Образовательный портал. Образование / Среднее образование и школа / Четырехугольник с прямыми углами. Введение многоугольники. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Параллелограмм-выпуклый четырехугольник

Четырехугольник с прямыми углами. Введение многоугольники. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Параллелограмм-выпуклый четырехугольник

23.04.2019

равнобедренная трапеция
равнобокая

Это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин), никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки. Различают выпуклые и невыпуклые четырёхугольники, невыпуклый четырёхугольник может быть самопересекающимся (см. рис.).

И мы будем говорить о двумерных фигурах с четырьмя сторонами и четырьмя вершинами и четырьмя углами. Так, например, один, два, три, четыре. Это четырехугольник, хотя эта последняя сторона не была смотри слишком прямо. Все они имеют четыре стороны, четыре вершины и, очевидно, четыре угла. Один угол, два угла, три угла и четыре угла. Собственно, позвольте мне нарисовать это немного больше, потому что это интересно. Итак, в этом прямо здесь, у вас есть один угол, два угла, три угла, и тогда у вас есть этот действительно большой угол. вы смотрите на внутренние углы этого четырехугольника.

1 Виды четырёхугольников
2 Четырёхсторонник
3 Свойства
4 Площадь
- 4.1 Особые случаи
- 4.2 История
5 См. также
6 Примечания
7 Литература

Виды четырёхугольников

Параллелограмм - четырёхугольник, у которого все противоположные стороны попарно равны и параллельны;
- Прямоугольник - четырёхугольник, у которого все углы прямые;
- Ромб - четырёхугольник, у которого все стороны равны;
- Квадрат - четырёхугольник, у которого все углы прямые и все стороны равны;
Трапеция - четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны;
Дельтоид - четырёхугольник, у которого две пары смежных сторон равны.

Четырёхсторонник

Хотя такое название может быть эквивалентно четырёхугольнику, в него часто вкладывают дополнительный смысл. Четвёрка прямых, никакие две из которых не параллельны и никакие три не проходят через одну точку, называется четырёхсторонником. Такая конфигурация встречается в некоторых утверждениях евклидовой геометрии (например, теорема Менелая, прямая Гаусса, прямая Обера, теорема Микеля и др.), в которых часто все прямые являются взаимозаменяемыми.

Так, например, это вогнутый четырехугольник. Похоже, эта сторона был обрушен. И один из способов определить вогнутые четырехугольники - так что позвольте мне сделать это немного больше, так что это прямо здесь вогнутый четырехугольник - это то, что он имеет внутренний угол, который больше 180 градусов. например, этот интерьер угол прямо здесь больше 180 градусов. И это интересное доказательство. На самом деле это довольно простое доказательство того, что если у вас есть вогнутый четырехугольник, если хотя бы один из внутренних углов имеет меру больше 180 градусов, то ни одна из сторон не может быть параллельно друг другу.

Свойства

Сумма углов четырёхугольника равна 2 π = 360°.
Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180°

(). См. также теорема Птолемея.

Выпуклый четырёхугольник является описанным около окружности тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны ()
Формула Эйлера : учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей.
Средние линии четырёхугольника и отрезок, соединяющий середины его диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
Четыре отрезка, каждый из которых соединяет вершину четырёхугольника с центроидом треугольника, образованного оставшимися тремя вершинами, пересекаются в центроиде четырёхугольника и делятся им в отношении 3:1, считая от вершин.
Две противоположные стороны четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма квадратов двух других противоположных сторон равна сумме квадратов диагоналей.
Диагонали четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов противоположных сторон равны.
Средние линии четырёхугольника равны тогда и только тогда, когда равны суммы квадратов его противоположных сторон.
См. также свойства центроида четырёхугольника.
Шесть расстояний между четырьмя произвольными точками плоскости, взятыми попарно, связаны соотношением:

Это соотношение можно представить в виде определителя:

Как вы можете себе представить, другой тип четырехугольника - это когда все внутренние углы меньше 180 градусов. И вы можете сказать, подождите - что происходит на 180 градусов? Ну, если бы этот угол был на 180 градусов, тогда они не были бы двумя разными сторонами, это была бы только одна сторона, и это было бы похоже на треугольник. Но если все внутренние углы меньше 180 градусов, тогда вы переходя к выпуклым четырехугольникам. Таким образом, этот выпуклый четырехугольник будет включать в себя тот и другой.

