Определить основание трапеции. Определение трапеции. Виды трапеции. Свойства равнобедренной трапеции

Трапеция – четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны

Виды трапеции: равнобедренная и прямоугольная

Первое свойство равнобедренной трапеции – у равнобедренной трапеции боковые стороны равны

Второе свойство равнобедренной трапеции – у равнобедренно трапеции углы при основании равны

Определение прямоугольника. Свойство прямоугольника. Признак прямоугольника.

Прямоугольник – параллелограмм, у которого все углы прямые

Свойство прямоугольника – диагонали прямоугольника равны

Признак прямоугольника – если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник

Определение ромба. Свойство ромба.

Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны

Свойство ромба – диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам

Определение квадрата. Свойства квадрата.

Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны

Первое свойство квадрата – все углы квадрата прямые

Второе свойство квадрата – диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам

Понятие площади многоугольника. Единица измерения площадей. Свойства площадей. Площадь квадрата.

Площадь многоугольника – это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник

Единицы измерения площадей: квадратный сантиметр (см 2), квадратный метр (м 2), квадратный миллиметр (мм 2) и т. д.

Первое свойство площади – равные многоугольники имеют равные площади

Второе свойство площади – если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников

Площадь квадрата – площадь квадрата равна квадрату его стороны (S=a 2)

Определение высоты параллелограмма. Площадь параллелограмма.

Высота параллелограмма – перпендикуляр, проведённый из любой точки противоположной стороны к прямой, содержащей основание

Площадь параллелограмма –

произведение основания на высоту

произведение сторон на синус угла между ними

Определение высоты трапеции. Площадь трапеции.

Высота трапеции – перпендикуляр, проведённый из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание. Площадь трапеции – площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту S= h

произведение средней линии на высоту

полупроизведение диагоналей на синус угла между ними

Площадь ромба (через диагонали). Площадь прямоугольника.

Площадь ромба – площадь ромба равна половине произведений его диагоналей

Площадь прямоугольника – площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон S=ab

Теорема Пифагора и обратная ей.

Теорема Пифагора – в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

c 2 = a 2 + b 2

Теорема, обратная теореме Пифагора – если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный

Площадь прямоугольного треугольника. Теорема об отношениях площадей треугольников: с равными высотами; имеющих по равному углу.

Площадь прямоугольного треугольника – площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов

Теорема об отношениях площадей треугольников имеющих по равному углу – если угол одного треугольника равен углу другого, то площади треугольников относятся как произведение сторон, заключающих равные углы

Теорема об отношениях площадей треугольников с равными высотами – если площади двух треугольников равны, то их площади относятся как основания

Определение подобных треугольников. Теоремы об отношениях периметров и площадей подобных треугольников.

Подобные треугольники – два треугольника, углы которых соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого

Теорема об отношении площади подобных треугольников – отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия

Для обозначения элементов трапеции существует своя терминология. Параллельные стороны этой геометрической фигуры называются ее основаниями. Как правило, они не равны между собой. Однако существует определение, в котором про непараллельные стороны ничего не говорится. Поэтому некоторые математики рассматривают в качестве частного случая трапеции параллелограмм. Однако в подавляющем большинстве учебников все-таки упоминается непараллельность второй пары сторон, которые называются боковыми.

Существует несколько видов трапеций. Если ее боковые стороны между собой равны, то трапеция называется равнобедренной или равнобокой. Одна из боковых сторон может быть перпендикулярна основаниям. Соответственно, в этом случае фигура будет прямоугольной.

Есть еще несколько линий, определяющих свойства трапеции и помогающих вычислениям других параметров. Разделите боковые стороны пополам и проведите через полученные точки прямую. Вы получите среднюю линию трапеции. Она параллельна основаниям и равна их полусумме. Выразить ее можно формулой n=(a+b)/2, где n – длина средней линии, а и b - длины оснований. Средняя линия - очень важный параметр. Например, через нее можно выразить площадь трапеции, которая равна длине средней линии, умноженной на высоту, то есть S=nh.

