В чем заключается неравенство треугольника. Неравенство треугольника. Полные уроки — Гипермаркет знаний. Историческая справка о признаках равенства треугольников

Математический кружок Русановского лицея

Неравенство треугольника

Неравенство треугольника – один из важнейших геометрических фактов. Представляя собой одно из интуитивных свойств расстояния, оно нередко помогает в решении непростых геометрических и текстовых задач. С помощью неравенства треугольника представляется возможным отсеять часть из возможных вариантов расположения каких-либо элементов в громоздких геометрических задачах. Часто именно невыполнение строгого неравенства треугольника (а именно – достижение в нем равенства) дает основание утверждать о принадлежности трех точек одной прямой. Таким образом, неравенство треугольника является одновременно интуитивно понятным, даже очевидным, но весьма часто становится мощным инструментом при решении серьезных математических задач.

Несколько слов о неравенствах

В математике неравенство есть утверждение об относительной величине или порядке двух рассматриваемых объектов или о том, что они просто не одинаковы. Классическое неравенство как объект исследования можно также рассматривать как частный случай отношения порядка. Различают строгие и нестрогие неравенства. Или же, переходя на язык отношений, строгое неравенство можно считать отношением строгого порядка на множестве действительных чисел (то есть отношением, которое обладает свойствами антирефлексивности, антисимметричности и транзитивности). Если же речь идет о нестрогом неравенстве, то можно говорить о нем как об отношении нестрогого порядка на том же множестве (то есть рассматривать вместо антирефлексивности рефлексивность). Напомним, что об отношениях как математическом объекте и их свойствах мы уже упоминали в Лекции 7 (были рассмотрены свойства отношения делимости). Более подробное их изучение нам предстоит в будущем, поскольку они довольно успешно систематизируют и обобщают ряд элементарных математических понятий. Теперь же мы приведем несколько примеров неравенств каждого из названных типов. Строгими неравенствами называют такие неравенства:

a < b – означает, что a меньше b ; a > b – означает, что a больше b ; a ≠ b – означает, что a не равно b или же что a и b различны .

К нестрогим неравенствам относят следующие математические отношения:

a ≤ b – означает, что a меньше либо равно b или, что то же самое, a не больше (не превосходит, не превышает) b ; a ≥ b – означает, что a больше либо равно b или, что то же самое, a не меньше b .

Пока что мы не будем утруждать себя более глубоким исследованием неравенств. Сегодня нам вполне хватит уже устоявшихся представлений о неравенствах.

Неравенство треугольника

Теорема (неравенство треугольника ): Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. Замечание . Иногда используют также и несколько другую формулировку этой теоремы, подключая попутно и случай вырожденного треугольника: Длина любой стороны треугольника всегда не превосходит сумму длин двух его других сторон. Заметим, что разница между двумя приведенными формулировками столь незначительна, что нет смысла рассматривать их отдельно. В дальнейшем при решении задач мы будем использовать как первую формулировку теоремы, так и вторую, не оговаривая это отдельно. Неравенство треугольника возникло, судя по всему, тогда же, когда человек научился ходить и хоть как-то мыслить. Известно, что одну из первых его формализаций приводит Евклид в знаменитых «Началах». Там он доказывает неравенство треугольника следующим образом. Сначала доказывается теорема о том, что внешний угол треугольника больше внутреннего угла, с ним не смежного. Из нее выводится теорема о том, что против большей стороны треугольника лежит больший внутренний угол. Далее, методом от противного доказывается теорема о том, что против большего внутреннего угла треугольника лежит большая сторона. А из этой теоремы выводится неравенство треугольника. Вот такая вот непростая логическая цепочка для доказательства вполне очевидного, казалось бы, неравенства! Доказательство теоремы . Рассмотрим треугольник ABC и покажем, что AB < AC + BC . При доказательстве воспользуемся одним из видов дополнительных построений – откладыванием равных отрезков (метод спрямления ). В треугольнике ABC (рис. 1) на продолжении стороны BC отложим отрезок CD , равный AC . В равнобедренном треугольнике A CD

. В треугольнике ABD угол A DB меньше угла BAD , значит, BD > AB , или BC + CD > AB . Но CD = AC , значит, AC + BC > AB . Замечание . Обратите внимание, что, исходя из формулировки теоремы, следует записать сразу три неравенства: AB < AC + BC ; AC < AB + BC ; BC < AB + AC . Нередко, записав одно неравенство, о двух других почему-то забывают. Помните, что это может привести к довольно неприятным ошибкам. Неравенство треугольника может служить одним из простых критериев принадлежности трех точек одной прямой . Три точки будут принадлежать одной прямой тогда и только тогда, когда в неравенстве треугольника достигается равенство. Естественно, равенство может достигаться лишь в одном из трех неравенств (см. замечание), поскольку одна из точек будет лежать четко между двумя другими. Упражнение . Докажите, что в треугольнике каждая сторона больше разности двух других сторон. Приведем в качестве примера использования неравенства треугольника несколько сравнительно несложных геометрических задач. Задача 1 . Докажите, что в произвольном четырехугольнике ABCD AB + CD < AC + BD .