Так вот, вот что может выглядеть выпуклый четырехугольник: четыре точки, четыре стороны, четыре угла. Теперь в выпуклых четырехугольниках есть еще одна интересная категория. Итак, теперь мы просто сосредоточимся на выпуклых четырехугольниках, так что здесь будет все это пространство. Таким образом, один тип выпуклого четырехугольника - трапеция. Трапеция - это выпуклый четырехугольник, и иногда определение здесь немного - разные люди будут использовать разные определения. Поэтому некоторые люди скажут, что трапеция - это четырехугольник, который имеет ровно две стороны, которые параллельны друг другу.

Площадь

Площадь произвольного не самопересекающегося четырёхугольника с диагоналями, и углом между ними (или их продолжениями), равна:

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника равна:

, где, - длины диагоналей, a, b, c, d - длины сторон.
: где p - полупериметр, а есть полусумма противоположных углов четырёхугольника. (Какую именно пару противоположных углов взять роли не играет, так как если полусумма одной пары противоположных углов равна, то полусумма двух других углов будет и). Из этой формулы для вписанных 4-угольников следует формула Брахмагупты.

Особые случаи

Если 4-угольник и вписан, и описан, то.Если он описан, то площадь равна половине его периметра, умноженной на радиус вписанной окружности

Так, например, они сказали бы, что это прямо здесь трапеция, где эта сторона параллельна этой стороне. Итак, если вы используете исходное определение - и это то, о чем большинство людей говорит, когда говорят трапецию, ровно одну пару параллельных сторон. Это может быть что-то вроде этого. Но если вы используете более широкий определение хотя бы одной пары параллельных сторон, то, возможно, это также можно считать трапецией, так что у вас есть одна пара параллельных сторон, и тогда у вас есть другая пара параллельных сторон.

Так что это знак вопроса, где речь идет о трапеции. Трапеция это определенно здесь, где у вас есть ровно одна пара параллельных сторон. В зависимости от определения людей это может быть или не быть трапецией. Если вы говорите, что это ровно одна пара параллельных сторон, это не трапеция, потому что у нее две пары. Если вы говорите хотя бы одну пару параллельных сторон, то это трапеция. Если у вас есть четырехугольник с двумя парами параллельных сторон, вы тогда имеете дело с параллелограммом Итак, одно, что вы определенно можете назвать этим, - это параллелограмм.

История

В древности египтяне и некоторые другие народы использовали для определения площади четырёхугольника неверную формулу - произведение полусумм его противоположных сторон a, b, c, d:

Для непрямоугольных четырёхугольников эта формула даёт завышенное значение площади. Можно предположить, что она использовалась только для определения площади почти прямоугольных участков земли. При неточном измерении сторон прямоугольника эта формула позволяет повысить точность результата за счет усреднения исходных измерений.

Так что это четырехугольник, и если у меня есть четырехугольник, и если у меня есть две пары параллельных сторон, то противоположные стороны параллельны, поэтому сторона параллельна этой стороне, а затем эта сторона параллельна той стороне, - вы имеете дело с параллелограммом. И тогда параллелограммы можно подразделить еще дальше. Если четыре угла в параллелограмме имеют все прямые углы, вы имеете дело с прямоугольником. Это все параллелограммная вселенная. Итак, это параллелограмм, который говорит мне, что противоположные стороны параллельны, и тогда, если мы знаем, что все четыре угла равны 90.

См. также

Теорема косинусов для четырёхугольника
Прямая Обера
Соотношение Бретшнайдера

Примечания

Понарин, с. 74
Г. Г. Цейтен История математики в древности и в средние века, ГТТИ, М-Л, 1932.

Литература

В Викисловаре есть статья «четырёхугольник»

Болтянский В., Четырехугольники. Квант, № 9,1974.
Понарин Я. П. Элементарная геометрия. 2 тт. - М.: МЦНМО, 2004. - С. 74. - ISBN 5-94057-170-0.

Четырёхугольник Информация о

Четырёхугольник Информация Видео

И мы уже доказали в предыдущих видеороликах, как определить сумму внутренних углов любого полигона. И используя тот же метод, можно сказать, что сумма внутренних углов любого четырехугольника на самом деле равна 360 градусам. И вы видите это и в этом специальном случае. Но, может быть, мы докажем это в отдельном видео, но это прямо здесь мы будем называть прямоугольником. Параллелограмм - параллельные параллели и четыре прямых. четыре прямых угла, но где мы имеем длину сторон равных, то мы имеем дело с ромбом.

