Как построить прямой угол. Измерительные работы на местности в курсе геометрии основной школы. Входжение в новый день

В курсе изучения геометрии основной школы рассматриваются задачи, связанные с практическим применением изученных знаний: измерительные работы на местности, измерительные инструменты. Практические работы на местности являются одной из наиболее активных форм связи обучения с жизнью, теории с практикой. Учащиеся учатся пользоваться справочниками, применять необходимые формулы, овладевают практическими приёмами геометрических измерений и построений.

Практические работы с использованием измерительных инструментов повышают интерес учащихся к математике, а решение задач на измерение ширины реки, высоты предмета и определение расстояния до недоступной точки позволяют применить их в практической деятельности, увидеть масштаб применения математики в жизни человека.

По мере изучения материала способы решения этих задач изменяются, одну и ту же задачу можно решить многими способами. При этом используются следующие вопросы геометрии: равенство и подобие треугольников, соотношения в прямоугольном треугольнике, теорема синусов и теорема косинусов, теорема Пифагора, свойства прямоугольных треугольников и т.д.

Цели проведения уроков “Измерение на местности”:

Задачи:

• научности;
• наглядности;
• дифференцированного подхода;

Критерии оценки достижения ожидаемых результатов:

• активность учащихся;

Подготовка и проведение таких уроков позволяют в результате:

• научить применять математические знания в повседневной практической жизни.

Одной из наиболее активных форм связи обучения с жизнью, теории с практикой является выполнение учащимися на уроках геометрии практических работ, связанных с измерением, построением, изображением. В курсе изучения геометрии основной школы рассматриваются задачи, связанные с практическим применением изученных знаний: измерительные работы на местности, измерительные инструменты. На уроках математики параллельно с изучением теоретического материала учащиеся должны научиться производить измерения, пользоваться справочниками и таблицами, свободно владеть чертёжными и измерительными инструментами. Работа проводится как на местности, так и решение задач в классе различными способами на нахождение высоты предмета и определение расстояния до недоступной точки. По программе в курсе геометрии рассматриваются следующие вопросы:

7 класс

• “Провешивание прямой на местности” (п.2),
• “Измерительные инструменты” (п.8),
• “Измерение углов на местности” (п.10),
• “Построение прямых углов на местности” (п.13),
• “Задачи на построение. Окружность” (п.21),
• “Практические способы построения параллельных прямых” (п.26),
• “Уголковый отражатель” (п.36),
• “Расстояние между параллельными прямыми” (п.37 – рейсмус),
• “Построение треугольника по трём элементам” (п.38)

8 класс.

• “Практические приложения подобия треугольников” (п.64 – определение высоты предмета, определение расстояния до недоступной точки)

9 класс.

• “Измерительные работы” (п.100 – измерение высоты предмета, измерение расстояния до недоступной точки).

Практические работы на уроках геометрии позволяют решать педагогические задачи: ставить перед учащимися познавательную математическую проблему, актуализировать их знания и готовить к усвоению нового материала, формировать практически умения и навыки в обращении с различными приборами, инструментами, вычислительной техникой, справочниками и таблицами.. Они позволяют реализовать в обучении важнейшие принципы взаимосвязи теории и практики: практика выступает в качестве исходного звена развития теории и служит важнейшим стимулом её изучения учащимися, она является средством проверки теории и областью её применения.

Система проведения уроков “Измерение на местности” ставит цели:

• практическое применение теоретических знаний учащихся;
• активизация познавательной деятельности учащихся;

Предусматривает выполнение следующих задач:

• расширение кругозора учащихся;
• повышение интереса к предмету;
• развитие смекалки, любознательности, логического и творческого мышления;
• формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых для продуктивной жизни в обществе.

При отборе содержания каждого урока по данной теме и форм деятельности учащихся используются принципы:

• взаимосвязи теории с практикой;
• научности;
• наглядности;
• учёта возрастных и индивидуальных особенностей учащихся;
• сочетания коллективной и индивидуальной деятельности участников;
• дифференцированного подхода;

Критерии оценки достижения ожидаемых результатов:

• активность учащихся;
• самостоятельность учащихся в выполнении заданий;
• практические применения математических знаний;
• уровень творческих способностей участников.