Проведите из угла между боковой стороной и более коротким основанием перпендикуляр к длинному основанию. Вы получите высоту трапеции. Как и любой перпендикуляр, высота - кратчайшее расстояние между заданными прямыми.

У равнобедренной трапеции есть дополнительные свойства, которые необходимо знать. Углы между боковыми сторонами и основанием у такой трапеции равны между собой. Кроме того, равны ее диагонали, что легко доказать, сравнив образованные ими треугольники.

Разделите основания пополам. Найдите точку пересечения диагоналей. Продолжите боковые стороны до их пересечения. У вас получатся 4 точки, через которые можно провести прямую, притом только одну.

Одним из важных свойств любого четырехугольника является возможность построить вписанную или описанную окружность. С трапецией это получается не всегда. Вписанная окружность получится только в том случае, если сумма оснований равна сумме боковых сторон. Описать окружность можно только вокруг равнобедренной трапеции.

Цирковая трапеция может быть стационарной и подвижной. Первая - это небольшая круглая перекладина. Она с двух сторон крепится железными прутьями к куполу цирка. Подвижная трапеция крепится тросами или канатами, она может свободно качаться. Встречаются двойные и даже тройные трапеции. Этим же термином называется и сам жанр цирковой акробатики.

Термин «трапеция» применяется так же в виндсерфинге и некоторых других видах спорта. Трапеции появились на яхтах еще в 30-е годы прошлого века. Это приспособление применялось для того, чтобы удерживать матроса за бортом судна. Крепится она системой тросов. Из парусного спорта термин вместе с похожей по форме деталью перекочевал в кайтинг.

Каждый человек, который учился в школе, на уроках геометрии изучал, что такое трапеция. Это слово применялось еще в древней Греции и на этом языке означало «стол, столик или еда». Под словом «трапеция» подразумевается четырехугольная фигура, в которой две стороны являются параллельными, две другие стороны при этом параллельными не являются.

Свойства трапеции

Параллельные стороны трапеции считаются основой фигуры, а другие стороны являются боковыми. Трапеция имеет среднюю линию, которая соединяет боковые стороны посередине. Также в данной фигуре можно провести перпендикуляр из одной точки на основании к другой на другом основании, тогда данный перпендикуляр будет называться высотой.

Различают такие трапеции:

• равнобедренная - когда боковые стороны одинаковы;
• прямоугольная - когда в боковых сторонах углы 90 градусов.

Линия такой фигуры, находящаяся посередине, является параллельной к основанию, численно равна половине суммы двух оснований. Еще одно свойство касается углов трапеции, а именно сумма этих углов равна 180 градусам.

В равнобедренной трапеции основные углы парные, например, угол А = D, а угол В = С. Также в равнобедренной трапеции диагонали, которые соединяют противоположные точки, будут равными, получается АС = ВD.

Если сумма двух основных сторон фигуры полностью идентична сумме боковых сторон, тогда в такую фигуру можно вписать круг. Кроме того, треугольники, которые лежат на боковых сторонах трапеции, будут равновеликими.

Тот отрезок, который лежит по средней линии и соединяет середины диагоналей, равен половине разности сторон основания. На одной прямой лежит точка, в которой пересекаются продолжения боковых сторон и точка, в которой соединяются диагонали трапеции.

Площадь

Чтобы узнать площадь трапеции, необходимо придерживаться данной формулы:

• S = (a+b)/2*h

В ней: «а» и «в» - основания, «h» - высота фигуры.

Если же не известны длины оснований трапеции, а только высота и средняя линия, в таком случае применима такая формула: S = m*h. Где значение «m» - это длина средней линии. Данные две формулы являются эквивалентными и можно сказать, что средняя линия равна m = (a+b)/2.

Чтобы узнать площадь равнобедренной трапеции, необходимо знать значение угла. Вот формула: S = (a - c*cos y)c*sin y = (b - c*cos y)c*sin y. Где «а» - длинное, а «b» - короткое основание, «с» - боковая сторона, а «y» - угол между длинным основанием и боковой стороной.