Это параллелограмм, так что сторона параллельна этой стороне, эта сторона параллельна этой стороне. также знаю, что все четыре стороны имеют одинаковую длину. Таким образом, длина этой стороны равна длине этой стороны, которая равна длине той стороны, которая равна длине этой стороны. Тогда мы имеем дело с ромб. Итак, один из способов его просмотра - все ромби - параллелограммы, все прямоугольники - параллелограммы. Все параллелограммы, которые вы не можете считать прямоугольниками, - все параллелограммы, которые вы не можете считать ромби.

Просмотр темы.

Четырёхугольник что, Четырёхугольник кто, Четырёхугольник объяснение

четырехугольник с равными сторонами и прямыми углами

Альтернативные описания

Вторая степень числа

Выродок среди прямоугольников

Геометрическая фигура

Лошадь века, жеребец рысистой породы, знаменитый конь-рекордист, которому поставлен памятник в России

Две стороны четырехугольника равны и параллельны

Теперь что-то может быть как прямоугольником, так и ромбом Итак, давайте скажем, что это вселенная прямоугольников. Ну, у вас будет четыре прямых угла, и они все будут иметь одинаковую длину, поэтому это определенно будет параллелограммом. Четыре прямых угла и все стороны имели бы такую же длину. И это, вероятно, первая из форм, которые вы узнали, или одна из первых форм. Таким образом, все квадраты можно было бы считать ромбом, и их можно было бы считать прямоугольником, и их можно было бы считать параллелограммом.

Название офицерского знака различия на петлицах в Красной Армии до 1943 года

Произведение числа на самого себя

Равносторонний прямоугольник

Четыре для двух

Советская дворовая игра с мячом для четырех человек

Фильм Юрия Мороза «Черный...»

Повесть российского писателя А. Г. Адамова «... сложности»

Скажите по-латински «четырехугольный»

Символ, которым на магнитофоне изображается клавиша «СТОП»

Шахматная клетка по форме

Выпрямленный ромб

Перемноженное число

. «остепеняющая» двойка

Черная фигура Малевича

Промежуток в строках

Фигура Малевича

Черный на полотне Малевича

Черный у Малевича

Правильная фигура

Прямоугольник

Геометрическая фигура Малевича

Черная геометрическая фигура Малевича

Форма сиденья табуретки

Черное творение Малевича

Черное пятно в биографии Малевича

Куб, попавший под каток

Символ клавиши «Стоп»

Малевич прославился, закрасив его черным

У Малевича он черного цвета

Фигура в геометрии

Проекция куба на плоскость

Черная фигура, прославившая Малевича

. «второстепенная» геометрическая фигура

У Малевича он черный

. «черный...» (шедевр Малевича)

Форма грани куба

Равносторонний прямоугольник

Вторая степень числа

. "Чёрный..." (шедевр Малевича)

. "Второстепенная" геометрическая фигура

. "Остепеняющая" двойка

. "Черный..." (шедевр Малевича)

М. равносторонний и прямоугольный четыреугольник; народ называет его круглым четыреугольником или клеткою. Разбить площадь на квадраты, на участки этого вида. Квадрат числа, произведение его от умножения самого на себя. Узор квадратцами или квадратиками, в мелких прямых четвероугольничках. Квадратный, имеющий вид квадрата, четверосторонний, и притом с равными сторонами и углами; умноженный сам на себя. Четыре есть квадратное число или величина двух; а два будет квадратный корень четырех. Городничий донес, что квадратной сажени, для измерения площади, при полиции не оказалось. Квадратать, делить площадь на квадраты; делать (чертить, резать) квадраты; брать квадрат числа, умножать его собою. Квадратура ж. поверхность всякой геометрической фигуры, обращенная в равный ей квадрат. Квадратура круга, задача доселе не разгаданная. Астроном. отстояние планет и луны от солнца на четверть круга, на

Повесть российского писателя А. Г. Адамова "... сложности"

Символ клавиши "Стоп"

Символ, которым на магнитофоне изображается клавиша "СТОП"

Скажите по-латински "четырехугольный"

Фильм Юрия Мороза "Черный..."

. "Чёрный" у Малевича

Материалы по теме:

Карта сайта