Подготовка и проведение таких уроков позволяют в результате:

• подключить, пробудить и развить потенциальные способности учащихся;
• выявить наиболее активных и способных участников;
• воспитывать нравственные качества личности: трудолюбие, упорство в достижении цели, ответственность и самостоятельность.
• научить применять математические знания в повседневной практической жизни;
• обращаться с различными приборами, инструментами, вычислительной техникой, справочниками и таблицами.

Измерительные инструменты, используемые при измерении на местности:

Сравнение и описание треугольников

Треугольник с прямым углом называется прямоугольным треугольником. Треугольник с тремя сторонами разной длины и без прямого угла называется скалярным треугольником.


Эти треугольники называются прямоугольными треугольниками. Когда две или более сторон формы равны по длине, мы показываем это с использованием коротких линий на равных сторонах.

Поиск неизвестных сторон в треугольниках

Различные типы четырехугольников

Сравнение и описание фигур.

Каким образом цифры в каждой группе одинаковы? Каким образом одна из цифр в каждой группе отличается от двух других фигур в группе?

Поиск неизвестных сторон в четырехугольниках

Приведите свои ответы.





Прямая от середины круга до точки на круге называется радиусом круга.

• Рулетка – лента, с нанесёнными на ней делениями, предназначена для измерения расстояния на местности.
• Экер – прибор для построения прямых углов на местности.
• Астролябия – прибор для измерения углов на местности.
• Вехи (вешки) – колья, которые вбивают в землю.
• Землемерный циркуль (полевой циркуль – сажень) – инструмент в виде буквы А высотой 1,37 м и шириной 2 м. для измерения расстояния на местности, для учащихся удобнее расстояние между ножками взять 1 метр.

Экер представляет собой два бруска, расположенных под прямым углом и укреплённых на треножнике. На концах брусков вбиты гвозди так, что прямые, проходящие через них, взаимно перпендикулярны.

Устройство: астролябия состоит из двух частей: диска (лимб), разделённого на градусы, и вращающейся вокруг центра линейки (алидады). При измерении угла на местности она наводится на предметы, лежащие на его сторонах. Наведение алидады называется визированием. Для визирования служат диоптры. Это металлические пластинки с прорезами. Диоптров два: один с прорезом в виде узкой щели, другой с широким прорезом, посередине которого натянут волосок. При визировании к узкому прорезу прикладывается глаз наблюдателя, поэтому диоптр с таким прорезом называется глазным. Диоптр с волоском направляется к предмету, лежащему на стороне измеряемого; он называется предметным. В середине алидады прикреплён к ней компас.

астролябия

Практические работы

1. Построение прямой на местности (провешивание прямой линии)

Отрезки на местности обозначают с помощью вех. Чтобы вешка стояла прямо, применяют отвес (какой – либо грузик, подвешенный на нитке). Ряд вбитых в землю вех и обозначает отрезок прямой линии на местности. В выбранном направлении ставят две вехи на расстоянии друг от друга, между ними другие вехи, так, чтобы глядя через одну, другие прикрывались друг другом.

Практическая работа: построение прямой на местности.

Задание: отметьте на ней отрезок в 20 м, 36 м, 42 м.

2. Измерение средней длины шага.

Считается некоторое число шагов (например, 50), измеряется данное расстояние и вычисляется средняя длина шага. Опыт удобнее провести несколько раз и сосчитать среднее арифметическое.

Практическая работа: измерение средней длины шага.

Задание: зная среднюю длину шага, отложите на местности отрезок 20 м, проверьте с помощью рулетки.

3. Построение прямых углов на местности.

Чтобы построить на местности прямой угол АОВ с заданной стороной ОА, устанавливают треножник с экером так, чтобы отвес находился точно над точкой О, а направление одного бруска совпало с направлением луча ОА. Совмещение этих направлений можно осуществить с помощью вехи, поставленной на луче. Затем провешивают прямую линию по направлению другого бруска (ОВ).

Практическая работа: построение прямого угла на местности, прямоугольника, квадрата.

Задание: измерьте периметр и площадь прямоугольника, квадрата.

4. Построение и измерение углов с помощью астролябии.