Ознакомьтесь также с нашими другими статьями на этом сайте.

Трапецией называется выпуклый четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна друг другу, а другая - нет.

Исходя из определения трапеции и признаков параллелограмма, параллельные стороны трапеции не могут быть равны друг другу. Иначе другая пара сторон также стала бы параллельной и равной друг другу. В таком случае мы имели бы дело с параллелограммом.

Параллельные противоположные стороны трапеции называют ее основаниями . То есть у трапеции два основания. Непараллельные противоположные стороны трапеции называют ее боковыми сторонами .

В зависимости от того, какие боковые стороны, какие углы они образуют с основаниями, выделяют различные виды трапеций. Чаще всего трапеции делят на неравнобедренные (разнобокие), равнобедренные (равнобокие) и прямоугольные.

У разнобоких трапеций боковые стороны не равны друг другу. При этом с большим основанием они обе могут образовывать только острые углы, или один угол будет тупым, а второй острым. В первом случае трапецию называют остроугольной , во втором - тупоугольной .

У равнобедренных трапеций боковые стороны равны друг другу. При этом с большим основанием они могут образовывать только острые углы, т.е. все равнобедренные трапеции остроугольные. Поэтому их не делят на остроугольные и тупоугольные.

У прямоугольных трапеций одна боковая сторона перпендикулярна основаниям. Вторая сторона не может быть им перпендикулярна, т. к. в этом случае мы имели бы дело с прямоугольником. В прямоугольных трапециях неперпендикулярная боковая сторона образует с большим основанием всегда острый угол. Перпендикулярная боковая сторона перпендикулярна обеим основаниям, т. к. основания параллельны.

Инструкция

Начертите равнобокую трапецию. Дана площадь трапеции - S, высота трапеции - h и боковая сторона - a. Опустите высоту трапеции на большее основание. Большее основание будет разделено на отрезки m и n.

Для определения длины обоих оснований (х, y) примените свойство равнобокой трапеции и формулу расчета площади трапеции.

Согласно свойству равнобокой трапеции отрезок n равен полуразности оснований х и y. Следовательно, меньшее основание трапеции y можно представить в виде разности большего основания и отрезка n, помноженного на два: y = x - 2*n.

Найдите неизвестный меньший отрезок n. Для этого вычислите одну их сторон получившегося прямоугольного треугольника. Треугольник образован высотой – h (катет), боковой стороной – a (гипотенуза) и отрезком – n (катет). Согласно теореме Пифагора неизвестный катет n² = a² - h². Подставьте известные числовые значения и высчитайте квадрат катета n. Возьмите корень квадратный из полученного значения – это и будет длина отрезка n.

Подставьте полученное значение в первое уравнение для вычисления y. Площадь трапеции высчитывается по формуле S = ((х + y)*h)/2. Выразите неизвестную переменную: y = 2*S/h – х.

Запишите оба полученных уравнения в систему. Подставляя известные значения, найдите две искомые величины в системе двух уравнений. Полученное решение системы х представляет собой длину большего основания, а y - меньшего основания.

Для задания такого четырехугольника, как трапеция, должно быть определено не менее трех его сторон. Поэтому, для примера, можно рассмотреть задачу, в условии которой заданы длины диагоналей трапеции , а также один из векторов боковой стороны.

Инструкция

Фигура из условия задачи представлена на рисунке 1.В данном случае следует предположить, что рассматриваемая трапеция – это четырехугольник AВCD, в котором заданы длины диагоналей AC и BD, а также боковая сторона АВ, представленная вектором a(ax,ay). Принятые исходные данные позволяют найти оба основания трапеции (как верхнее, так и нижнее). В конкретном примере сначала будет найдено нижнее основание АD.