Евклид употребляет выражения Сначала определите две кратчайшие стороны: 3, и если вы найдете сумму двух кратчайших сторон, то она больше самой длинной? Сетевые координационные вложения, которые используют евклидовы расстояния, делают предположение о том, что неравенство треугольника в значительной степени не нарушается большой частью пар узлов. Неравенство треугольника утверждает, что для любого треугольника длина данной стороны должна быть меньше суммы двух других сторон, но больше разницы между двумя сторонами, т.е. стороны должны иметь возможность образовывать треугольник.

Решение . Пусть O – точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD (рис. 2). По неравенству треугольника:

AO + OB > AB ;

CO + OD > CD .

Рассмотрим сумму AC + BD :

AC + BD = (AO + OC ) + (BO + OD ) =

= (AO + BO ) + (OC + OD ) > AB + CD .

Задача 2 . Докажите, что в треугольнике ABC выполнено неравенство (a , b , c – стороны треугольника ABC ). Решение . Воспользуемся следствием из неравенства треугольника (см. упражнение):

(предполагаем, что

). Тогда, возведя в квадрат обе части неравенства, получим:

Аналогично:

;

.

Складывая все три неравенства, получим требуемое. Упражнение . Докажите, что медиана AM в произвольном треугольнике ABC по длине меньше, чем

. Задача 3 . На плоскости дан квадрат ABCD и точка O . Докажите, что расстояние от точки O до одной из вершин квадрата не превосходит суммы расстояний от O до трех других вершин квадрата. Решение . Сложите неравенства треугольника AC + OC > OA и OB + OD > BD . Так как AC = BD , то, сокращая, получаем требуемое. Задача 4 . Найдите внутри выпуклого четырехугольника точку, такую, что сумма расстояний от нее до вершин минимальна. Решение . Так как четырехугольник выпуклый, то его диагонали пересекаются в точке O внутри него. Обозначим вершины четырехугольника через A , B , C и D (по часовой стрелке). Тогда сумма расстояний от O до вершин равна сумме длин диагоналей AC и BD . Но для любой другой точки P имеем, во-первых, что сумма расстояний от P до вершин не меньше AC + BD , а во-вторых, либо PA + PC > AC , либо PB + PD > BD . Значит, эта сумма равна AC + BD только если P совпадает с точкой O . Значит, точка O – искомая. Неравенство треугольника успешно применяется и в довольно запутанных текстовых задачах. Что интересно, в таких задачах многое может зависеть от того, насколько удачно Вы построите геометрическую интерпретацию. Задача 5 . В некоторой стране расположены 4 города: A , B , C и D . Два самолета одновременно вылетели из города A . Маршрут первого самолета: A -B -D -C -A -D -B -C -A , а маршрут второго: A -B -C -D -A -B -C -D -A -B -C -D -A . Какой из самолетов раньше закончит свой маршрут, если их скорости одинаковы? Не бойтесь экспериментировать! Если в задаче не задано конкретное расположение объектов, Вы вправе рисовать в своем решении всё, что не противоречит условию – оно ведь Ваше. В том числе, и города в Задаче 5 Вы можете расставить как угодно. Следует лишь помнить, что в некоторых задачах после разбора «нормального», общего случая, необходимо разобрать и некоторые «патологические», частные случаи. К примеру, в Задаче 5 может понадобиться рассмотрение случая, когда некоторые три города лежат на одной прямой – всё зависит от того, каково Ваше решение для общего случая. Решение задачи 5 . Запишем длины маршрутов каждого из самолетов в виде сумм расстояний между городами. Длина маршрута первого самолета будет равна

Второй же самолет пролетит расстояние

Рассмотрим разность между расстоянием, которое пролетел первый самолет, и расстоянием, которое преодолел второй.

Докажем, что независимо от расположения точек A , B , C , D на плоскости (городов A , B , C , D в стране) выражение будет неположительным. Для этого следует рассмотреть два случая. 1. Предположим, что точки A , B , C , D ABCD с диагоналями AC и BD . Тогда запишем последовательно неравенства треугольника для треугольников ABC , BCD , CDA и DAB (см. рис. 2):

AB + BC > AC ;

BC + CD > BD ;

CD + DA > CA ;

DA + AB > DB .