Астролябию устанавливают в вершине измерительного угла так, чтобы лимб её был расположен в горизонтальной плоскости, а отвес, подвешенный под центром лимба, проектировался бы в точку, принимаемую за вершину угла на поверхности земли. Затем визируют алидадой по направлению одной стороны измеряемого угла и отсчитывают на лимбе градусные деления против метки предметного диоптра. Повёртывают алидаду по ходу часовой стрелки в направлении второй стороны угла и делают второй отсчёт. Искомый угол равен разности показаний при втором и первом отсчётах.

Практическая работа:

• измерение заданных углов,
• построение углов заданной градусной меры,
• построение треугольника по трём элементам – по стороне и двум прилежащим к ней углам, по двум сторонам и углу между ними.

Задание: измерить градусные меры заданных углов.

5. Построение окружности на местности.

На местности устанавливается колышек, к которому привязывается верёвка. Держась за свободный конец верёвки, двигаясь вокруг колышка, можно описать окружность.

Практическая работа: построение окружности.

Задание: измерение радиуса, диаметра; вычисление площади круга, длины окружности.

6. Определение высоты предмета.

а) С помощью вращающейся планки.

Предположим, что нам нужно определить высоту какого – нибудь предмета, например высоту столба А 1 С 1 (задача № 579). Для этого поставим на некотором расстоянии от столба шест АС с вращающейся планкой и направим планку на верхнюю точку С 1 столба. Отметим на поверхности земли точку В, в которой прямая А 1 А пересекается с поверхностью земли. Прямоугольные треугольники А 1 С 1 В и АСВ подобны по первому признаку подобия треугольников (угол А 1 = углу А = 90 о, угол В – общий). Из подобия треугольников следует;

Измерив расстояния ВА 1 и ВА (расстояние от точки В до основания столба и расстояние до шеста с вращающейся планкой), зная длину АС шеста, по полученной формуле определяем высоту А 1 С 1 столба.

б) С помощью тени.

Измерение следует проводить в солнечную погоду. Измерим длину тени дерева и длину тени человека. Построим два прямоугольных треугольника, они подобны. Используя подобие треугольников составим пропорцию (отношение соответственных сторон), из которой и найдём высоту дерева (задача №580). Можно таким образом определить высоту дерева и в 6 кл, используя построение прямоугольных треугольников в выбранном масштабе.

в) С помощью зеркала.

Для определения высоты предмета можно использовать зеркало, расположенное на земле горизонтально (задача №581). Луч света, отражаясь от зеркала попадает в глаз человека. Используя подобие треугольников можно найти высоту предмета, зная рост человека (до глаз), расстояние от глаз до макушки человека и измеряя расстояние от человека до зеркала, расстояние от зеркала до предмета (учитывая, что угол падения луча равен углу отражения).

г) С помощью чертёжного прямоугольного треугольника .

На уровне глаз расположим прямоугольный треугольник, направив один катет горизонтально поверхности земли, другой катет направив на предмет, высоту которого измеряем. Отходим от предмета на такое расстояние, чтобы второй катет “прикрыл” дерево. Если треугольник ещё и равнобедренный, то высота предмета равна расстоянию от человека до основания предмета (прибавив рост человека). Если треугольник не равнобедренный, то используется снова подобие треугольников, измеряя катеты треугольника и расстояние от человека до предмета (используется и построение прямоугольных треугольников в выбранном масштабе). Если треугольник имеет угол в 30 0 , то используется свойство прямоугольного треугольника: против угла в 30 0 лежит катет вдвое меньше гипотенузы.

д) Во время игры “ Зарница” учащимся не разрешается использовать измерительные приборы, поэтому можно предложить следующий способ:

один ложится на землю и направляет глаза на макушку другого, находящегося от него на расстоянии своего роста, так чтобы прямая проходила через макушку товарища и верхушку предмета. Тогда треугольник получается равнобедренным и высота предмета равна расстоянию от лежавшего до основания предмета, которое измеряется, зная среднюю длину шага учащегося. Если же треугольник не равнобедренный, то зная среднюю длину шага измеряется расстояние от лежавшего на земле до стоявшего и до предмета, рост стоявшего заведомо известен. А далее по признаку подобия треугольников вычисляется высота предмета (или построение прямоугольных треугольников в выбранном масштабе).

7. Определение расстояния до недоступной точки.

