте транспортир по азимуту линий, нарисованных, измеряя углы, образованные параллельной сеткой бумаги, параллельной северному направлению, и обязательно измерьте угол по часовой стрелке от северного направления к северу. линия, нарисованная карандашом.

Доказательство. По предыдущему при любом ином расположении одна из наклонных (именно та, основание которой удалено больше) была бы длиннее второй. Отсюда следует, что

4. Пусть две равные наклонные проведены из точки М к АВ. Проведя прямую через М и середину отрезка между основаниями наклонных, получим перпендикуляр к прямой АВ.

Использование платы геодезиста и транспортира

Достаточно измерить углы меньше 90º, поскольку сетчатая бумага указывает направления 90º, 180º и 270º. Поднимите азимуты по обе стороны от горизонтального угла и к секции. Если у вас есть доска сюрвейера, вы можете использовать ее в поле для создания эскизов углов, и их легко измерить репортеру.

Транспортер представляет собой небольшой инструмент для рисования, градуированный в градусах или долях степени. Полукруглый транспортир является наиболее распространенным, но использование кругового транспортира иногда более подходит для измерения углов больше 180º. Докладчики обычно находятся в пластике или даже в бумаге. В противном случае вы можете использовать тот, который показан на рисунке 2; сделайте фотокопию или скопируйте ее на кальку или вырежьте ее из руководства.

Методическая разработка

урока математики

преподавателя

ГБОУ НПО ПУ №5КК

Васильевой Екатерины Леонидовны

Тема: « Перпендикуляр и наклонная »

Цели:

- формирование знаний о понятиях перпендикуляра и наклонной и умений применять их в простейших случаях;

Развитие умений сравнивать, выявлять закономерности, обобщать;

Измерение горизонтального угла с теодолитом

Блокируйте круг в положении, затем угол можно прочитать непосредственно по индексу круглой пластины.

Каковы основные проблемы для решения

Существует два основных типа проблем. Имплантация перпендикуляра методом точки пересечения. Чтобы нарисовать перпендикуляр по методу точки пересечения, в этом случае вы также можете использовать простой инструмент обследования. Используемый метод будет зависеть от его длины.

Метод с тем же именем основан на этом правиле. Длина одиночной линии съемки, используемой для проведения измерений, будет зависеть от длины перпендикуляра, который будет нанесен на график, чем больше длина, тем длиннее должна быть линия обзора. Чтобы сделать простую веревку для обследования, используйте веревку толщиной от 1 до 1, 5 см, предпочтительно веревку из натурального волокна, которая менее склонна к расширению или сокращению. кусок использованной веревки сизаля будет менее вероятен для расширения или сговора, чем новая веревка.

Воспитание ответственного отношения к учебному труду.

Оборудование: презентация, доска.

Тип урока: комбинированный.

Структура урока:

Постановка цели урока .
Проверка домашнего задания.
Подготовка к изучению нового материала.
Ознакомление с новым материалом.

5. Первичное осмысление и применение изученного.

Вы также можете использовать градуированную ленту. С канатами средней или длинной длины лучше работать с тремя; с короткой или очень короткой веревкой, можно работать в одиночку. Эта веревка иногда называется канатом пропорции. Возьмите веревку длиной около 13 метров. В нескольких дюймах от конца надежно прикрепите металлическое кольцо с большой струной.

Из этого кольца измерьте длину 3 м вдоль веревки и присоедините второе кольцо. Если это не так, исправьте положение второго кольца. Измерьте длину 4 м от второго кольца и установите третью. Используя градуированную ленту, убедитесь, что расстояние составляет ровно 4 м и при необходимости исправьте положение кольца.

6. Постановка домашнего задания

7. Подведение итогов урока.

8. Резерв.

Ход урока.

1.Постановка цели урока

Проверяется подготовленность классного помещения и готовность учащихся к уроку.

Отмечается, что продолжается изучение перпендикулярности прямых и плоскостей, на предыдущих уроках были рассмотрены перпендикулярность прямых в пространстве, признак перпендикулярности прямой и плоскости. Сегодня же будет рассматриваться вопрос о перпендикуляре и наклонной. Записывается тема урока: « Перпендикуляр и наклонная ».

Измерьте длину в 5 м от третьего кольца. Свяжите этот конец веревки с первым кольцом. Проверьте длину с помощью градуированной ленты и при необходимости исправьте ее. Повторяйте эту операцию, пока не убедитесь, что каждая из фигурных скобок выровнена с одной стороной правого угла, то есть они сами образуют прямой угол.

Когда обе скобы правильно выровнены, надежно затяните крепежные винты в вертикальном кронштейне. Повторно проверьте две линии обзора, как только затяжка закончена, чтобы проверить, не скованы ли скобы. Чтобы облегчить настройку боковых сторон, царапины или ожоги в дереве или металле нижнего паука, когда верхний крест на месте.

2. Проверка домашнего задания.

Задача: В тетраэдре ABCD BC AD. Докажите, что AD MN, если M и N середины сторон AB и BC

К доске вызывается учащийся и объясняет решение задачи.

3. Подготовка к изучению нового материала.

Во время подготовки домашней задачи, проводится фронтальный опрос учащихся:

А) Какие две прямые называются перпендикулярными в пространстве?

Что такое параллельные линии?

Использование квадрата сюрвейера позволяет вам определить прямоугольные поверхности, необходимые для рисования пруда, и вы также можете создать сетку, определив промежуточные углы в ваших прямых линиях. пример для оценки объема резервуара. Параллельные линии, также называемые параллелями, являются линиями, отделенными друг от друга в каждой из своих точек постоянным расстоянием. Они тянутся бок о бок и никогда не пересекаются друг с другом. Параллели играют важную роль в рыбоводстве и часто используются при проектировании рыбных хозяйств, строительстве плотин и в создании каналов, а также используются для рисования линий в сложных условиях.

(две прямые называются перпендикулярными в пространстве, если угол между ними равен 90 0 )

Б) Какая прямая называется перпендикулярной к плоскости?

(прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости).

Работа с чертежами: сформулируйте с помощью рисунков теоремы

если b┴с и а||b, то... (b┴c).

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой

если а||b и a , то...(b )

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

если b и a , то... (а||b)

Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны

если а b и c (а b), то...(c )

Если, прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости

Внимание учащихся акцентируется на этих понятиях, потому как эти сведения будут непосредственно использованы при изучении понятий перпендикуляра и наклонной.

4.Ознакомление с новым материалом

Рассмотрим плоскость и точку А, не лежащую в этой плоскости. Проведем через точку А прямую перпендикулярную к плоскости и обозначим H точку пересечения этой прямой с плоскостью . Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости , а точка Н-основанием перпендикуляра.

Отметим в плоскости точку М. отличную от Н и проведем отрезок АМ. Он называется наклонной, проведенной из точки А к плоскости , а точка М-основание наклонной. Отрезок НМ называется проекцией наклонной на плоскость .

У доски учащийся отвечает опережающее задание

Материалы по теме:

Карта сайта