Что значит смежная сторона прямоугольника

Прямоугольником называется такой параллелограмм, смежные стороны которого взаимно перпендикулярны. Ясно, что параллелограмм будет прямоугольником уже в том случае, когда хотя бы один из его углов прямой, так как тогда будут прямыми и остальные его углы. Если же заранее неизвестно, является ли данный четырехугольник параллелограммом, то придется проверить-, что три угла его прямые, тогда, конечно, и четвертый угол будет прямой, так как сумма углов любого четырехугольника равна четырем прямым. Важно также следующее отличительное свойство прямоугольника:

Диагонали прямоугольника равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABD и ACD (рис. 235). Эти треугольники прямоугольные, катет AD у них общий и катеты АВ и CD равны, следовательно, равны и гипотенузы: BD = AC, что и требовалось доказать.

Если известно, что данный четырехугольник - параллелограмм, то данное свойство будет для прямоугольника характеристическим:

Если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником.

Доказательство. Из равенства диагоналей BD и АС (рис. 235) в свою очередь следует равенство треугольников и,значит, равенство углов BAD и ADC; но, составляя в сумме два прямых и будучи равными, эти углы должны быть прямыми; значит, параллелограмм - прямоугольник.

195. Ромб. Квадрат. Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом. Для того чтобы проверить, что данный параллелограмм является ромбом, достаточно показать, что две его смежные стороны равны; тогда равенство всех сторон будет вытекать из свойства 1 п. 193. Если заранее неизвестно, является ли данный четырехугольник параллелограммом, то достаточно проверить равенство всех сторон, чтобы убедиться, что мы имеем ромб:

Четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом.

(Заметим, что это уже утверждение, требующее доказательства, а не определение!)

Доказательство. Если у четырехугольника все стороны равны, то, в частности, попарно равны и противоположные стороны и четырехугольник является параллелограммом (свойство 1 п. 193). Но параллелограмм с равными сторонами будет ромбом (в силу определения ромба). Укажем еще одно свойство ромба:

Параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом.

Доказательство. Рассмотрим прямоугольные треугольники АОВ и СОВ (рис. 236); они равны в силу того, что катет ОВ у них общий, а катеты АО и СО равны по свойству диагоналей параллелограмма. Значит, АВ = ВС, и потому все четыре стороны параллелограмма равны, т. е. он будет ромбом.

Предлагается читателю доказать теорему:

Диагонали любого ромба взаимно перпендикулярны. Прямоугольник, стороны которого равны, называется квадратом. Таким образом, квадрат является также и ромбом (стороны равны!) с прямыми углами. Можно иначе сказать: квадрат - это четырехугольник, одновременно являющийся ромбом и прямоугольником. Квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, ромба и прямоугольника.

Задача 1. Доказать, что диагонали ромба служат биссектрисами его углов.

Решение. Возвращаясь к рис. 236, напомним, что мы обнаружили равенство треугольников АОВ и СОВ, следовательно, углы АВО и ОВС равны, т. е. диагональ BD - биссектриса угла В. Для второй диагонали применяем те же рассуждения.

Задача 2. Высота ромба составляет восьмую часть его периметра. Определить углы ромба.

Решение. Если высота ромба составляет восьмую часть его периметра, то она равна половине стороны ромба. Таким образом, в треугольнике АВМ (рис. 237), отсеченном от ромба его высотой ВМ, проведенной через вершину тупого угла, катет ВМ равен половине гипотенузы АВ и угол А содержит 30°. Тупой угол будет равен 150°.

Упражнения

1. Построить параллелограмм по стороне АВ, острому углу А и высоте ВН, перпендикулярной к стороне CD.

2. Доказать, что параллелограмм, имеющий равные высоты - ромб.

3. Построить прямоугольник по диагонали и стороне.

4. Построить ромб по малой диагонали и острому углу.

5. Показать, что середины сторон ромба служат вершинами прямоугольника, а середины сторон прямоугольника - вершинами ромба.

Тема: Смежные стороны прямоугольника (квадрата).

Цель: Формирование у учащихся понятия о смежных сторонах прямоугольника.

Задачи:

Образовательная: раскрыть понятие «смежные стороны» в прямоугольнике; научить распознавать смежные стороны прямоугольника, научить строить прямоугольник (квадрат) по указанным смежным сторонам.

Коррекционно-развивающая: корригировать пространственное восприятие через задания геометрического характера;

Воспитывающая: способствовать воспитанию интереса к математике.