Сложив все четыре неравенства, получим

2. Рассмотрим случай, когда точки A , B , C , D создают на плоскости четырехугольник A C BD с диагоналями AB и CD (нарисуйте себе соответствующий рисунок). Заметим, что неравенства треугольника выполняются для тех же треугольников, что и в первом случае. Оказывается, что решение задачи останется тем же, несмотря на то, что расположение точек на плоскости существенно изменилось. Это можно считать еще одной характерной чертой многих решений задач, использующих неравенство треугольника. Следовательно, первый самолет прилетит раньше, поскольку его маршрут короче маршрута второго. Заметьте, что решение Задачи 5 требует небольшого анализа, что является непременным качеством всех олимпиадных задач. Будьте внимательны – Ваше решение задачи будет правильным лишь тогда, когда Вы рассмотрите все возможные случаи, подходящие под условие. Следует также отметить, что зачастую на рисунке, изображающем условие задачи, не видно треугольника, применение неравенства треугольника для которого дало бы моментальное решение. В таком случае может помочь удачно подобранное геометрическое преобразование. Об этом мы поговорим несколько позже. Знакомство с неравенством треугольника на этом следует объявить законченным. Но новая встреча с ним уже не за горами. 7 класс Лекция 13. Неравенство треугольника

1. Фихте Иоганн Готлиб (1762-1814) один из виднейших представителей классической немецкой философии. Вкнигу вошли известные работы: «Факты сознания», «Назначение человека», «Наукоучение» идругие книга

   Книга

   Фихте Иоганн Готлиб (1762-1814) - один из виднейших представителей классической немецкой философии. В книгу вошли известные работы: «Факты сознания», «Назначение человека», «Наукоучение» и другие.

   Постановка домашнего задания

   Треугольник не может быть построен из любых трех случайных отрезков. Попытка сделать это может привести к созданию вырожденного треугольника, треугольника, который не может соединить все его стороны. Чтобы гарантировать, что мы получим законный треугольник, мы используем нечто, известное как неравенство треугольника, которое связывает три стороны треугольника.

   Если \\, \\, \\ - длины трех сторон треугольника, то. Если какое-либо из этих неравенств неверно, то получим вырожденный треугольник. Мы покажем основные расчеты с использованием этих формул, включая определение того, является ли треугольник вырожденным.

2. Жозеф Артур Гобино. Опыт о неравенстве человеческих рас книга

   Книга

   Каким бы зловещим не представлялся в СМИ и литературе нынешнему и прошлому поколениям национал-социализм, он не перестает привлекать к себе внимания миллионов людей.

3. Пентаграмма является одним из важнейших магических символов. Само это слово происходит от греческих слов "pente", что означает пять, и "gramma" буква

   Документ

   Символ защиты и власти - ПентаграммаMarsyas Пентаграмма является одним из важнейших магических символов. Само это слово происходит от греческих слов "pente", что означает пять, и "gramma" - буква; пентаграмма -

   Определение вырожденных треугольников

   Здесь будут указаны все три длины сторон треугольника, и вы должны определить, является ли треугольник вырожденным. Пример 1: Треугольник со сторонами длин \\, \\ и \\ - вырожденный треугольник? Решение: Пусть \\, \\ и \\. Чтобы убедиться, что это не вырожденный треугольник, мы должны подключить эти длины сторон ко всем трем частям неравенства треугольника.

   Все три из этих неравенств верны, поэтому это не вырожденный треугольник. Пример 2: Треугольник со сторонами длин \\, \\ и \\ вырожден? Решение. Одна сторона длиннее двух других. Поэтому возникает вырожденный треугольник. Все три неравенства должны быть истинными, и только два из них.

Видеоурок «Неравенство треугольника» раскрывает содержание и доказательство теоремы о неравенстве треугольника. Задача данного видеоурока - облегчить запоминание теоремы и следствия из нее, понимание и запоминание хода рассуждений при ее доказательстве.

Высокий уровень наглядности материала, голосовое сопровождение дает возможность использовать данное пособие в качестве самостоятельной части урока, освобождая время учителя для улучшения качества обучения, усиления индивидуальной работы с учениками.

Видеоурок начинается с представления темы и формулировки теоремы о неравенстве треугольника. Для запоминания утверждения теоремы она выведена на экран и выделена цветом. Данная теорема утверждает, что любая сторона треугольника является меньшей суммы двух других его сторон. Доказательство утверждения предлагается рассмотреть на примере треугольника Δ, демонстрируемого под текстом теоремы на экране.

Уточняется, что для доказательства теоремы необходимо подтвердить, что сторона AB является меньше величины суммы сторон AC и CB. Данное утверждения обозначено на экране выражением AB

Освоив данную теорему, можно рассматривать ее следствие, утверждающее, что для любых трех точек A,B,C, которые не принадлежат одной прямой, справедливы неравенства: AB

Видеоурок «Неравенство треугольника» может быть использовано учителем на уроке геометрии в качестве наглядного пособия или как часть урока вместо объяснения учителем новой темы. Подробное понятное объяснение заменит учителя при самостоятельном изучении предмета учеником, а также поможет объяснить предмет при дистанционном обучении.