а) Предположим, что нам нужно найти расстояние от пункта А до недоступного пункта В. Для этого на местности выбираем точку С, провешиваем отрезок АС и измеряем его. Затем с помощью астролябии измеряем углы А и С. На листке бумаги строим какой – нибудь треугольник А 1 В 1 С 1 , у которого угол А 1 = угол А, угол С! = угол С и измеряем длины сторон А 1 В 1 и А 1 С 1 этого треугольника. Так как треугольник АВС подобен треугольнику А 1 В 1 С 1 , то АВ: А 1 В 1 = АС: А 1 С 1 , откуда находим АВ по известным расстояниям АС, А 1 С 1 , А 1 В 1. . Для удобства вычислений удобно построить треугольник А 1 В 1 С 1 так, чтобы А 1 С 1: АС = 1: 1000

б) Для измерения ширины реки на берегу измеряем расстояние АС, с помощью астролябии устанавливаем угол А = 90 0 (направив на объект В на противоположном берегу), измеряем угол С. На листке бумаги строим подобный треугольник (удобнее в масштабе 1: 1000) и вычисляем АВ (ширину реки).

в) Ширину реки можно определить и так: рассматривая два подобных треугольника АВС и АВ 1 С 1 . Точка А выбрана на берегу реки, В 1 и С у кромки поверхности воды, ВВ 1 – ширина реки (зад №583, рис 204 учебника), измеряя при этом АС, АС 1 , АВ 1 .

Практическая работа: определить высоту дерева, ширину реки.

В 9 классе в пункте 100 тоже рассматриваются измерительные работы на местности, но используется тема “Решение треугольников”, при этом применяется теорема синусов и теорема косинусов. Рассматриваются задачи с конкретными данными, решая которые можно увидеть различные способы нахождения и высоты предмета и определить расстояние до недоступной точки, что можно применить в будущем практически.

1. Измерение высоты предмета .

Предположим, что требуется определить высоту АН какого – то предмета. Для этого отметим точку В на определённом расстоянии а от основания Н предмета и измерим угол АВН. По этим данным из прямоугольного треугольника АНВ находим высоту предмета: АН = НВ tgАВН.

Если основание предмета недоступно, то можно поступить так: на прямой, проходящей через основание Н предмета, отметим две точки В и С на определенном расстоянии а друг от друга и измерим углы АВН и АСВ: угол АВН = a , угол АСВ = b , угол ВАС = a – b . Эти данные позволяют определить все элементы треугольника АВС; по теореме синусов находим АВ:

АВ = sin (a – b ). Из прямоугольного треугольника АВН находим высоту АН предмета:

АН = АВ sin a .

№ 1036

Наблюдатель находится на расстоянии 50 м от башни, высоту которой хочет определить. Основание башни он видит под углом 10 0 к горизонту, а вершину – под углом 45 0 к горизонту. Какова высота башни? (рис.298 учебника)

Решение

Рассмотрим треугольник АВС – прямоугольный и равнобедренный, т.к угол СВА =45 0 , то и угол ВСА =45 0 , значит СА=50м.

Рассмотрим треугольник АВН – прямоугольный, tg (АВН) = АН/ АВ, отсюда

АН = АВ tg (АВН), т.е АН = 50tg 10 0 , отсюда АН =9м. СН= СА+АН =50+9 = 59(м)

№ 1038

На горе находится башня, высота которой равна 100м. Некоторый предмет А у подножия горы наблюдают сначала с вершины В башни под углом 60 0 к горизонту, а потом с её основания С под углом 30 0 . Найдите высоту Н горы (рисунок 299 учебника).

Решение:

угол ЕВА = 60 0

угол КСА =30 0

Найти СР.

Решение:

Угол СВК = 30 0 , т.к. угол ЕВС =90 0 и угол ЕВА =60 0 , отсюда угол СКА =60 0 , значит уголСКА = 180 0 – 60 0 = 120 0 .

В треугольнике СКА видим, что угол АСК = 30 0 , уголСКА = 120 0 , то уголСАК = 30 0 , получим, что треугольник ВСА равнобедренный с основанием АВ, т.к. уголСВК = 30 0 и уголВАС = 30 0 , значит АС = 100м (ВС = АС).

Рассмотрим треугольник АСР, прямоугольный с острым углом в 30 0 (РАС = АСК, накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых СК и АР секущей АС), а против угла в 30 0 лежит катет вдвое меньше гипотенузы, поэтому РС = 50м.