Орг. момент

Отдых наш кончается,

Работа начинается.

Мы сегодня не одни,

Гости к нам пришли.

Повернитесь поскорей,

Поприветствуйте гостей!

Встаньте, прямо, не ленитесь,

Все мне дружно улыбнитесь.

Здравствуйте, ребята, садитесь.

2.Проверка домашнего задания.

Начнём нашу работу с проверки домашнего задания, откройте тетради.

Прочитайте выражение и ответ.

Молодцы! Работать сегодня будем в этих же тетрадях. Пропустите 4 клеточки вниз, запишите число.

3.Сообщение темы и цели урока.

Сегодня урок геометрии мы посвятим особенной фигуре, прочитайте слово.

(угольник-прямо)

Какие стороны прямоугольника вы можете назвать, покажите их на рисунке.

(Дети называют, я вывешиваю карточки со словами на доску (боковые стороны, противоположные стороны) , третье слово не открываю)

Сегодня мы с вами узнаем, какие ещё стороны есть у прямоугольника, и совсем скоро развернём третью карточку.

Но для начала – геометрическая разминка.

4.Актуализация знаний

Геометрическая разминка «Узнай форму»

У вас на партах карточки с изображением геометрических фигур. Ваша задача – определить форму предметов на слайдах и поднять соответствующую карточку.

(Учитель демонстрирует изображения: (Слайд 2)

Что изображено на картине (кремль - крепость)

Но несколько столетий назад Кремль выглядел совсем по – другому, он был деревянный. (Слайд 3).

Где он находится (Москва – столица, город герой)

Кто знает, сколько башен в кремле (20)

Каждая башня имеет своё название, и свои особенности. Наверняка одну из них вы можете вспомнить.

Башня, на которой установлены часы, называется Спасской, вычислите её высоту, решив числовую цепочку. (71 м)

Все башни разные по высоте, а самая высокая – Троицкая башня (80м) узнайте её высоту.

5.Изучение нового материала.

Все вы любите играть. Суть игры: один ученик, это будет Павел, выйдет к доске, отвернется. Я показываю фигуру, ваша задача: описать фигуру так точно, чтобы выбор был однозначным. А задача Павла её назвать. Итак, мы начинаем.

(Угаданные фигуры вывешиваю на доску)

Выделите среди фигур на доске прямоугольники.

Назовите главное отличие прямоугольника от квадрата, разделите фигуры на две группы: прямоугольники и квадраты.

Молодцы, и мы переходим к следующему заданию.

Назовите отрезки, изображенные на рисунке. В какой точке они пересекаются? Какую фигуру они образуют? Постройте в тетради такую же фигуру. Достройте данную фигуру до прямоугольника. Обозначьте его вершины буквами латинского алфавита. Проведите диагональ. Сколько диагоналей можно провести в прямоугольнике, квадрате?

Выделите стороны, которые имеют общую вершину. Стороны, которые имеют что – то общее называются – смежные стороны (открываю третью карточку) .

6.Работа над новой темой .

Постройте прямоугольник с основанием 5 см и боковой стороной 3см 5мм. Обозначьте его буквами. Назовите смежные стороны прямоугольника и вершины, в которых они пересекаются.

Можем ли мы вычислить периметр прямоугольника, если знаем длину смежных сторон.

Постройте прямоугольник, длина смежных сторон которого равна 7см и 3 см. Вычислите периметр этой фигуры.

7.Закрепление.

Стороны МА и АО квадрата МАОС, изображенного, имеют общую вершину А. Что это означает?

Вывод: смежные стороны могут быть и других фигур, предметов.

Закройте тетрадь. Покажите мне смежные стороны.

А теперь покажем смежные стороны разных предметов, для этого отправимся в путешествие по периметру класса. (Физминутка)

8. Самостоятельная работа. (на карточках – контролирую выполнение работы)

Вставьте вместо точек в указанное ниже предложения вставьте нужное слово

…… стороны прямоугольника имеют общие вершины. (написать на доске)

9. Итог урока.

Что вы думаете о прошедшем занятии? Что было для вас важным? Чему вы научились? Что вам понравилось? Что осталось неясным? В каком направлении нам стоит продвигаться дальше? Напишите мне, пожалуйста, об этом короткое послание – телеграмму из 11 слов. Я хочу узнать ваше мнение для того, чтобы учитывать его в дальнейшей работе.

Окончен урок, и выполнен план.

Спасибо, ребята, огромное вам.

За то, что упорно и дружно трудились,

И знания точно уж вам пригодились.