Рассмотрите треугольник ABD. Длина его стороны АВ равна модулю вектора a. Пусть|a|=sqrt((ax)^2+(ay)^2)=a, тогда cosф =ax/sqrt(((ax)^2+(ay)^2), как направляющий косинус a. Пусть заданная диагональ BD имеет длину p, а искомая AD длину х. Тогда, по теореме косинусов, P^2=a^2+ x^2-2axcosф. Или x^2-2axcosф+(a^2-p^2)=0.

Решения этого квадратного уравнения:X1=(2acosф+sqrt(4(a^2)((cosф)^2)-4(a^2-p^2)))/2=acosф+sqrt((a^2)((cosф)^2)-(a^2-p^2))==a*ax|sqrt(((ax)^2+(ay)^2)+sqrt((((a)^2)(ax^2))/(ax^2+ay^2))-a^2+ p^2)=AD.

Для нахождения верхнего основания ВС (его длина при поиске решения также обозначена х) используется модуль |a|=a, а также вторая диагональ BD=q и косинус угла АВС, который, очевидно, равен (п-ф).

Далее рассматривается треугольник АВС, к которому, как и ранее, применяется теорема косинусов, и возникает следующее решение. Учитывая, что cos(п-ф)=-cosф, на основе решения для AD, можно записать следующую формулу, заменив p на q:ВС=- a*ax|sqrt(((ax)^2+(ay)^2)+sqrt((((a)^2)(ax^2))/(ax^2+ay^2))-a^2+q^2).

Данное уравнение является квадратным и, соответственно, имеет два корня. Таким образом, в данном случае остается выбрать лишь те корни, которые имеют положительное значение, так как длина не может быть отрицательной.

ПримерПусть в трапеции АВСD боковая сторона АВ задана вектором a(1, sqrt3), p=4, q=6. Найти основания трапеции .Решение. Используя полученные выше алгоритмы можно записать:|a|=a=2, cosф=1/2. AD=1/2+sqrt(4/4 -4+16)=1/2 +sqrt(13)=(sqrt(13)+1)/2.BC=-1/2+sqrt(-3+36)=(sqrt(33)-1)/2.

Видео по теме

Трапецией считается такой четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет. Высотой трапеции называется отрезок, проведенный перпендикулярно между двумя параллельными прямыми. В зависимости от исходных данных ее можно вычислить по-разному.

Вам понадобится

• Знание сторон, оснований, средней линии трапеции, а так же, опционально, ее площадь и/или периметр.

Инструкция

Одним из способов вычислить площадь трапеции является произведение высоты и средней линии. Допустим, что имеется равнобедренная трапеция. Тогда высота равнобедренной трапеции с основаниями a и b, площадью S и периметром P будет рассчитана так:

h=2 х S/(P-2 х d). (см. рис 1)

Если известна только площадь трапеции и ее основания, то формулу расчета высоты можно вывести из формулы площади трапеции S = 1/2h x (a+b):

Допустим, имеется трапеция с теми же данными, что и на рисунке 1. Проведем 2 высоты, получим прямоугольник, у которого 2 меньшие стороны являются катетами прямоугольных треугольников. Обозначим меньший катит за x. Он находится путем деления разницы длин между большим и меньшим основаниями. Тогда по теореме Пифагора квадрат высоты равен сумме квадратов гипотенузы d и катета x. Извлекаем корень из этой суммы и получим высоту h. (рис. 2)

Видео по теме

Источники:

• как вычислить высоту трапеции

Математическая фигура с четырьмя углами называется трапецией, если пара противоположных ее сторон параллельна, а другая пара - нет. Параллельные стороны называют основаниями трапеции , две другие - боковыми. В прямоугольной трапеции один из углов при боковой стороне - прямой.

Инструкция

Задача 1.Найдите основания BC и AD прямоугольной трапеции , если известна длина диагонали AC = f; длина боковой стороны CD = c и угол при ней ADC = α.Решение:Рассмотрите прямоугольный треугольник CED. Известны гипотенуза c и угол между гипотенузой и катетом EDC. Найдите длины сторон CE и ED: по формуле угла CE = CD*sin(ADC); ED = CD*cos(ADC). Итак: CE = c*sinα; ED=c*cosα.