2. Измерение расстояния до недоступной точки (измерение ширины реки).

Случай 1. Измерение расстояния между точками Аи В, разделёнными препятствием (рекой).

Выберем на берегу реки две доступные точки А и В, расстояние между которыми может быть измерено. Из точки А видны и точка В и точка С, взятая на противоположном берегу. Измерим расстояние АВ, с помощью астролябии измеряем углы А и В, угол АСВ = 180 0 - угол А - угол В

Зная одну сторону треугольника и все углы, по теореме синусов находим искомое расстояние.

2 случай.

Измерение расстояния между точками А и В, разделёнными препятствием (озером). Точки А и В доступны.

Выбирают третью точку С, из которой видны точки А и В и могут быть непосредственны измерены расстояния до них. Получается треугольник, у которого даны угол АСВ (измеряется с помощью астролябии) и стороны АС и ВС. На основании этих данных по теореме косинусов можно определить величину стороны АВ – искомое расстояние. АВ 2 = АС 2 + ВС 2 – 2 АС * ВС cos угла С.

3 случай:

Измерение расстояния между точками А и В, разделёнными препятствием (лесом) и недоступными определяющему расстояние (точки находятся по ту сторону реки).

Выбирают две доступные точки С и К, расстояние между которыми может быть измерено и из которых видны как точка А, так т точка В.

Устанавливают астролябию в точке С и измеряют углы АСК и ВСК. Затем измеряют расстояние СК и переносят астролябию в т. К, из которой измеряют углы АКС и АКВ. На бумаге по стороне СК, взятой в определённом масштабе и двум прилежащим углам строят треугольники АСК и ВСК и вычисляют элементы этих треугольников. Проведя на чертеже линию АВ, определяют длину её непосредственно по чертежу или путём вычисления (решают треугольники АВС и АВК, в которые входит определяемая линия АВ).

Практическая работа в 9 кл на уроках геометрии:

• измерить высоту предмета;
• расстояние до недоступной точки (ширину реки).

Работу провести и через подобие треугольников и через тему “Решение треугольников”.

Задание: сравнить полученные результаты.

В результате проведения цикла уроков по вопросам рассмотрения практического применения геометрии, учащиеся убеждаются в непосредственном применении математики в практической жизни человека (измерение расстояния до недоступной точки, определение высоты предмета различными способами к концу обучения в основной школе, использование измерительных приборов). Решение задач этого типа вызывает заинтересованность учащихся, которые с нетерпением ждут уроков, связанных с непосредственным измерением на местности. А задачи, предложенные в учебнике, знакомят с различными способами решения этих задач.

Литература:

1. Атанасян Л.С. Геометрия 7 -9. – Москва: Просвещение, 2000 г.

«Свойства равнобедренного треугольника» - Н. Равнобедренный. Виды треугольников (по сторонам)?. 1. Виды треугольников (по углам)?. Т. Р. АВС -равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Боковая сторона.

«Равенство прямоугольных треугольников» - Треугольник, в котором один угол прямой, называется прямоугольным. Катет. 45°. 150°. Проверь себя. 3,5. Ответ: Падающий луч и отражённый луч параллельны. Подсказка. 1. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

«Свойства прямоугольного треугольника» - 3. 4. Доказательство. 5. Первое свойство Второе свойство Третье свойство Задачи. Некоторые свойства прямоугольных треугольников. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Первое свойство. 2.

«Признаки треугольника» - Первый признак равенства треугольников. (По двум сторонам. 4. Сформулируйте признак равенства треугольников, который изображен на рисунке. 3. 2. Назад. 1.

«Медиана биссектриса и высота треугольника» - отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны Биссектриса треугольника Медиана треугольника Высота треугольника. Медиана, биссектриса и высота треугольника. отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны Медиана треугольника Высота треугольника Биссектриса треугольника.

«Первый признак равенства треугольников» - Теоремой. Равными. А. Вершинами. Вставь слово. Цель урока. В. Периметром. Познакомиться с формулировкой теоремы, выражающей первый признак равенства треугольников. Первый признак равенства треугольников. План урока. Треугольником. С. В некотором царстве-государстве в стране Геометрия жил вот такой треугольник.